孫炳達(dá)版-《自動控制原理》第2章-線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-1

自動控制原理第二章線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1動態(tài)微分方程的編寫2.1動態(tài)微分方程的編寫分析和設(shè)計任何一個控制系統(tǒng)，首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就是描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)部變量之間動態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，也稱為動態(tài)數(shù)學(xué)模型。常用的動態(tài)數(shù)學(xué)模型有：微分方程傳遞函數(shù)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖信號流圖2.1動態(tài)微分方程的編寫建立數(shù)學(xué)模型的方法:(1)機理分析法(解析法)(2)實驗法解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并實驗驗證。實驗法：對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號（階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。解析方法適用于簡單、典型、常見的系統(tǒng)，而實驗方法適用于復(fù)雜、非常見的系統(tǒng)。實際上常常是把這兩種方法結(jié)合起來建立數(shù)學(xué)模型更為有效。2.1動態(tài)微分方程的編寫一、建立環(huán)節(jié)（部件）微分方程目的：通過該方程確定被控量與給定量及擾動量之間的函數(shù)關(guān)系。步驟：（1）根據(jù)實際情況，確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量。（2）從輸入端開始，按信號傳遞遵循的有關(guān)規(guī)律列出元件微分方程。（3）消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程。（4）整理，化成標(biāo)準(zhǔn)形式。2.1動態(tài)微分方程的編寫微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式：與輸入量有關(guān)的各項寫在方程的右邊；與輸出量有關(guān)的各項寫在方程的左邊，方程兩邊變量的各導(dǎo)數(shù)項均按降冪排列。2.1動態(tài)微分方程的編寫例

建立RLC電路的微分方程（1）確定輸入量u；

輸出量為uc

（2）根據(jù)電路原理列微分方程（3）消去中間變量，可得該電路微分方程2.1動態(tài)微分方程的編寫例

建立運算放大器的微分方程2.1動態(tài)微分方程的編寫例

建立彈簧阻尼器的機械位移系統(tǒng)的微分方程2.1動態(tài)微分方程的編寫（1）確定輸入量、輸出量分別為F、y（2）根據(jù)力學(xué)、運動學(xué)原理列微分方程（3）消去中間變量，可得電路微分方程2.1動態(tài)微分方程的編寫

例求他勵直流電動機的微分方程解：（1）確定輸入量為電樞電壓ud；輸出量為電動機轉(zhuǎn)速n；2.1動態(tài)微分方程的編寫（2）根據(jù)電路原理列微分方程根據(jù)電動機力矩平衡原理列微分方程2.1動態(tài)微分方程的編寫（3）消去中間變量，可得電路微分方程令——電動機的電磁時間常數(shù)則得電動機的動態(tài)微分方程——電動機的機電時間常數(shù)2.1動態(tài)微分方程的編寫二、系統(tǒng)動態(tài)微分方程的編寫（1）確定系統(tǒng)輸入量、輸出量；（2）從輸入端開始將系統(tǒng)劃分為若干個元部件，依有關(guān)定理列寫各個部件的方程組；（3）消去中間變量；（4）整理。例建立直流調(diào)速系統(tǒng)的微分方程2.1動態(tài)微分方程的編寫2.1動態(tài)微分方程的編寫（1）確定輸入量為控制電壓Ug；輸出量為電動機轉(zhuǎn)速n。

（2）編寫各環(huán)節(jié)的微分方程。根據(jù)系統(tǒng)框圖，把系統(tǒng)劃分為4個環(huán)節(jié)，分別為：比較和電壓放大器環(huán)節(jié)；功率放大環(huán)節(jié)；直流電動機環(huán)節(jié)；反饋環(huán)節(jié)。2.1動態(tài)微分方程的編寫各環(huán)節(jié)微分方程如下：1）2）3）4）2.1動態(tài)微分方程的編寫（3）消去中間變量得直流調(diào)速系統(tǒng)的動態(tài)微分方程其中為正向通道電壓放大系數(shù)

為系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)2.1動態(tài)微分方程的編寫三、負(fù)載效應(yīng)與系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的相似性在建立系統(tǒng)微分方程時，若在部件（環(huán)節(jié)）劃分時沒有考慮負(fù)載效應(yīng)，即部件（環(huán)節(jié)）間存在的耦合關(guān)系，將不能得到系統(tǒng)正確的微分方程。例建立電容、電阻網(wǎng)絡(luò)的微分方程，其中為輸入電壓，欲求以電容兩端電壓為輸出的微分方程。2.1動態(tài)微分方程的編寫方法一：分析電路網(wǎng)絡(luò)，列出電路方程消除中間變量,可以解得：2.1動態(tài)微分方程的編寫方法二：從第一個電容、電阻網(wǎng)絡(luò)環(huán)節(jié)列出微分方程從第二個電容、電阻網(wǎng)絡(luò)環(huán)節(jié)列出微分方程代入上式中得：由于第一個網(wǎng)絡(luò)和第二個網(wǎng)絡(luò)之間存在負(fù)載效應(yīng)（耦合），不能劃分為獨立的兩個環(huán)節(jié)，否者建立的微分方程誤差較大。兩個RC網(wǎng)絡(luò)間加入電壓跟隨器進(jìn)行隔離，消除負(fù)載效應(yīng)。系統(tǒng)相似性以上多個例中的物理系統(tǒng)不盡相同，但它們的數(shù)學(xué)模型卻是相同的，我們把具有相同數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱之為相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)中，占據(jù)相應(yīng)位置的物理量稱為相似量。對于同一個物理系統(tǒng)，當(dāng)輸入量、輸出量改變時，所求出的數(shù)學(xué)模型卻是不同的。利用相似系統(tǒng)的概念，我們可以用一個易于實現(xiàn)的系統(tǒng)來研究與