2024-2025學(xué)年廣東省廣州市部分學(xué)校高二上學(xué)期第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為該直線的斜率為，所以它的傾斜角為.故選：A.2.如圖，已知正方體的棱長為1，以D為原點，以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個法向量是（）A.1,1,1 B.C. D.【答案】A【解析】由題意，，，，，，設(shè)是平面的一個法向量，則有，令，得，，.故選：A.3.已知向量，，向量在向量上的投影向量為

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）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A4.圓的圓心和半徑分別是（）A.，1 B.，3 C.，2 D.，2【答案】C【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心為，半徑為2.故選：C.5.將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線，則的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線的方程為，其斜率為，設(shè)直線的斜率為，，．由題意可知，，，的方程為：，即．故選：B6.空間中有三點，，，則點P到直線MN的距離為（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】因為，所以的一個單位方向向量為.因為，故，,所以點到直線的距離為.故選：A7.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點、的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中,，.點滿足，設(shè)點所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（）A.的方程為B.在上存在點，使得到點的距離為3C.在上存在點，使得D.上的點到直線的最小距離為1【答案】C【解析】對A：設(shè)點Px,y∵，則，整理得，故C的方程為，故A正確；對B：的圓心，半徑為，∵點到圓心的距離，則圓上一點到點的距離的取值范圍為，而，故在C上存在點D，使得D到點的距離為9，故B正確；對C：設(shè)點Mx,y，∵，則，整理得，∴點M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，又，則兩圓內(nèi)含，沒有公共點，∴在C上不存在點M，使得，C不正確；對D：∵圓心到直線的距離為，∴C上的點到直線的最小距離為，故D正確；故選：C.8.已知，是直線上兩動點，且，點，，則的最小值為（）A. B. C. D.12【答案】A【解析】不妨設(shè)點在點的左邊，因直線的傾斜角為，且，則點的坐標(biāo)為，則，記，則可將理解為點到的距離之和，即點到直線的距離之和，依題即需求距離之和的最小值.如圖，作出點關(guān)于直線的對稱點,則，連接，交直線于點,則即的最小值，且,故的最小值為.故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，若過定點的動直線：和過定點的動直線：交于點（與，不重合），則以下說法正確的是（）A.點的坐標(biāo)為2,1 B.C. D.的最大值為5【答案】ABC【解析】因為可以轉(zhuǎn)化為，故直線恒過定點，故A選項正確；又因為：，即恒過定點，由和,滿足，所以,可得,故B選項正確；所以,故C選項正確；因為,設(shè)為銳角,則,，所以,所以當(dāng)時,取最大值,故選項D錯誤.故選：ABC.10已知圓：，直線：（），則（）A.直線l恒過定點B.當(dāng)時，圓上恰有三個點到直線的距離等于1C.直線與圓有兩個交點D.圓與圓恰有三條公切線【答案】ACD【解析】對于A，直線，所以，令，解得，所以直線恒過定點，故A正確；對于B，當(dāng)時，直線為：，則圓心到直線的距離為，，所以圓上只有2個點到直線的距離為，故B錯誤；對于C，因為直線過定點，所以，所以定點在圓內(nèi)，則直線與圓有兩個交點，故C正確；對于D，由圓的方程可得，，所以圓心為，半徑為，此時兩圓圓心距為，所以兩圓位置關(guān)系為外切，則兩圓恰有三條公切線，故D正確.故選：ACD.11.如圖,在平行六面體中,已知,，E為棱上一點，且，則（）A. B.直線與所成角的余弦值為C.平面 D.直線與平面所成角為【答案】ABD【解析】不妨設(shè)則.對于A，因,故，故，故A正確；對于B，因，,則，，設(shè)直線與所成角為，則故B正確；對于C，因，即與不垂直，故不與平面垂直，故C錯誤；對于D，因，,因，，則有因平面，故平面，即平面的法向量可取為，又，設(shè)直線與平面所成角為，因，，，則，因，故，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間向量，，，若，，共面，則的最小值為__________．【答案】【解析】因為，，共面，所以，即，即，解得，所以，所以，所以最小值為，故答案為：.13.費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為，根據(jù)以上性質(zhì)，已知，為內(nèi)一點，記，則的最小值為______.【答案】【解析】設(shè)為坐標(biāo)原點，由，可得，且為銳角三角形，所以費馬點在線段上，如圖所示，設(shè)，則為頂角是的等腰三角形，可得，又由，則，所以的最小值為.故答案為：.14.已知正三棱柱的底面邊長為，高為2，點是其表面上的動點，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為正三棱柱的底邊長為，如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，所以，得到，又正三棱柱的高為2，所以棱柱的內(nèi)切球的半徑為，與上下底面有兩個切點且切點為上下底面的中心，又是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，如圖，取上下底面的兩個切點，設(shè)為，則，又點是正三棱柱表面上的動點，當(dāng)與（或）重合時，的值最小，此時，由對稱性知，當(dāng)為正三棱柱的頂點時，的值最大，連接，并延長交于，則，此時，得到，則的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知圓，過作直線圓交于點．