2025屆廣東省韶關(guān)市高三上學(xué)期綜合測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省韶關(guān)市2025屆高三上學(xué)期綜合測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】法1：因?yàn)椋?，所?法2：因?yàn)椋?，?故選：C.2.已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則的前6項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，依題意，，解得，所以.故選：A3.已知向量，若與垂直.則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，向量，可得，因?yàn)椋?，解得，所以?dāng)時(shí)，與垂直，故選：A.4.眾數(shù)?平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)的分布形態(tài)有關(guān).根據(jù)某小區(qū)1000戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖，記該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】觀察頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)是屬于右邊“拖尾”，所以平均數(shù)大于中位數(shù)為，由于第一個(gè)小矩形面積為，前2個(gè)小矩形面積之和為，所以中位數(shù)位于之間，故可得，解得，由頻率分布直方圖可知眾數(shù)，故，故選：D.5.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闀r(shí)，是單調(diào)減函數(shù)，又因?yàn)樵赗上單調(diào)，所以，故時(shí)，單調(diào)遞誠(chéng)，則只需滿足，解得，故選：B6.已知函數(shù)的部分圖像如圖，是相鄰的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，直線的方程為，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】連接，與軸交于點(diǎn)，由圖像的對(duì)稱性，知點(diǎn)也在函數(shù)的圖像上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)，由，得，所以的最小正周期滿足，解得，即，解得，，因?yàn)辄c(diǎn)是圖像的一個(gè)最高點(diǎn)，所以，結(jié)合，解得，故選：C.7.已知為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闉榉匠痰膬筛?，由韋達(dá)定理，得，則故選：C.8.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與橢圓沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以為直徑的圓的方程為，依題意，橢圓短軸的端點(diǎn)在此圓外，即，解得，則雙曲線的離心率為，由，得，所以所求離心率取值范圍.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)取3件，用表示這3件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由正態(tài)分布的概念可知，故A正確；由正態(tài)分布的性質(zhì)得，故B錯(cuò)誤；則1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率為所以，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知圓錐的頂點(diǎn)為為底面圓的直徑，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，與底面所成的角為，則（）A.該圓錐的側(cè)面積為B.該圓錐的體積為C.D.該圓錐內(nèi)部半徑最大的球的表面積為【答案】BCD【解析】由已知，，，易得等腰三角形的底邊長(zhǎng)，，對(duì)于A，該圓錐的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B該圓錐的體積為，B正確；對(duì)于C，如圖，取中點(diǎn)為，連接，則為與底面所成角為，故，C正確；對(duì)于D，當(dāng)球與圓錐內(nèi)切時(shí)，表面積最大，此時(shí)球心在圓錐的高上，設(shè)為，球半徑為，過向作垂線，垂足為，則，又，所以，所以，球的表面積為，D正確，故選：BCD11.若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的，恒有，且，則（）A. B.C.為偶函數(shù) D.若，則【答案】ABD【解析】原式移項(xiàng)得，即對(duì)于A，令，則由可得，故（舍去）或，故A正確：對(duì)于B，令，則，故.由于x∈R，令，則，所以，即有，故B正確：對(duì)于C，令，則，即，因?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，對(duì)左右兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，所以為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由A選項(xiàng)，若，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，由此可得的值有周期性，且周期為6，且，故，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，寫出滿足條件的整數(shù)的一個(gè)值__________.【答案】中的任何一個(gè)值.【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，故整?shù)所有可能取值為.故答案為：中的任何一個(gè)值.13.已知，則__________.【答案】4【解析】由，整理得，得，解得，所以.另解：由題知，則，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得.故答案為：414.小明參加一項(xiàng)籃球投籃測(cè)試，測(cè)試規(guī)則如下：若出現(xiàn)連續(xù)兩次投籃命中，則通過測(cè)式；若出現(xiàn)連續(xù)兩次投籃不中，則不通過測(cè)試.已知小明每次投籃命中的概率均為，則小明通過測(cè)試的概率為__________.【答案】【解析】設(shè)第一次投籃成功為事件B，通過測(cè)試為事件A，則，所以，所以，故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文子說明?證明過程或演算步驟.15.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.解：（1）由b及正弦定理得所以因?yàn)榛?jiǎn)得因?yàn)?，所以，所以所?（2）法一：由余弦定理有因?yàn)樗约矗?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以的周長(zhǎng).即周長(zhǎng)的最大值為6.法二：由正弦定理，即的周長(zhǎng)因?yàn)?