浙江省A9協(xié)作體2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(解析版)

浙江省A9協(xié)作體2021-2022學(xué)年第二學(xué)期期中聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字；3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，均為單位向量，它們的夾角為，那么（）A.1 B. C. D.2【1題答案】【答案】C【解析】【分析】直接利用數(shù)量積和模的計算即可求解.【詳解】因為，均為單位向量，它們的夾角為，所以，所以.故選：C2.若復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部為 B.C.在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第三象限 D.的共軛復(fù)數(shù)為【2題答案】【答案】B【解析】【分析】將復(fù)數(shù)化簡成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，即可依次判斷各個選項的正誤.【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以，的虛部為，故A錯誤；，所以，故B正確，D錯誤；在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，位于第一象限，故C錯誤；故選：B.3.已知，為兩個不同的平面，，為兩條不同的直線，設(shè)，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【3題答案】【答案】D【解析】【分析】由空間中的線面關(guān)系結(jié)合充分必要條件的判斷得答案．【詳解】解：因為，為兩個不同的平面，，為兩條不同的直線，且，，由，不一定有，與可能相交；反之，由，可得或與異面．，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，且，，則“”是“”的既不充分也不必要條件．故選：D．4.已知圓錐的頂點為O，底面圓心為，以過的平面截該圓錐，所得截面為一個面積為的等邊三角形，則與該圓錐同底等高的圓柱的表面積為（）A. B. C. D.【4題答案】【答案】D【解析】【分析】由題意，求得正三角形的邊長為，得到圓錐的高為，底面圓的半徑為，結(jié)合圓柱的表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，過直線的平面截該圓錐所得的截面是面積為的正三角形，設(shè)正三角形的邊長為，可得，解得，即圓錐的高為，底面圓的半徑為，所以與該圓錐同底等高的圓柱的表面積為：，故選：D.5.在中三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則c的值為（）A.3 B. C. D.4【5題答案】【答案】A【解析】【分析】依題意，利用余弦定理可求出c的值.【詳解】因為在中，，所以，即，由余弦定理可知，即，解得或，因為，所以，故選：A.6.若，，向量與向量夾角為150°，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【6題答案】【答案】D【解析】【分析】利用投影向量的定義直接求解.【詳解】因為，，向量與向量的夾角為150°，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D7.如圖所示，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點，點P是正方體表面上的動點，若平面，則點在正方體表面上運(yùn)動所形成的軌跡長度為（）

A. B. C. D.【7題答案】【答案】B【解析】【分析】要滿足平面，只需要尋找一個平面，使該平面經(jīng)過，且與平面平行即可,取的中點G，的中點H，連結(jié).證明出面面.得到點在正方體表面上運(yùn)動所形成的軌跡為三角形，求出周長即可.【詳解】取的中點G，的中點H，連結(jié).正方體的棱長為2.為中點，所以,所以且.因為為分別為的中點，所以,且，所以四邊形為平行四邊形，所以.因為面，面，所以面.同理可證：面.又,面,面,所以面面.所以點在正方體表面上運(yùn)動所形成的軌跡為三角形.因為正方體的棱長為2，所以,所以三角形的周長為.故選：B8.在中，角的對邊分別為．已知，且，點滿足，且，則的面積為（）A. B. C. D.【8題答案】【答案】A【解析】【分析】由已知結(jié)合余弦定理可求出，然后結(jié)合重心的性質(zhì)及向量數(shù)量積的性質(zhì)可求出，然后根據(jù)三角形的面積公式可求得結(jié)果【詳解】因為，所以，得，因為，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以因為，，化簡得，解得或（舍去），所以設(shè)邊的中點為，則，因為，所以，即為的中點，所以，故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.