2024-2025學(xué)年江蘇省四市十一校聯(lián)盟高二上學(xué)期階段聯(lián)測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省四市十一校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段聯(lián)測數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線與垂直，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】C【解析】因為直線與垂直，所以，解得.故選：C.2.雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】中，，故，故焦點坐標為，漸近線方程為，故焦點到漸近線的距離為，由對稱性可知，雙曲線的焦點到漸近線的距離為2.故選：B3.已知數(shù)列1，，，，3，…，按此規(guī)律，是該數(shù)列（）A.第11項 B.第12項 C.第13項 D.第14項【答案】D【解析】根據(jù)數(shù)列1，，，，3，…，，又，,解得，故選:D.4.以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為點為圓心到直線的距離為，所以圓的半徑為，圓的方程為.故選：D.5.已知點，拋物線上有一點，則的最小值是（）A.10 B.8 C.5 D.4【答案】B【解析】已知拋物線上有一點Px0,y0，則又，故在拋物線的外部，則，因為拋物線的焦點為F1,0，準線方程為，則，故．由于，當三點共線（在之間）時，取到最小值，則的最小值為．故選：B6.“天問一號”是執(zhí)行中國首次火星探測任務(wù)的探測器，該名稱源于屈原長詩《天問》，寓意探求科學(xué)真理征途漫漫，追求科技創(chuàng)新永無止境．圖（1）是“天問一號”探測器環(huán)繞火星的橢圓軌道示意圖，火星的球心是橢圓的一個焦點．過橢圓上的點P向火星被橢圓軌道平面截得的大圓作兩條切線，則就是“天問一號”在點P時對火星的觀測角．圖（2）所示的Q，R，S，T四個點處，對火星的觀測角最大的是（）A.Q B.R C.S D.T【答案】A【解析】設(shè)火星半徑為R，橢圓左焦點為，連接，則，因為，所以越小，越大，越大，所以當點P位于條件中點Q處，對火星的觀測角最大.故選：A.7.將正整數(shù)分解為兩個正整數(shù)、的積，即，當、兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當、是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前2024項的和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當，時，，所以；當，時，，所以；所以數(shù)列的前2024項和為：，故選：B.8.已知是圓的一條弦，，是的中點.當弦在圓上運動時，直線上總存在兩點，，使得為鈍角，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的圓心，半徑，因為為弦的中點，所以，又因為，所以三角形為正三角形，所以，即點在以為圓心，以為半徑的圓上，點所在圓的方程為，要使得為鈍角恒成立，則點所在的圓在以為直徑的圓的內(nèi)部，而在直線上，到直線的距離，所以以為直徑的圓的半徑的最小值為，所以的最小值為．此時為直角，所以的取值范圍是,．故選：D．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.全對得6分，部分對得部分分.9.已知曲線，下列說法正確的是（）A.若，則曲線C為橢圓B.若，則曲線C為雙曲線C.若曲線C為橢圓，則其長軸長一定大于2D.若曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，則其離心率小于大于1【答案】BCD【解析】對于A選項，若為橢圓，則，A不正確；對于B選項，若為雙曲線，等價于，即或，B正確；對于C選項，當時，橢圓長軸長，當時，橢圓長軸長，C正確；對于D選項，若為焦點在軸上的雙曲線，則，解得，雙曲線的離心率為，且雙曲線的離心率，故D正確.故選：BCD.10.已知數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（）A. B.中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列C.中存在連續(xù)三項成等比數(shù)列 D.數(shù)列的前項和【答案】ABD【解析】數(shù)列中，由，得，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，即，對于A，，A正確；對于B，，，即成等差數(shù)列，B正確；對于C，假定連續(xù)三項成等比數(shù)列，則，整理得，此方程無解，即中不存在連續(xù)三項成等比數(shù)列，C錯誤；對于D，，則，兩式相減得，因此，D正確.故選：ABD11.已知橢圓的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，是橢圓上異于，的一點，且（為坐標原點），記，的斜率分別為，，設(shè)為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，則（）A. B.的離心率為 C. D.【答案】ACD【解析】由，所以為等邊三角形，且在以為直徑的圓上，所以，即，A對；若，則，B錯；，C對；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，，，，即，D對.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.下列條件中，哪兩個條件組合一定能得到拋物線的標準方程為的是______（填序號）（寫出一個正確答案即可）.①焦點在軸上；②焦點在軸上；③拋物線上橫坐標為的點到焦點的距離為；④焦點到準線的距離為；⑤由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為.【答案】①③（答案不唯一）【解析】若要得到拋物線的方程為，則焦點一定在軸上，故①必選，②不選.若選①③，由拋物線的定義可知，得，則拋物線的方程為.若選①⑤，設(shè)焦點，，，，由，得解得，故拋物線的方程為.由④可知，故還可選擇①④.故答案為：①③（答案不唯一）13.已知數(shù)列滿足，，且.若是數(shù)列的前項積，求的最大值為______.【答案】【解析】因為，且，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列，所以，因為，又因為，所以當或時，取最大值，所以故答案為:14.