2023-2024學(xué)年陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則B.若五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則C.若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則D.若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則【答案】C【解析】對(duì)于A，若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則，故A不符合題意；對(duì)于B，若五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則，且當(dāng)時(shí)，即成等差數(shù)列，故B不符合題意；對(duì)于CD，若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則，即，故C符合題意，D不符合題意.故選：C.2.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，則實(shí)數(shù)的值是（）A B.或 C. D.或【答案】B【解析】由橢圓，即，所以或，所以或，解得或．選：B．3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】拋物線方程可化為，則，故拋物線準(zhǔn)線方程為.故選：A4.如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)M、N分別在線段、上，且，，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意.故選：A.5.已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角是B.若直線，則C.點(diǎn)到直線的距離是1D.過(guò)與直線平行的直線方程是【答案】D【解析】直線，直線的斜率為：，所以直線的傾斜角為：，所以A不正確；直線的斜率為：，兩條直線不垂直，所以B不正確；點(diǎn)到直線的距離是：，所以C不正確；過(guò)與直線平行的直線方程是，正確，所以D正確；故選：D．6.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.且，，則（）A.16 B.19C.28 D.36【答案】C【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，，成等比數(shù)列，因?yàn)?，，所以，，?故選：C.7.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，…；該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面相鄰兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，若記此數(shù)列為，則以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意數(shù)列前六項(xiàng)為：1,1,2,3,5,8,故AB正確；由題意則可得：，所以選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤；故選：D8.若過(guò)點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若方程所表示的曲線為C，則（）A.曲線C可能是圓B.若，則C不一定是橢圓C.若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則D.若C為雙曲線，且焦點(diǎn)在y軸上，則【答案】ABC【解析】對(duì)于AB，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，所以曲線C可能是圓，不一定是橢圓故AB正確；對(duì)于C，若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則，解得，故C正確；對(duì)于D，若C為雙曲線，且焦點(diǎn)在y軸上，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由題意，，，.故選：AD.11.設(shè)拋物線，為其焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為3，則的坐標(biāo)為.C.若，則的最小值為.D.過(guò)焦點(diǎn)作斜率為2的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則【答案】AC【解析】拋物線，.對(duì)于A，，，A正確；對(duì)于B，設(shè)，，，的坐標(biāo)為.B錯(cuò)誤；對(duì)于C,,C正確；對(duì)于D，直線，聯(lián)立，得：，,,D錯(cuò)誤.故選：AC.12.如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】在選項(xiàng)A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直線平面，故A正確；在選項(xiàng)B中，∵，平面，平面，∴平面，∵點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故B正確；在選項(xiàng)C中，∵，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.易知為等邊三角形，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，直線與直線的夾角為.故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；在選項(xiàng)D中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，，所以，.由A選項(xiàng)正確：可知是平面的一個(gè)法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為：，∴當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.焦點(diǎn)在軸上，，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】【解析】焦點(diǎn)在x軸上，，，則，解得，故故所求橢圓的方程為：．故答案為：．14.等比數(shù)列中，，，則__________.【答案】【解析】設(shè)的公比為，因?yàn)?，，所?解得,故.故答案為：.15.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.【答案】【解析】的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則切線的方程為，即.故答案為：．16.已知雙曲線與直線相交于M、N兩點(diǎn)，且M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為，則該雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】聯(lián)立方程組，消去，得，由題意，,得，即雙曲線，故雙曲線C的離心率.故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前3項(xiàng)和是24，前5項(xiàng)和是30.（1）求這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是的前n項(xiàng)和，則是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差分別為，則由題意，解得，所以這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1），所以，而二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口向下，所以當(dāng)或時(shí)，的最大值為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓O：和圓．（1）若圓O與圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，求直線l的方程；（2）若圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1，求b的值.解：（1）由題意圓O：和圓即關(guān)于直線l對(duì)稱．兩式相減得，公共弦方程即直線l的方程為.（2）圓O：的圓心為，半徑為，若圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1，則圓心到直線的距離等于1，所以，解得.19.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（1）由題意設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，且所以，又，所以解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）若，則，數(shù)列的前n項(xiàng)和，，兩式相減得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.20.如圖，已知點(diǎn)A(6,4)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，E點(diǎn)是線段OA上任意一點(diǎn)，EC⊥AB于點(diǎn)C，ED⊥x軸于點(diǎn)D，OC與ED相交于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的軌跡方程.解：OA的方程為：，設(shè)，所以，可得，F(xiàn)在線段OC上，所以，,得，整理得F的軌跡方程為：.21.已知雙曲線的漸近線方程是，實(shí)軸長(zhǎng)為2.（1）求雙曲線的方程;（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率.解：（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是，實(shí)軸長(zhǎng)為2，所以，，所以雙曲線的方程為；（2）雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性可知，若線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率存在，設(shè)為，且，，可得直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，可得，設(shè)，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.22.