已知A，B，C表示不同的點，l表示直線，α，β表示不同的平面，則下列推理正確的是（）A. B.C. D.【9題答案】【答案】BCD【解析】【分析】對于A：由點A可能在面α內(nèi)，也可能不在面α內(nèi).可以判斷；對于B：利用公理2判斷；對于C：利用公理1判斷；對于D：說明直線與平面有公共點，又，所以，即可判斷.【詳解】對于A：,則點A可能在面α內(nèi)，也可能不在面α內(nèi).故A錯誤；對于B：為公理2，可判斷面面相交.故B正確；對于C：為公理1，可判斷出線在面內(nèi).故C正確；對于D：說明直線與平面有公共點，又，所以.故D正確.故選：BCD.10.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.與可以作一組基底C. D.與方向相同【10題答案】【答案】AC【解析】【分析】A.利用共線向量定理判斷；B.利用基底的定義判斷；C.利用向量的線性運(yùn)算求解判斷；D.利用共線向量定理判斷；【詳解】A.因為向量，，所以，則，故正確；B.由A知：，所以與不可以作為一組基底，故錯誤；C.因為向量，，所以，故正確；D.因為向量，，所以，則，所以與方向相反，故錯誤；故選：AC11.在的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（）A.若，則該為等腰三角形B.若，則C.若，，，則符合條件的三角形有兩個D.若的面積，，則的最大值為1【11題答案】【答案】BCD【解析】【分析】對于A：由題意變形得或，即可判斷；對于B：利用正弦定理直接判斷；.對于C：利用正弦定理直接判斷；.對于D：先求出.利用正弦定理得到，利用三角函數(shù)求最值.【詳解】對于A：因為，所以或，所以或，故為等腰三角形或直角三角形.故A錯誤；對于B：在中，由正弦定理得：.因為，所以.故B正確對于C：因為，，，所以,所以，所以符合條件的三角形有兩個.故C正確；對于D：三角形面積且可得.因為，所以,故所以.因為，所以.由正弦定理可得：.因為，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選項D正確.故選：BCD12.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，“等腰四面體”就是其中之一，所謂等腰四面體，就是指三組對棱分別相等的四面體.關(guān)于“等腰四面體”，以下結(jié)論正確的是（）A.長方體中含有兩個相同的等腰四面體B.“等腰四面體”各面的面積相等，且為全等的銳角三角形C.“等腰四面體”可由銳角三角形沿著它的三條中位線折疊得到D.三組對棱長度分別為，，的“等腰四面體”的外接球直徑為【12題答案】【答案】ABC【解析】【分析】作出長方體，根據(jù)等腰四面體的定義得出圖形，根據(jù)長方體的性質(zhì)判斷各選項．【詳解】如圖，長方體有兩個相同的等腰四面體：和，A正確；如等腰四面體中，每個面可能看作是從長方體截一個角得出的，如圖，設(shè)的長分別為，不妨設(shè)，則，，，最大，其所對角的余弦值為，最大角為銳角，三角形為銳角三角形，同理其它三個面都是銳角三角形，各個面的三條邊分別相等，為全等三角形，面積相等，B正確；把一個等腰四面體沿一個頂點出發(fā)的三條棱剪開攤平，則得一個銳角三角形，還有三條棱是這個三角形的三條中位線，如等腰四面體，沿剪開攤平，共線，同理可得共線，共線，為銳角三角形（與等腰四面體的面相似），且是這個三角形的中位線，因此C正確；如上等腰四面體中三條棱長分別是長方體的三條面對角線長，由長方體性質(zhì)知長方體對角線是其外接球直徑，因此直徑長為，D錯。故選：ABC．三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分．13.____________.【13題答案】【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算直接求解.【詳解】.故答案為：14.水平放置的的直觀圖是一個如圖所示的等腰直角三角形．點是斜邊的中點，且，則邊的高為________.【14題答案】【答案】【解析】【分析】利用斜二測法直接求解.【詳解】由斜二測法知該△ABC是直角三角形,∠ABC=90°，且.在等腰直角三角形中，點O是斜邊的中點,且,所以.根據(jù)直觀圖中平行于x軸的長度不變,平行于y軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?可得：在△ABC中，,所以邊的高為.故答案為：15.的三個內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量，，若，則角________.【15題答案】【答案】##【解析】【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示得到，再利用正弦定理將角化邊，結(jié)合余弦定理計算可得；【詳解】解：因為，且，所以，由正弦定理可得，即，由余弦定理，因為，所以故答案為：16.