（1）求證：是定值；（2）若點．求的值．解：（1）若直線的斜率不存在，則，則，所以；若直線的斜率存在，設(shè)，，消去，得，，又，所以.綜上，為定值.（2）易知直線的斜率存在，由（1）知，所以，得，由，得，所以.16.如圖，在空間幾何體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面，，且∥∥．（1）求證：四點共面；（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解：（1）因為平面平面，所以．因為四邊形是正方形，所以，所以兩兩垂直，則以點為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：根據(jù)題意，得．所以．因為，所以共面，又有公共點，所以四點共面．（2）存在，理由如下：，則，設(shè)m=x1則，即，令，得平面的一個法向量為．假設(shè)線段上存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為，令，則，設(shè)n=x2則，即，令，得平面一個法向量為．設(shè)平面與平面所成角為，則．化簡整理，得，因為，所以，所以在線段上存在一點，使得平面與平面所成角的余弦值為，此時．17.已知為圓C：上任意一點，（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．解：（1）由題可知，設(shè),得直線，該直線與圓有交點即可，所以圓心到直線的距離要小于等于半徑即可，有解得即所以的最大值為，最小值為（2）顯然表示點Mx,y到點的距離的平方，即已知Mx,y在圓上，所以顯然，所以所以所以所以所以的最大值為，最小值為.18.我國漢代初年成書的《淮南子畢術(shù)》中記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則是四鄰矣.”這是我國古代人民利用平面鏡反射原理的首個實例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧.而英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利·卡文迪許從鏡面反射現(xiàn)象中得到靈感，設(shè)計了卡文迪許扭秤實驗測量計算出了地球的質(zhì)量，他從而被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人.已知圓的半徑為3，圓心在直線位于第一象限的部分上，一條光線沿直線入射被軸反射后恰好與圓相切.（1）直接寫出的反射光線所在直線的方程；（2）求圓的方程；（3）點是圓與軸的公共點，一條光線從第一象限入射后與圓相切于點，并與軸交于點，其在點處被直線反射后沿著軸負(fù)方向傳播，此時的面積恰好為，求直線的方程.解：（1）設(shè)的反射光線所在直線上任意點為，則該點關(guān)于軸對稱點在直線上，所以的反射光線所在直線的方程為.（2）設(shè)點，而圓與直線相切，且圓半徑為3，則，即，整理得或，又點在第一象限，即，因此，點，所以圓的方程為.（3）由（2）知，點到軸距離為3，即軸與圓相切于點，由一條光線從第一象限入射后與圓相切于點，并與軸交于點，得點在點的右側(cè)，設(shè)，則，連接，，，，又，整理得，解得，即點，直線的斜率為，由光的反射性質(zhì)知，，則直線的斜率為，直線的方程為，即.19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出求線段的長；若不存在，說明理由．解：（1）連接，交于點，連接，點是的中點，點是的中點，所以,平面,平面，所以平面；（2）如圖，以向量，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，即，，，則，設(shè)平面的法向量，則，令得，所以平面的法向量，平面的一個法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則，所以平面和平面的夾角的余弦值為；（3）由（2）知，，，，，，，，由（2）知平面的法向量，設(shè)直線與平面的夾角為，則整理得，解得或故當(dāng)時，；當(dāng)時，則的長為或．廣東省廣州市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為該直線的斜率為，所以它的傾斜角為.故選：A.2.如圖，已知正方體的棱長為1，以D為原點，以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個法向量是（）A.1,1,1 B.C. D.【答案】A【解析】由題意，，，，，，設(shè)是平面的一個法向量，則有，令，得，，.故選：A.3.已知向量，，向量在向量上的投影向量為

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）．A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A4.圓的圓心和半徑分別是（）A.，1 B.，3 C.，2 D.，2【答案】C【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心為，半徑為2.故選：C.5.將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線，則的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線的方程為，其斜率為，設(shè)直線的斜率為，，．由題意可知，，，的方程為：，即．故選：B6.空間中有三點，，，則點P到直線MN的距離為（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】因為，所以的一個單位方向向量為.因為，故，,所以點到直線的距離為.故選：A7.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點、的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名,稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中,，.