如圖所示，已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點F，過點F作直線l交雙曲線C于兩點，過點F作直線l的垂線交雙曲線C于點G，【答案】【解析】設(shè)另一個焦點，連接，設(shè)則再根據(jù)雙曲線的定義可知：由雙曲線的對稱性可知，是的中點，也是的中點，所以四邊形是平行四邊形，又因為，所以可得，所以由勾股定理得：，化簡得：，再由勾股定理得：，代入得：，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知雙曲線的離心率，實軸長.（1）求的方程；（2）過右焦點且傾斜角為的直線交于，兩點，求；解：（1）由題設(shè)，又，所以，則.（2）由右焦點為，則，聯(lián)立雙曲線方程，得，整理得，顯然，則，，所以.16.在等比數(shù)列中，，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，化簡可得，整理可得，由，則，由方程解得，由，則.由數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則.（2）由，則，，由數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則.17.如圖，圓內(nèi)有一點，為過點且傾斜角為的弦.（1）當時，求的長；（2）是否存在弦被點平分？若存在，寫出直線的方程；若不存在，請說明理由.（3）是過點的另一條弦，當與始終保持垂直時，求的最大值.解：（1）當時，直線為，故，由圓的圓心為原點且半徑為，則圓心到距離為，所以.（2）假設(shè)存在，當弦被點平分時，點是的中點，連接，則，故，又，即，所以直線為，則.（3）記點到的距離分別為，有，又，，當且僅當時等號成立，綜上，的最大值為.18.已知橢圓的一個焦點，兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形.（1）求橢圓的標準方程;（2）過焦點作軸的垂線交橢圓上半部分于點,過點作橢圓的弦在橢圓上且直線的傾斜角互補，問直線MN的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.（3）在第（2）問的條件下，當面積最大時，求直線MN的方程.解：（1）由題意可知橢圓的半焦距，由兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形得，，故橢圓的標準方程為.（2）由已知得，由圖知，直線的傾斜角互補，即直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線的方程為，代入，消去得.設(shè)，所以，可得，因直線PM的斜率與PN的斜率互為相反數(shù)，所以在上式中以代替，可得，所以直線的斜率，即直線的斜率為定值.（3）由（1）已得，,可設(shè)直線的方程為：，代入，整理得：，則，即，設(shè)，則，于是，，點到直線的距離為，則的面積為：，因，則，故當時，取得最大值，此時直線的方程為,即和.19.若數(shù)列滿足（為正整數(shù)，為常數(shù)），則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，為公方差.（1）已知數(shù)列，的通項公式分別為：，，判斷上述兩個數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說明理由；（2）若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明：數(shù)列為常數(shù)列.（3）若數(shù)列是首項為1，公方差為2的等方差數(shù)列，在（1）的條件下，在與之間依次插入數(shù)列中的項構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前30項的和.解：（1）因為常數(shù))，所以數(shù)列為等方差數(shù)列，1為公方差；因，所以數(shù)列不是等方差數(shù)列；（2）因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則，又是等方差數(shù)列，所以，故，所以，即，所以，故是常數(shù)列；（3）由題意知數(shù)列是首項為1，公方差為2的等方差數(shù)列，故，而，所以，是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，而新數(shù)列中項(含前共有項，令，結(jié)合，解得，故數(shù)列中前30項含有的前7項和數(shù)列的前23項，所以數(shù)列中前30項的和.江蘇省四市十一校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期階段聯(lián)測數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線與垂直，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】C【解析】因為直線與垂直，所以，解得.故選：C.2.雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】中，，故，故焦點坐標為，漸近線方程為，故焦點到漸近線的距離為，由對稱性可知，雙曲線的焦點到漸近線的距離為2.故選：B3.已知數(shù)列1，，，，3，…，按此規(guī)律，是該數(shù)列（）A.第11項 B.第12項 C.第13項 D.第14項【答案】D【解析】根據(jù)數(shù)列1，，，，3，…，，又，,解得，故選:D.4.以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為點為圓心到直線的距離為，所以圓的半徑為，圓的方程為.故選：D.5.已知點，拋物線上有一點，則的最小值是（）A.10 B.8 C.5 D.4【答案】B【解析】已知拋物線上有一點Px0,y0，則又，故在拋物線的外部，則，因為拋物線的焦點為F1,0，準線方程為，則，故．由于，當三點共線（在之間）時，取到最小值，則的最小值為．故選：B6.“天問一號”是執(zhí)行中國首次火星探測任務(wù)的探測器，該名稱源于屈原長詩《天問》，寓意探求科學(xué)真理征途漫漫，追求科技創(chuàng)新永無止境．圖（1）是“天問一號”探測器環(huán)繞火星的橢圓軌道示意圖，火星的球心是橢圓的一個焦點．過橢圓上的點P向火星被橢圓軌道平面截得的大圓作兩條切線，則就是“天問一號”在點P時對火星的觀測角．