，所以所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取得最大值為6法三：（幾何法）：如圖1所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得使得，要使的周長(zhǎng)最大，則需滿足長(zhǎng)度最大將問題轉(zhuǎn)化為已知一邊，一對(duì)角，求另一邊的長(zhǎng)度的最大值由圖2可得.當(dāng)為該圓直徑時(shí)，最大.即所以.16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，平面平面為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：方法一；由，有，，因?yàn)闉檎叫?，故，又平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，又平面平面，故平面，又平面，所以平面平?方法二；因?yàn)闉檎叫?，故，而平面平面交于平面，所以平面，又平面，所以，平面和平面交線平行于.故是平面和平面所成二面角的平面角..有，故平面平面.方法三：取中點(diǎn)為，先證明：，，點(diǎn)為的中點(diǎn).，而平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，，由已知，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?故，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，，故，所以，平面平面.（2）解：取中點(diǎn)為.由（1）知，，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，顯然可知平面的法向量為PD=0,1,-1設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，取，得，則，所以平面和平面所成銳二面角的余弦值為.17.已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)滿足直線的斜率之積為，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與軸相交于點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，若.求的值.解：（1）設(shè)點(diǎn)，由題意知.直線的斜率分別，所以，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為.（2）方法一，設(shè)，由題意知直線的方程為，所以，聯(lián)立方程組，消去整理得，，，由得，，故有，即，解得.方法二：設(shè)，由題意知直線的方程為，所以，聯(lián)立方程組，消去整理得.，，由得，，故有，即，解得.方法三：設(shè)，由題意知直線的方程為，所以.因?yàn)椋跃€段的中點(diǎn)為，，又因?yàn)?，所以點(diǎn)也是的中點(diǎn)，聯(lián)立方程組，-②得，即，所以，又因?yàn)?，所以，解?18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，恒成立，令，則，若：若，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，令，則，（i）當(dāng)，即時(shí)，若或：若，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增.（ii）當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上遞增.（iii）當(dāng)，即時(shí)，若或：若，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增.（3）由得恒成立因?yàn)椋春愠闪?設(shè)，則，因?yàn)?，同?gòu)可得令因?yàn)椋?，下面先證設(shè)，于是，令，則，當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，即，所以，即故實(shí)數(shù)取值范圍為19.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入1個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；依次類推，在和之間插入個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列.（i）若，求；（ii）對(duì)于（i）中的，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，說明理由.解：（1）當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以.（2）①設(shè)，所以，上面兩式相減得，所以所以，所以.②因?yàn)槎际沁f減數(shù)列；所以；則，令，即恒成立，所以數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；則所以；當(dāng)時(shí)，；則，所以，，成立，解得，存在；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；不滿足題意，故不存在：綜上所述，當(dāng)正整數(shù)對(duì)取和時(shí)，成立.廣東省韶關(guān)市2025屆高三上學(xué)期綜合測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】法1：因?yàn)?，所以，所?法2：因?yàn)?，所以，?故選：C.2.已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則的前6項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，依題意，，解得，所以.故選：A3.已知向量，若與垂直.則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，向量，可得，因?yàn)椋?，解得，所以?dāng)時(shí)，與垂直，故選：A.4.眾數(shù)?平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)的分布形態(tài)有關(guān).根據(jù)某小區(qū)1000戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖，記該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】觀察頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)是屬于右邊“拖尾”，所以平均數(shù)大于中位數(shù)為，由于第一個(gè)小矩形面積為，前2個(gè)小矩形面積之和為，所以中位數(shù)位于之間，故可得，解得，由頻率分布直方圖可知眾數(shù)，故，故選：D.5.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闀r(shí)，是單調(diào)減函數(shù)，又因?yàn)樵赗上單調(diào)，所以，故時(shí)，單調(diào)遞誠(chéng)，則只需滿足，解得，故選：B6.已知函數(shù)的部分圖像如圖，是相鄰的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，直線的方程為，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】連接，與軸交于點(diǎn)，由圖像的對(duì)稱性，知點(diǎn)也在函數(shù)的圖像上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)，由，得，所以的最小正周期滿足，解得，即，解得，，因?yàn)辄c(diǎn)是圖像的一個(gè)最高點(diǎn)，所以，結(jié)合，解得，故選：C.7.