江蘇省宿遷市沭陽(yáng)縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.本卷滿分150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘，考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率求直線的傾斜角.【詳解】由直線得其斜率為，設(shè)直線的傾斜角為（），則，所以，所以直線的傾斜角為，故選：D2.橢圓的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】求出的值，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)位置可得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，，則，易知該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，因此，橢圓的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，.故選：D.3.圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】將兩圓方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)式，計(jì)算出兩圓圓心距，利用幾何法可判斷出兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以?xún)蓤A圓心距為，所以，因此兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：C.4.方程表示的曲線為（）A.圓 B.橢圓 C.線段 D.不表示任何圖形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴方程可表示平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為的圖形，此時(shí)，∴方程表示的軌跡是線段，故選：C．5.如果方程所表示的曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則必有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知圓心在直線上，即可得結(jié)果.【詳解】方程表示圓心為的圓，由題意可知：圓心在直線上，則，即.故選：A.6.設(shè)為實(shí)數(shù)，若矩形的邊所在的直線方程分別為，，則的值為（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知兩直線平行，列式求解，并代入檢驗(yàn).【詳解】由題意可知：直線與平行，則，解得或，若，兩直線分別為、，兩直線平行，符合題意；若，兩直線分別為、，兩直線平行，符合題意；綜上所述：的值為或.故選：C.7.過(guò)點(diǎn)引直線與圓相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)面積取最大值時(shí)，的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，求出圓心到直線的距離，再由幾何法求出弦長(zhǎng)，表示出三角形面積，再令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出即可；【詳解】由題意可得，直線的斜率存在，設(shè)為，則，點(diǎn)到直線的距離為，弦長(zhǎng)，所以，令，則，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，故選：A.8.已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，左，右焦點(diǎn)分別為，，且關(guān)于它的一條漸近線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，若以為圓心，為半徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，根據(jù)漸近線和中位線可知，即可得離心率.【詳解】由題意可知：，設(shè)與漸近線的交點(diǎn)為，則為的中點(diǎn)，且，則點(diǎn)到直線的距離，可得，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，即，所以雙曲線的離心率為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如果，那么直線通過(guò)（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率以及軸截距判斷即可；【詳解】因?yàn)椋?所以所以，令所以直線經(jīng)過(guò)一三四象限.故選：ACD.10.已知橢圓，且兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上任意一點(diǎn)，以下結(jié)論正確的是（）A.周長(zhǎng)為12 B.的最小值為3C.存在點(diǎn)，使得 D.的最大值為16【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)橢圓定義即可判斷；對(duì)于B：根據(jù)橢圓性質(zhì)即可判斷；對(duì)于C：可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，分析橢圓與圓的交點(diǎn)情況即可；對(duì)于D：根據(jù)橢圓定義結(jié)合基本不等式分析判斷.【詳解】由橢圓方程可知：，則.對(duì)于選項(xiàng)A：的周長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：的最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：存在點(diǎn)，使得，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，但，可知圓與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)，使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為16，故D正確；故選：AD.11.已知圓：，則下列結(jié)論正確的是（）A.，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.，直線與圓相切C.，存在定直線與圓相切D.，存在定圓與圓外切【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，將點(diǎn)代入圓，可求出進(jìn)行判斷；對(duì)于B，利用圓心到直線的距離驗(yàn)證；對(duì)于C，數(shù)形結(jié)合驗(yàn)證；對(duì)于D，當(dāng)圓為時(shí)，利用圓與圓的位置關(guān)系驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A，將點(diǎn)代入圓，得，整理得，此時(shí)，故A正確；對(duì)于B，圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為：，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閳A的圓心為，且，所以圓的圓心在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，如圖所示：又圓半徑為，，當(dāng)圓圓心在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，顯然沒(méi)有定直線與圓相切，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)圓為時(shí)，圓心為，半徑為1，所以圓與圓的圓心距為：而圓與圓的半徑和為，故存在定圓：與圓外切，故D正確.故答案為：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義知，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p.【詳解】由拋物線方程知，，，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的方程，幾何性質(zhì)，屬于容易題.13.函數(shù)的最小值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式的幾何意義可得表示到點(diǎn)距離之和，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)結(jié)合不等式分析可得，運(yùn)算求解【詳解】，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式的幾何意義得，函數(shù)表示到點(diǎn)距離之和，如圖所示，作出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，連接，可得，又由，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，等號(hào)成立，所以，即函數(shù)的最小值為故答案：14.設(shè)為正實(shí)數(shù)，若集合，且，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】畫(huà)出集合表示的區(qū)域，通過(guò)直線與圓相切即可求解.【詳解】畫(huà)出表示的區(qū)域，如圖正方形及其內(nèi)部，，可知當(dāng)與圖中正方形相切時(shí)，取得最大值，易知坐標(biāo)原點(diǎn)到正方形邊的距離為，所以，故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知點(diǎn)，直線.（1）求過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；（2）若點(diǎn)在直線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)所求直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入所求直線的方程，求出的值，即可得出所求直線的方程；（2）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)，可得出，求出的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，所以，所以所求直線方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，且直線的斜率為，故，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.16.設(shè)為實(shí)數(shù)，已知方程表示橢圓.（1）求的取值范圍；（2）若，過(guò)橢圓的焦點(diǎn)作長(zhǎng)軸的垂線，交橢圓于兩點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓方程的特征直接構(gòu)造不等式組即可求得結(jié)果；（2）由橢圓方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，將焦點(diǎn)橫坐標(biāo)代入橢圓方程可求得縱坐標(biāo)，由此可得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】表示橢圓，，解得：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，橢圓方程為：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入橢圓方程可得：，即，.17.已知圓的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為，并且與軸交于兩點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）通過(guò)已知條件先確定圓心坐標(biāo)，再求得半徑即可；（2）通過(guò)確定圓心到直線的距離，再結(jié)合斜率存在與不存在兩種情況討論即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為，由圓過(guò)得兩點(diǎn)，得圓心在直線上，由，解得，所以所以圓的方程為，即；【小問(wèn)2詳解】由，可得：為等腰直角三角形，，,所以圓心到直線的距離，①若直線存在斜率，可設(shè)方程為，即，由已知圓心到直線的距離，解得，此時(shí)，直線的方程為，即；②若直線斜率不存在，則的方程為，符合題意，綜上所述，直線的方程為或.18.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左，右焦點(diǎn)，且，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)（在同一直線上，在第一象限）.當(dāng)軸時(shí)，的斜率為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由軸時(shí)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合的斜率為，列式求出得解；（2）設(shè)，由，可得，結(jié)合，求出點(diǎn)坐標(biāo)，得解.【小問(wèn)1詳解】由光學(xué)性質(zhì)知，三點(diǎn)共線，因?yàn)?，所以，?dāng)軸時(shí)，在雙曲方程中令，解得，則，所以，即，又因?yàn)?，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，即，可得，又，所以，，所以所以方程為，即?19.已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，且，直線與拋物線交于另一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且軸.（1）求拋物線的方程；（2）若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求直線的方程；（3）求證：直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn).【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線