在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.（1）證明：AB⊥PD.（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.解：（1）連結(jié)BD，∵在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.∴BD＝AD，∴AD2+PD2＝AP2，BD2+PD2＝PB2，∴AD⊥PD，BD⊥PD，∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，∵AB?平面ABCD，∴AB⊥PD.（2）∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（，0，0），B（0，，0），C（，0），P（0，0，），（），（0，，），（，，），設(shè)平面ABP的法向量（x，y，z），則，取x＝1，得（1，1，1），設(shè)平面PBC的法向量，則，取，得（﹣1，1，1），設(shè)二面角A﹣PB﹣C的平面角為θ，則二面角A﹣PB﹣C的余弦值為：cosθ.陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則B.若五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則C.若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則D.若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則【答案】C【解析】對(duì)于A，若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則，故A不符合題意；對(duì)于B，若五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則，且當(dāng)時(shí)，即成等差數(shù)列，故B不符合題意；對(duì)于CD，若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則，即，故C符合題意，D不符合題意.故選：C.2.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，則實(shí)數(shù)的值是（）A B.或 C. D.或【答案】B【解析】由橢圓，即，所以或，所以或，解得或．選：B．3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】拋物線方程可化為，則，故拋物線準(zhǔn)線方程為.故選：A4.如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)M、N分別在線段、上，且，，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意.故選：A.5.已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角是B.若直線，則C.點(diǎn)到直線的距離是1D.過(guò)與直線平行的直線方程是【答案】D【解析】直線，直線的斜率為：，所以直線的傾斜角為：，所以A不正確；直線的斜率為：，兩條直線不垂直，所以B不正確；點(diǎn)到直線的距離是：，所以C不正確；過(guò)與直線平行的直線方程是，正確，所以D正確；故選：D．6.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.且，，則（）A.16 B.19C.28 D.36【答案】C【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，，成等比數(shù)列，因?yàn)?，，所以，，?故選：C.7.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，…；該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面相鄰兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，若記此數(shù)列為，則以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意數(shù)列前六項(xiàng)為：1,1,2,3,5,8,故AB正確；由題意則可得：，所以選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤；故選：D8.若過(guò)點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若方程所表示的曲線為C，則（）A.曲線C可能是圓B.若，則C不一定是橢圓C.若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則D.若C為雙曲線，且焦點(diǎn)在y軸上，則【答案】ABC【解析】對(duì)于AB，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，所以曲線C可能是圓，不一定是橢圓故AB正確；對(duì)于C，若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則，解得，故C正確；對(duì)于D，若C為雙曲線，且焦點(diǎn)在y軸上，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由題意，，，.故選：AD.11.設(shè)拋物線，為其焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若點(diǎn)到焦點(diǎn)距離為3，則的坐標(biāo)為.C.若，則的最小值為.D.過(guò)焦點(diǎn)作斜率為2的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則【答案】AC【解析】拋物線，.對(duì)于A，，，A正確；對(duì)于B，設(shè)，，，的坐標(biāo)為.B錯(cuò)誤；對(duì)于C,,C正確；對(duì)于D，直線，聯(lián)立，得：，,,D錯(cuò)誤.故選：AC.12.如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】在選項(xiàng)A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直線平面，故A正確；在選項(xiàng)B中，∵，平面，平面，∴平面，∵點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故B正確；在選項(xiàng)C中，∵，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.易知為等邊三角形，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，直線與直線的夾角為.故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；在選項(xiàng)D中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，，所以，.由A選項(xiàng)正確：可知是平面的一個(gè)法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為：，∴當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.焦點(diǎn)在軸上，，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】【解析】焦點(diǎn)在x軸上，，，則，解得，故故所求橢圓的方程為：．故答案為：．14.等比數(shù)列中，，，則__________.【答案】【解析】設(shè)的公比為，因?yàn)椋?，所?解得,故.故答案為：.15.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.【答案】【解析】的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則切線的方程為，即.故答案為：．16.已知雙曲線與直線相交于M、N兩點(diǎn)，且M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為，則該雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】聯(lián)立方程組，消去，得，由題意，,得，即雙曲線，故雙曲線C的離心率.故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前3項(xiàng)和是24，前5項(xiàng)和是30.（1）求這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是的前n項(xiàng)和，則是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差分別為，則由題意，解得，所以這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1），所以，而二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口向下，所以當(dāng)或時(shí)，的最大值為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓O：和圓．（1）若圓O與圓C關(guān)于直線l對(duì)稱，求直線l的方程；（2）若圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1，求b的值.解：（1）由題意圓O：和圓即關(guān)于直線l對(duì)稱．兩式相減得，公共弦方程即直線l的方程為.（2）圓O：的圓心為，半徑為，若圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1，則圓心到直線的距離等于1，所以，解得.19.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（1）由題意設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，且所以，又，所以解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）若，則，數(shù)列的前n項(xiàng)和，，兩式相減得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.20.如圖，已知點(diǎn)A(6,4)，AB⊥x軸于