2024-2025學年高中數(shù)學第2章變化率與導數(shù)章末復習課學案北師大版選修2-2

PAGE1-第2章改變率與導數(shù)導數(shù)的定義求導【例1】利用導數(shù)的定義求函數(shù)y＝eq\r(xeq\s\up6(2)＋1)的導數(shù)．思路探究：依據(jù)求導的步驟求解即可．[解]y′＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(\r(x＋Δxeq\s\up6(2)＋1)－\r(xeq\s\up6(2)＋1),Δx)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(2x·Δx＋Δxeq\s\up6(2),Δx[\r(x＋Δxeq\s\up6(2)＋1)＋\r(xeq\s\up6(2)＋1)])＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(2x＋Δx,\r(x＋Δxeq\s\up6(2)＋1)＋\r(xeq\s\up6(2)＋1))＝eq\f(x,\r(xeq\s\up6(2)＋1)).導數(shù)定義的理解函數(shù)f(x)在點x＝x0處的導數(shù)是f(x)在x0點旁邊的平均改變率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；當Δx趨于0時的極限，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do9(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)，這是數(shù)學上的“靠近思想”．對于導數(shù)的定義，必需明確定義中包含的基本內(nèi)容和Δx→0的方式，駕馭用定義求導數(shù)的三個步驟以及用定義求導數(shù)的一些簡潔變形．1．設f(x)在x處可導，則eq\o(lim,\s\do9(Δh→0))eq\f(fx＋h－fx－h(huán),2h)＝()A．2f′(x) B．eq\f(1,2)f′(x)C．f′(x) D．4f′(xC[eq\o(lim,\s\do9(Δh→0))eq\f(fx＋h－fx－h(huán),2h)＝eq\o(lim,\s\do9(Δh→0))eq\f(fx＋h－fx＋fx－fx－h(huán),2h)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do9(Δh→0))eq\f(fx＋h－fx,h)＋eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do9(Δh→0))eq\f(fx－fx－h(huán),h)＝f′(x)．]導數(shù)的幾何意義的應用【例2】已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標．思路探究：(1)點(2，－6)在曲線上，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；(2)點(0,0)不在曲線上要先設切點(x0，f(x0))再將(0,0)代入切線方程求切點即可求得．[解](1)可判定點(2，－6)在曲線y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.∴切線的方程為y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32．(2)設切點為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，y0＝xeq\o\al(3,0)＋x0－16，∴直線l的方程為y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16.又∵直線l過點(0,0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2．∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切點坐標為(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．利用幾何意義求切線時的關鍵利用導數(shù)的幾何意義求切線方程時關鍵是搞清所給的點是不是切點，常見的類型有兩種，一是求“在某點處的切線方程”，則此點肯定為切點，先求導，再求斜率代入直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不肯定是切點，可先設切點為Q(x1，y1)，則切線方程為y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切線過點P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)， ①又y1＝f(x1)， ②由①②求出x1，y1的值，即求出了過點P(x0，y0)的切線方程．2．已知曲線y＝eq\f(1,x).(1)求曲線在點P(1,1)處的切線方程；(2)求曲線過點Q(1,0)的切線方程；(3)求滿意斜率為－eq\f(1,4)的曲線的切線方程．[解]∵y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2).(1)∵點P(1,1)在y＝eq\f(1,x)上，∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝－eq\f(1,12)＝－1．∴在點P(1,1)處的切線方程為：y－1＝－(x－1)．∴切線方程為：x＋y－2＝0.(2)∵點Q(1,0)不在曲線y＝eq\f(1,x)上，可設切點為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，∴在A點處的切線方程為：y－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)．∴切線方程為：y＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))x＋eq\f(2,x0).又∵切線過點Q(1,0)，∴－eq\f(1,x\o\al(2,0))＋eq\f(2,x0)＝0，∴2x0－1＝0，∴x0＝eq\f(1,2).∴切線方程為y＝－4x＋4.(3)設切點坐標為Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(1,x1)))，則切線的斜率為k＝－eq\f(1,x\o\al(2,1)).