點滿足，設(shè)點所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（）A.的方程為B.在上存在點，使得到點的距離為3C.在上存在點，使得D.上的點到直線的最小距離為1【答案】C【解析】對A：設(shè)點Px,y∵，則，整理得，故C的方程為，故A正確；對B：的圓心，半徑為，∵點到圓心的距離，則圓上一點到點的距離的取值范圍為，而，故在C上存在點D，使得D到點的距離為9，故B正確；對C：設(shè)點Mx,y，∵，則，整理得，∴點M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，又，則兩圓內(nèi)含，沒有公共點，∴在C上不存在點M，使得，C不正確；對D：∵圓心到直線的距離為，∴C上的點到直線的最小距離為，故D正確；故選：C.8.已知，是直線上兩動點，且，點，，則的最小值為（）A. B. C. D.12【答案】A【解析】不妨設(shè)點在點的左邊，因直線的傾斜角為，且，則點的坐標(biāo)為，則，記，則可將理解為點到的距離之和，即點到直線的距離之和，依題即需求距離之和的最小值.如圖，作出點關(guān)于直線的對稱點,則，連接，交直線于點,則即的最小值，且,故的最小值為.故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，若過定點的動直線：和過定點的動直線：交于點（與，不重合），則以下說法正確的是（）A.點的坐標(biāo)為2,1 B.C. D.的最大值為5【答案】ABC【解析】因為可以轉(zhuǎn)化為，故直線恒過定點，故A選項正確；又因為：，即恒過定點，由和,滿足，所以,可得,故B選項正確；所以,故C選項正確；因為,設(shè)為銳角,則,，所以,所以當(dāng)時,取最大值,故選項D錯誤.故選：ABC.10已知圓：，直線：（），則（）A.直線l恒過定點B.當(dāng)時，圓上恰有三個點到直線的距離等于1C.直線與圓有兩個交點D.圓與圓恰有三條公切線【答案】ACD【解析】對于A，直線，所以，令，解得，所以直線恒過定點，故A正確；對于B，當(dāng)時，直線為：，則圓心到直線的距離為，，所以圓上只有2個點到直線的距離為，故B錯誤；對于C，因為直線過定點，所以，所以定點在圓內(nèi)，則直線與圓有兩個交點，故C正確；對于D，由圓的方程可得，，所以圓心為，半徑為，此時兩圓圓心距為，所以兩圓位置關(guān)系為外切，則兩圓恰有三條公切線，故D正確.故選：ACD.11.如圖,在平行六面體中,已知,，E為棱上一點，且，則（）A. B.直線與所成角的余弦值為C.平面 D.直線與平面所成角為【答案】ABD【解析】不妨設(shè)則.對于A，因,故，故，故A正確；對于B，因，,則，，設(shè)直線與所成角為，則故B正確；對于C，因，即與不垂直，故不與平面垂直，故C錯誤；對于D，因，,因，，則有因平面，故平面，即平面的法向量可取為，又，設(shè)直線與平面所成角為，因，，，則，因，故，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間向量，，，若，，共面，則的最小值為__________．【答案】【解析】因為，，共面，所以，即，即，解得，所以，所以，所以最小值為，故答案為：.13.費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為，根據(jù)以上性質(zhì)，已知，為內(nèi)一點，記，則的最小值為______.【答案】【解析】設(shè)為坐標(biāo)原點，由，可得，且為銳角三角形，所以費馬點在線段上，如圖所示，設(shè)，則為頂角是的等腰三角形，可得，又由，則，所以的最小值為.故答案為：.14.已知正三棱柱的底面邊長為，高為2，點是其表面上的動點，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為正三棱柱的底邊長為，如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，所以，得到，又正三棱柱的高為2，所以棱柱的內(nèi)切球的半徑為，與上下底面有兩個切點且切點為上下底面的中心，又是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，如圖，取上下底面的兩個切點，設(shè)為，則，又點是正三棱柱表面上的動點，當(dāng)與（或）重合時，的值最小，此時，由對稱性知，當(dāng)為正三棱柱的頂點時，的值最大，連接，并延長交于，則，此時，得到，則的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知圓，過作直線圓交于點．（1）求證：是定值；（2）若點．求的值．解：（1）若直線的斜率不存在，則，則，所以；若直線的斜率存在，設(shè)，，消去，得，，又，所以.綜上，為定值.（2）易知直線的斜率存在，由（1）知，所以，得，由，得，所以.16.如圖，在空間幾何體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面，，且∥∥．（1）求證：四點共面；（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解：（1）因為平面平面，所以．因為四邊形是正方形，所以，所以兩兩垂直，則以點為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：根據(jù)題意，得．所以．因為，所以共面，又有公共點，所以四點共面．（2）存在，理由如下：，則，設(shè)m=x1則，即，令，得平面的一個法向量為．假設(shè)線段上存在點，使得平面與平面所成角的余弦值為，令，則，設(shè)n=x2則，即，令，得平面一個法向量為．設(shè)平面與平面所成角為，則．化簡整理，得，因為，所以，所以在線段上存在一點，使得平面與平面所成角的余弦值為，此時．17.已知為圓C：上任意一點，（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．解：（1）由題可知，設(shè),得直線，該直線與圓有交點即可，所以圓心到直線的距離要小于等于半徑即可，有解得即所以的最大值為，最小值為（2）顯然表示點Mx,y到點的距離的平方，即已知Mx,y在圓上，所以顯然，所以所以所以所以所以的最大值為，最小值為.18.我國漢代初年成書的《淮南子畢術(shù)》中記載：“取大