計算機科學導論第二章數(shù)制

2025/2/14第2章數(shù)制NumberSystems2025/2/14理解數(shù)制的概念.

分清位置化數(shù)制和非位置化數(shù)制.

描述十進制.描述二進制.

將十進制轉(zhuǎn)換為二進制、八進制或十六進制.

將二進制和八進制相互轉(zhuǎn)換.

將二進制和十六進制相互轉(zhuǎn)換.

查找在各種系統(tǒng)中代表特定數(shù)值所需的數(shù)碼.目標通過本章的學習，同學們應(yīng)該能夠:2025/2/142-1引言INTRODUCTION數(shù)制定義了如何用獨特的符號來表示一個數(shù)字.在不同的系統(tǒng)中，數(shù)字有不同的表示方法.例如，這兩個數(shù)字(2A)16

和(52)8

都是指同樣的數(shù)量(42)10,但是它們的表示截然不同.

一些數(shù)制系統(tǒng)已經(jīng)在過去廣為使用，并可以分為兩類：位置化數(shù)制和非位置化數(shù)制.我們的主要目標是討論位置化數(shù)制系統(tǒng)，但也給出非位置化數(shù)制系統(tǒng)的例子.2025/2/142-2位置化數(shù)制系統(tǒng)POSITIONALNUMBERSYSTEMS在位置化數(shù)制系統(tǒng)中，符號所占據(jù)的位置決定了其表示的值。它的值是:2025/2/14位置化數(shù)制系統(tǒng)

其中，S是一套符號集，Si是數(shù)碼（數(shù)字符號），b是底或基數(shù)（數(shù)碼的個數(shù)）.

bi：權(quán)（數(shù)值中每一固定位置對應(yīng)的單位）計數(shù)規(guī)則：逢基數(shù)進一例：(123.45)10=1×102+2×101+3×100+4×10-1+5×10-2(101.01)2=1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

2025/2/14下標法：用小括號將所表示的數(shù)括起來，然后在右括號右下角寫上數(shù)制的基R。字母法：在所表示的數(shù)的末尾寫上相應(yīng)數(shù)制字母。2025/2/14進制符號數(shù)碼二進制

B(Binary)

0~1八進制

O(Octal)

0~7十進制

D(Decimal)

0~9十六進制H(Hexadecimal)0~9,A~F2025/2/14S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}十進制系統(tǒng)Thedecimalsystem(以10為底)十進制來源于拉丁詞根decem(ten).在該系統(tǒng)中，底b=10，并且我們用10個符號來表示一個數(shù)該系統(tǒng)中的符號，常被稱為十進制數(shù)碼，或僅稱為數(shù)碼.

2025/2/14整數(shù)Figure2.1在十進制系統(tǒng)中使用位置量表示整數(shù)2025/2/14Example2.1在十進制系統(tǒng)中使用位置量表示整數(shù)+224.注意，在位置1的數(shù)碼2值為20，但是在位置2的同一個數(shù)碼其值為200。通常我們省略掉的加號，實際上是隱含的.2025/2/14Example2.2在十進制系統(tǒng)中使用位置量表示整數(shù)?7508.可以用k表示的十進制整數(shù)的最大值？答案是Nmax=10k-1。如果k=5，那么這個最大值是Nmax=105-1=99999.()Values2025/2/14實數(shù)Example2.3以下顯示了實數(shù)+24.13的位置量.2025/2/14二進制binary來源于拉丁詞根bini(二).在該系統(tǒng)中，底b=2,并且用兩個符號來表示一個數(shù)

二進制系統(tǒng)Thebinarysystem(以2為底)S={0,1}該系統(tǒng)中的符號常被稱為二進制數(shù)碼或位2025/2/14整數(shù)Figure2.2在二進制系統(tǒng)中使用位置量表示整數(shù)2025/2/14Example2.4二進制數(shù)(11001)2，下標2表示底是2.相等的十進制數(shù)是N=16+8+0+0+1=25.2025/2/14實數(shù)Example2.5與十進制數(shù)5.75等值的二進制數(shù)(101.11)2.2025/2/14十六進制hexadecimal來源于希臘詞根hex(six)和拉丁詞根decem(ten).在該系統(tǒng)中，底b=16，并且用16個符號來表示一個數(shù).字符集是，十六進制系統(tǒng)Thehexadecimalsystem(以16為底)S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}注意符號A,B,C,D,E,F分別等于10,11,12,13,14,15.該系統(tǒng)中的符號常被稱為十六進制數(shù)碼.2025/2/14整數(shù)Figure2.3在十六進制系統(tǒng)中使用位置量表示一個整數(shù)2025/2/14Example2.6與十進制數(shù)686等值的十六進制數(shù)(2AE)16.相等的十進制數(shù)為N=512+160+14=686.2025/2/14八進制octal來源于拉丁詞根octo(八).在該系統(tǒng)中，底b=8，并且用8個符號來表示一個數(shù).字符集是，八進制系統(tǒng)Theoctalsystem(以8為底)S={0,1,2,3,4,5,6,7}2025/2/14整數(shù)Figure2.4在八進制系統(tǒng)中使用位置量表示一個整數(shù)2025/2/14Example2.7八進制數(shù)(1256)8.相等的十進制數(shù)為N=512+128+40+6=686.2025/2/14表2.1是本章討論的四種位置化系統(tǒng)的小結(jié).四種位置化系統(tǒng)總結(jié)2025/2/14表2.2顯示了數(shù)字0到15在不同的系統(tǒng)中是如何表示的.2025/2/14如何將一種系統(tǒng)中的數(shù)字轉(zhuǎn)換為另一個系統(tǒng)中等價的數(shù)字？