又∵－eq\f(1,x\o\al(2,1))＝－eq\f(1,4)，∴xeq\o\al(2,1)＝4，∴x1＝2或－2，∴切點為B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))或B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))，∴切線方程為：y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)(x－2)，或y＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)(x＋2)，∴切線方程為：y＝－eq\f(1,4)x＋1或y＝－eq\f(1,4)x－1．求函數(shù)的導數(shù)【例3】求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝(1＋x2)cosx；(2)y＝eq\f(lnx,x)－2x；(3)y＝eeq\s\up10(－ax2＋bx).思路探究：細致分析解析式的特征，推斷函數(shù)是由基本初等函數(shù)的和、差、積、商構成還是復合構成，然后選擇相應的求導法則進行運算．[解](1)∵y＝(1＋x2)cosx，∴y′＝2xcosx＋(1＋x2)(－sinx)＝2xcosx－sinx－x2sinx.(2)∵y＝eq\f(lnx,x)－2x，∴y′＝eq\f(lnx′x－x′lnx,x2)－2xln2＝eq\f(1－lnx,x2)－2xln2．(3)y＝eu，u＝－ax2＋bx.yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝eu·(－ax2＋bx)′＝eu·(－2ax＋b)＝(－2ax＋b)eeq\s\up10(－ax2＋bx).運算法則求導的留意點求函數(shù)的導數(shù)要精確把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導數(shù)．在求導過程中，要細致分析出函數(shù)解析式的結構特征，依據(jù)導數(shù)運算法則，聯(lián)系基本函數(shù)的導數(shù)公式．對于不具備導數(shù)運算法則結構形式的要進行適當恒等變形，轉化為較易求導的結構形式，再求導數(shù)，進而解決一些切線斜率、瞬時速度等問題．3．求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(2)y＝eq\f(3x2－x\r(x)＋5\r(x)－9,\r(x))；(3)y＝eq\r(1＋ln2x).[解](1)∵y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq\f(2,x3).(2)∵y＝3xeq\s\up8(eq\f(3,2))－x＋5－9xeq\s\up8(－eq\f(1,2))，∴y′＝3(xeq\s\up8(eq\f(3,2)))′－x′＋5′－9(xeq\s\up8(－eq\f(1,2)))′＝eq\f(9,2)xeq\s\up8(eq\f(1,2))－1＋eq\f(9,2)xeq\s\up8(－eq\f(3,2))＝eq\f(9,2)eq\r(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))－1．(3)y＝ueq\s\up8(eq\f(1,2))，u＝1＋v2，v＝lnx.yx′＝y(tǒng)u′·uv′·vx′＝eq\f(1,2)ueq\s\up8(－eq\f(1,2))·2v·eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)·eq\f(1,\r(1＋ln2x))·2lnx·eq\f(1,x)＝eq\f(lnx,x\r(1＋ln2x)).導數(shù)的綜合問題【例4】設函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,x＋b)(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求出此定值．思路探究：(1)用待定系數(shù)法求解，依據(jù)條件通過導數(shù)建立關于a，b的方程組，解方程組確定a，b從而得到f(x)的解析式．(2)設曲線上任一點坐標(x0，y0)，表示出該點的切線方程，然后證明三角形的面積與點(x0，y0)無關．[解](1)f′(x)＝a－eq\f(1,x＋b2)，則依題意f′(2)＝0，f(2)＝3.于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(1,2＋b)＝3，,a－\f(1,2＋b2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,4)，,b＝－\f(8,3).))因為a，b∈Z，故f(x)＝x＋eq\f(1,x－1).(2)證明：在曲線上任取一點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，x0＋\f(1,x0－1)))，由f′(x0)＝1－eq\f(1,x0－12)，知在此點處的切線方程為y－eq\f(x\o\al(2,0)－x0＋1,x0－1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x0－12)))(x－x0)．令x＝1，得y＝eq\f(x0＋1,x0－1)，即切線與直線x＝1的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(x0＋1,x0－1)))；令y＝x，得y＝2x0－1，即切線與直線y＝x的交點為(2x0－1,2x0－1)；又直線x＝1與直線y＝x的交點為(1,1)，從而所圍成的三角形的面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋1,x0－1)－1))|2x0－1－1|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,x0－1)))|2x0－2|＝2．所以，所圍成的三角形的面積為定值2．導數(shù)應用中的數(shù)學思想導函數(shù)本身就是一種函數(shù)，因此在解決有關導數(shù)的問題時，經(jīng)常會用到函數(shù)方程思想．函數(shù)的思想是用運動和改變的觀點、集合與對應的思想去分析和探討數(shù)學問題中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系式或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決．方程思想就是分析數(shù)學問題中變量的等量關系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，從而使問題獲得解決．4．已知直線x－2y－4＝0與拋物線y2＝x相交于A，B兩點，O為坐標原點，試在拋物線的弧eq\o(\s\up8(︵),AOB)上求一點P，使△ABP的面