已知為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闉榉匠痰膬筛?，由韋達(dá)定理，得，則故選：C.8.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與橢圓沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以為直徑的圓的方程為，依題意，橢圓短軸的端點(diǎn)在此圓外，即，解得，則雙曲線的離心率為，由，得，所以所求離心率取值范圍.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)取3件，用表示這3件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由正態(tài)分布的概念可知，故A正確；由正態(tài)分布的性質(zhì)得，故B錯(cuò)誤；則1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率為所以，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知圓錐的頂點(diǎn)為為底面圓的直徑，，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，與底面所成的角為，則（）A.該圓錐的側(cè)面積為B.該圓錐的體積為C.D.該圓錐內(nèi)部半徑最大的球的表面積為【答案】BCD【解析】由已知，，，易得等腰三角形的底邊長(zhǎng)，，對(duì)于A，該圓錐的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B該圓錐的體積為，B正確；對(duì)于C，如圖，取中點(diǎn)為，連接，則為與底面所成角為，故，C正確；對(duì)于D，當(dāng)球與圓錐內(nèi)切時(shí)，表面積最大，此時(shí)球心在圓錐的高上，設(shè)為，球半徑為，過向作垂線，垂足為，則，又，所以，所以，球的表面積為，D正確，故選：BCD11.若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的，恒有，且，則（）A. B.C.為偶函數(shù) D.若，則【答案】ABD【解析】原式移項(xiàng)得，即對(duì)于A，令，則由可得，故（舍去）或，故A正確：對(duì)于B，令，則，故.由于x∈R，令，則，所以，即有，故B正確：對(duì)于C，令，則，即，因?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，對(duì)左右兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，所以為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由A選項(xiàng)，若，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，由此可得的值有周期性，且周期為6，且，故，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，寫出滿足條件的整數(shù)的一個(gè)值__________.【答案】中的任何一個(gè)值.【解析】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋收麛?shù)所有可能取值為.故答案為：中的任何一個(gè)值.13.已知，則__________.【答案】4【解析】由，整理得，得，解得，所以.另解：由題知，則，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得.故答案為：414.小明參加一項(xiàng)籃球投籃測(cè)試，測(cè)試規(guī)則如下：若出現(xiàn)連續(xù)兩次投籃命中，則通過測(cè)式；若出現(xiàn)連續(xù)兩次投籃不中，則不通過測(cè)試.已知小明每次投籃命中的概率均為，則小明通過測(cè)試的概率為__________.【答案】【解析】設(shè)第一次投籃成功為事件B，通過測(cè)試為事件A，則，所以，所以，故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文子說明?證明過程或演算步驟.15.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.解：（1）由b及正弦定理得所以因?yàn)榛?jiǎn)得因?yàn)椋?，所以所?（2）法一：由余弦定理有因?yàn)樗约矗?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以的周長(zhǎng).即周長(zhǎng)的最大值為6.法二：由正弦定理，即的周長(zhǎng)因?yàn)椋运砸驗(yàn)?，所以?dāng)時(shí)取得最大值為6法三：（幾何法）：如圖1所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得使得，要使的周長(zhǎng)最大，則需滿足長(zhǎng)度最大將問題轉(zhuǎn)化為已知一邊，一對(duì)角，求另一邊的長(zhǎng)度的最大值由圖2可得.當(dāng)為該圓直徑時(shí)，最大.即所以.16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，平面平面為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：方法一；由，有，，因?yàn)闉檎叫危?，又平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，又平面平面，故平面，又平面，所以平面平?方法二；因?yàn)闉檎叫危?，而平面平面交于平面，所以平面，又平面，所以，平面和平面交線平行于.故是平面和平面所成二面角的平面角..有，故平面平面.方法三：取中點(diǎn)為，先證明：，，點(diǎn)為的中點(diǎn).，而平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，，由已知，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?故，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，，故，所以，平面平面.（2）解：取中點(diǎn)為.由（1）知，，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，顯然可知平面的法向量為PD=0,1,-1設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，取，得，則，所以平面和平面所成銳二面角的余弦值為.17.已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)滿足直線的斜率之積為，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與軸相交于點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，若.求的值.解：（1）設(shè)點(diǎn)，由題意知.直線的斜率分別，所以，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為.（2）方法一，設(shè)，由題意知直線的方程為，所以，聯(lián)立方程組，消去整理得，，，由得，，故有，即，解得.方法二：設(shè)，由題意知直線的方程為，所以，聯(lián)立方程組，消去整理得.，，由得，，故有，即，解得.方法三：