已知平面向量，，，滿足，，，，則的最小值為________.【16題答案】【答案】【解析】【分析】設(shè)出向量坐標(biāo)，根據(jù)題目條件得到，進(jìn)而得到，求出的最小值.【詳解】因為，不妨設(shè)，因為，不妨設(shè)所以，因為，所以，，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．第17題滿分10分，18～22題每題滿分12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.請按題目要求作答以下兩題：（1）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（為虛數(shù)單位），求實數(shù)的值；（2）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解關(guān)于的方程：．【17題答案】【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的概念得到方程（不等式）組，解得即可；（2）首先求出，再根據(jù)求根公式計算可得；【小問1詳解】解：因為為純虛數(shù)，所以，解得或；解得且，所以【小問2詳解】解：方程，則，所以，即方程的兩虛根分別為或19.已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，向量與的夾角為鈍角，求的取值范圍．【19題答案】【答案】（1）（2）且【解析】【分析】（1）首先求出，的坐標(biāo)，依題意，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；（2）依題意可得且與不反向，根據(jù)向量共線及數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到求出的取值范圍；【小問1詳解】解：因為，，所以，，因為，所以，解得；小問2詳解】解：因為，且與的夾角為鈍角，所以且與不反向，由，解得，當(dāng)即時與反向，故，綜上可得且21.已知的角A，B，C對邊分別為a，b，c，A為銳角，.（1）求；（2）若，求的最大值.【21題答案】【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，即可得解；（2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式求出的最值，最后根據(jù)計算可得；【小問1詳解】解：因為，由正弦定理可得，，所以，所以，因為，所以，所以.【小問2詳解】解：由余弦定理，，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，解得當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故得最大值為4.23.在五面體中，面為平行四邊形，，且，為棱的中點.（1）的中點為，證明：平面平面；（2）請畫出過點，，的平面與平面的交線，證明．【23題答案】【答案】（1）證明見解析；（2）在平面內(nèi)過作直線，證明見解析．【解析】【分析】（1）連接，證明，，得線面平行，然后可得面面平行；（2）在平面內(nèi)過作直線，即為所求，由線面平行的判定定理與性質(zhì)定理證明．【小問1詳解】連接，因為，且，是平行四邊形，所以且，所以是平行四邊形，，同理，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面；【小問2詳解】在平面內(nèi)過作直線，即為平面和平面的交線；證明如下：設(shè)平面和平面的交線為由（1），平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以．25.某城市有一塊如圖所示的扇形空地塊，扇形的半徑為，圓心角為，為弧上一動點，為半徑上一點且滿足．（1）若，求的長；（2）該市城建部門欲在地塊修建一個三角形活動場所，供人民群眾休閑娛樂.如何確定點位置，使面積最大，并求出最大值（結(jié)果用表示）．【25題答案】【答案】（1）a（2）點A位于的中點處最大【解析】【分析】（1）利用余弦定理即可求得；（2）先判斷出，利用余弦定理和基本不等式求出面積的最大值.【小問1詳解】在中，，,，由余弦定理得：,即，解得：（舍去）.所以【小問2詳解】因為圓心角，，所以.所以點O、M到AB的距離相等，所以.設(shè)，，在中，由余弦定理得：，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立）.所以面積最大值.所以此時，所以，所以點A位于的中點處.27.如圖所示，在中，在線段BC上，滿足，是線段的中點．（1）延長交于點Q（圖1），求的值；（2）過點的直線與邊，分別交于點E，F(xiàn)（圖2），設(shè)，．（i）求證為定值；（ii）設(shè)的面積為，的面積為，求的最小值．【27題答案】【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）.【解