如何從其他進制轉(zhuǎn)換到十進制.如何從十進制轉(zhuǎn)換到其他進制.如何簡便地進行二進制與八進制或十六進制之間的相互轉(zhuǎn)換.轉(zhuǎn)換

2025/2/14其他進制到十進制的轉(zhuǎn)換Figure2.5任意進制到十進制的轉(zhuǎn)換2025/2/14Example2.8如何將二進制數(shù)(110.11)2

轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)6.75.2025/2/14Example2.9如何將十六進制數(shù)(1A.23)16

轉(zhuǎn)換為十進制數(shù).注意這個十進制表示并不精確，因為3×16?2=0.01171875.四舍五入成三位小數(shù)(0.012).2025/2/14Example2.10如何將八進制數(shù)(23.17)8

轉(zhuǎn)換為十進制數(shù).在十進制中(23.17)8≈19.234.再一次,我們把7×8?2=0.109375四舍五入.2025/2/14Figure2.7轉(zhuǎn)換十進制的整數(shù)部分到其他進制除基取余法十進制到其他進制的轉(zhuǎn)換2025/2/14Example2.11如何將十進制數(shù)35轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)？從這個十進制數(shù)35開始，一邊連續(xù)尋找除以2得到的商和余數(shù)，一邊左移.結(jié)果是35=(100011)2.2025/2/14Example2.12如何將十進制數(shù)126轉(zhuǎn)換為八進制數(shù).一邊連續(xù)尋找除以8得到的商和余數(shù)，一邊左移.結(jié)果是126=(176)8.2025/2/14Example2.13如何將十進制數(shù)126轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù).一邊連續(xù)尋找除以16得到的商和余數(shù)，一邊左移.結(jié)果是126=(7E)162025/2/14例：將十進制整數(shù)（105）10轉(zhuǎn)換為二進制整數(shù)。解：

2︳105

2︳52

余數(shù)為12︳26

余數(shù)為02︳13

余數(shù)為02︳6

余數(shù)為12︳3

余數(shù)為02︳1

余數(shù)為10 余數(shù)為1

所以，（105）10＝（1101001）22025/2/14Figure2.9轉(zhuǎn)換十進制的小數(shù)部分到其他進制乘基取整法轉(zhuǎn)換十進制的小數(shù)部分到其他進制2025/2/14Example2.14將十進制數(shù)0.625轉(zhuǎn)換為二進制數(shù).該例子顯示小數(shù)部分如何計算.2025/2/14Example2.15如何將0.634轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)且精確到小數(shù)四位.結(jié)果是0.634=(0.5044)8.注意，乘以8(以8為底).2025/2/14Example2.16如何將十進制數(shù)178.6轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)，且精確到1位小數(shù).結(jié)果是178.6=(B2.9)16

，注意，以16為底時除以或乘以16.2025/2/14Example2.17通常把小于256的十進制數(shù)

轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，有一個變通的方法，即把這個數(shù)分解為下列二進制位置量對應(yīng)數(shù)的和:2025/2/14Example2.18當分母是2的冪次時，用類似的方法可以把十進制小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制:結(jié)果是(0.011011)22025/2/14二進制-十六進制的轉(zhuǎn)換Binary-hexadecimalconversionFigure2.10二進制與十六進制的互換2025/2/14Example2.19如何將二進制數(shù)(10011100010)2轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)解：首先將二進制數(shù)排為4位一組的形式:10011100010注意:最左邊一組可能是1到4位不等.根據(jù)表2.2所示的值對照每組等量轉(zhuǎn)換得到十六進制數(shù)(4E2)16.2025/2/14Example2.20與十六進制數(shù)(24C)16相等的二進制數(shù)是多少?解：將每個十六進制數(shù)碼轉(zhuǎn)換成4位一組的二進制數(shù):2→0010,4→0100,C→1100結(jié)果是(001001001100)2.2025/2/14二進制-八進制的轉(zhuǎn)換Binary-octalconversionFigure2.11二進制與八進制的互換2025/2/14Example2.21如何將二進制數(shù)(101110010)2轉(zhuǎn)換為八進制數(shù).解：每3位一組轉(zhuǎn)換為1位八進制數(shù)碼.對照每3位一組等量轉(zhuǎn)換得到八進制數(shù).結(jié)果是(562)8.1011100102025/2/14Example2.22與(24)8相等的二進制數(shù)是多少?解：將每個八進制數(shù)碼寫成對等的二進制位組2→0104→100結(jié)果是(010100)2.2025/2/14八進制-十六進制的轉(zhuǎn)換Octal-hexadecimalconversionFigure2.12八進制與十六進制的互換2025/2/14Example2.23找出二進制數(shù)碼的最小數(shù)，用于存儲一個最大6個數(shù)碼的十進制整數(shù).解：k=6,b1=10,b2=2.x=「k×(logb1/logb2)=「6×(1/0.30103)=20.最大的6數(shù)碼十進制數(shù)是999,999，并且最大的20位二進制數(shù)1,048,575.注意，可以用19位表示的最大的數(shù)是524287,它比999,999小.因此需要20位.2025/2/142-3非位置化數(shù)制系統(tǒng)NONPOSITIONALNUMBERSYSTEMS盡管非位置化系統(tǒng)并不用在計算機中,但我們給出簡單的介紹作為和位置化數(shù)制系統(tǒng)的比較.非位置化數(shù)制系統(tǒng)仍然