圖（2）所示的Q，R，S，T四個點處，對火星的觀測角最大的是（）A.Q B.R C.S D.T【答案】A【解析】設(shè)火星半徑為R，橢圓左焦點為，連接，則，因為，所以越小，越大，越大，所以當點P位于條件中點Q處，對火星的觀測角最大.故選：A.7.將正整數(shù)分解為兩個正整數(shù)、的積，即，當、兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當、是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前2024項的和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當，時，，所以；當，時，，所以；所以數(shù)列的前2024項和為：，故選：B.8.已知是圓的一條弦，，是的中點.當弦在圓上運動時，直線上總存在兩點，，使得為鈍角，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的圓心，半徑，因為為弦的中點，所以，又因為，所以三角形為正三角形，所以，即點在以為圓心，以為半徑的圓上，點所在圓的方程為，要使得為鈍角恒成立，則點所在的圓在以為直徑的圓的內(nèi)部，而在直線上，到直線的距離，所以以為直徑的圓的半徑的最小值為，所以的最小值為．此時為直角，所以的取值范圍是,．故選：D．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.全對得6分，部分對得部分分.9.已知曲線，下列說法正確的是（）A.若，則曲線C為橢圓B.若，則曲線C為雙曲線C.若曲線C為橢圓，則其長軸長一定大于2D.若曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，則其離心率小于大于1【答案】BCD【解析】對于A選項，若為橢圓，則，A不正確；對于B選項，若為雙曲線，等價于，即或，B正確；對于C選項，當時，橢圓長軸長，當時，橢圓長軸長，C正確；對于D選項，若為焦點在軸上的雙曲線，則，解得，雙曲線的離心率為，且雙曲線的離心率，故D正確.故選：BCD.10.已知數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（）A. B.中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列C.中存在連續(xù)三項成等比數(shù)列 D.數(shù)列的前項和【答案】ABD【解析】數(shù)列中，由，得，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，即，對于A，，A正確；對于B，，，即成等差數(shù)列，B正確；對于C，假定連續(xù)三項成等比數(shù)列，則，整理得，此方程無解，即中不存在連續(xù)三項成等比數(shù)列，C錯誤；對于D，，則，兩式相減得，因此，D正確.故選：ABD11.已知橢圓的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，是橢圓上異于，的一點，且（為坐標原點），記，的斜率分別為，，設(shè)為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，則（）A. B.的離心率為 C. D.【答案】ACD【解析】由，所以為等邊三角形，且在以為直徑的圓上，所以，即，A對；若，則，B錯；，C對；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，，，，即，D對.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.下列條件中，哪兩個條件組合一定能得到拋物線的標準方程為的是______（填序號）（寫出一個正確答案即可）.①焦點在軸上；②焦點在軸上；③拋物線上橫坐標為的點到焦點的距離為；④焦點到準線的距離為；⑤由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為.【答案】①③（答案不唯一）【解析】若要得到拋物線的方程為，則焦點一定在軸上，故①必選，②不選.若選①③，由拋物線的定義可知，得，則拋物線的方程為.若選①⑤，設(shè)焦點，，，，由，得解得，故拋物線的方程為.由④可知，故還可選擇①④.故答案為：①③（答案不唯一）13.已知數(shù)列滿足，，且.若是數(shù)列的前項積，求的最大值為______.【答案】【解析】因為，且，所以，所以數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列，所以，因為，又因為，所以當或時，取最大值，所以故答案為:14.如圖所示，已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點F，過點F作直線l交雙曲線C于兩點，過點F作直線l的垂線交雙曲線C于點G，【答案】【解析】設(shè)另一個焦點，連接，設(shè)則再根據(jù)雙曲線的定義可知：由雙曲線的對稱性可知，是的中點，也是的中點，所以四邊形是平行四邊形，又因為，所以可得，所以由勾股定理得：，化簡得：，再由勾股定理得：，代入得：，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知雙曲線的離心率，實軸長.（1）求的方程；（2）過右焦點且傾斜角為的直線交于，兩點，求；解：（1）由題設(shè)，又，所以，則.（2）由右焦點為，則，聯(lián)立雙曲線方程，得，整理得，顯然，則，，所以.16.在等比數(shù)列中，，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，化簡可得，整理可得，由，則，由方程解得，由，則.由數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則.（2）由，則，，由數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則.17.如圖，圓內(nèi)有一點，為過點且傾斜角為的弦.（1）當時，求的長；（2）是否存在弦被點平分？若存在，寫出直線的方程；若不存在，請說明理由.（3）是過點的另一條弦，當與始終保持垂直時，求的最大值.解：（1）當時，直線為，故，由圓的圓心為原點且半徑為，則圓心到距離為，所以.（2）假設(shè)存在，當弦被點平分時，點是的中點，連接，則，故，又，即，所以直線為，則.（3）記點到的距離分別為，有，又，，當且僅當時等號成立，綜上，的最大值為.18.已知橢圓的一個焦點，兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