高三理科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義模塊三考前增分篇二小題專項(xiàng)限時(shí)突破5解析幾何

二、小題專項(xiàng)，限時(shí)突破5．解析幾何(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分)1．已知a為實(shí)數(shù)，直線l1：ax＋y＝1，l2：x＋ay＝2a，則“a＝－1”是“l(fā)1∥l2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]由“l(fā)1∥l2”得a2－1＝0，且a×2a≠1×1，解得a＝－1或a＝1，所以“a＝－1”是“l(fā)1∥l2”的充分不必要條件．故選A.[答案]A2．(2017·廣州一模)若一個(gè)圓的圓心是拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)，且該圓與直線y＝x＋3相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋y2＝2C．x2＋(y－1)2＝4D．(x－1)2＋y2＝4[解析]拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為(0,1)，即圓心為(0,1)，設(shè)該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因?yàn)樵搱A與直線y＝x＋3相切，故r＝eq\f(|2|,\r(2))＝eq\r(2)，故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋(y－1)2＝2.選A.[答案]A3．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P，若∠F1PF2＝45°，則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(2),4)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(3)－1D.eq\r(2)－1[解析]根據(jù)題意可知，在Rt△PF1F2中，|PF2|＝eq\f(b2,a)，|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝45°，所以|F1F2|＝|PF2|，所以eq\f(b2,a)＝2c，又b2＝a2－c2，代入整理得c2＋2ac－a2＝0，所以e2＋2e－1＝0，即e＝－1±eq\r(2)，又0<e<1，所以e＝eq\r(2)－1.[答案]D4．圓x2＋y2＋4x＝0與圓x2＋y2－8y＝0的公共弦長為()A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(8\r(5),5)D.eq\f(16\r(5),5)[解析]解法一：聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x＝0，,x2＋y2－8y＝0，))得x＋2y＝0，將x＋2y＝0代入x2＋y2＋4x＝0，得5y2－8y＝0，解得y1＝0，y2＝eq\f(8,5)，故兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,5)，\f(8,5)))，則所求弦長為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))2)＝eq\f(8\r(5),5)，選C.解法二：聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x＝0，,x2＋y2－8y＝0，))得x＋2y＝0，將x2＋y2＋4x＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x＋2)2＋y2＝4，圓心為(－2,0)，半徑為2，圓心(－2,0)到直線x＋2y＝0的距離d＝eq\f(|－2|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，則所求弦長為2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq\f(8\r(5),5)，選C.[答案]C5．(2017·合肥一模)設(shè)圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0[解析]當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,x2＋y2－2x－2y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1－\r(3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1＋\r(3)，))∴|AB|＝2eq\r(3)，符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，∵圓x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圓心為C(1,1)，圓的半徑r＝2，圓心C(1,1)到直線y＝kx＋3的距離d＝eq\f(|k－1＋3|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))，∵d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＝r2，∴eq\f(k＋22,k2＋1)＋3＝4，解得k＝－eq\f(3,4)，∴直線l的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋3，即3x＋4y－12＝0.綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0.故選B.[答案]B6．已知點(diǎn)A(4,4)在拋物線y2＝2px(p>0)上，該拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為E，則∠EAF的平分線所在直線的方程為()A．2x＋y－12＝0 B．x＋2y－12＝0C．2x－y－4＝0 D．x－2y＋4＝0[解析]因?yàn)辄c(diǎn)A(4,4)在拋物線y2＝2px(p>0)上，所以16＝8p，所以p＝2，所以拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，E(－1,4)．由拋物線的定義可得|EA|＝|AF|，所以∠EAF的平分線所在直線就是線段EF的垂直平分線．因?yàn)橹本€EF的斜率k＝－2，所以∠EAF的平分線所在直線的方程為y－4＝eq\f(1,2)(x－4)，即x－2y＋4＝0.[答案]D7．(2017·寧波九校聯(lián)考(二))過雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線的兩條漸近線分別交于B，C，且2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(10)B.eq\f(\r(10),3)C.eq\r(5)D.eq\f(\r(5),2)[解析]由題意可知，左頂點(diǎn)A(－1,0)．又直線l的斜率為1，所以直線l的方程為y＝x＋1，若直線l與雙曲線的漸近線有交點(diǎn)，則b≠±1.又雙曲線的兩條漸近線的方程分別為y＝－bx，y＝bx，所以可得xB＝－eq\f(1,b＋1)，xC＝eq\f(1,b－1).由2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，可得2(xB－xA)＝xC－xB，故2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,b＋1)＋1))＝eq\f(1,b－1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,b＋1)))，得b＝2，故e＝eq\f(\r(12＋22),1)＝eq\r(5).[答案]C8．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M，N與雙曲線C的焦點(diǎn)不重合，點(diǎn)M關(guān)于F1，F(xiàn)2的對稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)P在雙曲線的左支上，若|BN|－|AN|＝12，則a＝()A．3B．4C．5D．6[解析]如圖，連接PF1，PF2，因?yàn)镕1是MA的中點(diǎn)，P是MN的中點(diǎn)，所以PF1是△MAN的中位線，所以|PF1|＝eq\f(1,2)|AN|，同理|PF2|＝eq\f(1,2)|BN|，所以||BN|－|AN||＝2||PF2|－|PF1||.因?yàn)镻在雙曲線的左支上，所以根據(jù)雙曲線的定義可得|PF2|－|PF1|＝2a，所以||BN|－|AN||＝2||PF2|－|PF1||＝4a＝12，所以a＝3.[答案]A9．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)[解析]設(shè)E(0，m)，則直線AE的方程為－eq\f(x,a)＋eq\f(y,m)＝1，由題意可知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，m－\f(mc,a)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(m,2)))和B(a,0)三點(diǎn)共線，則eq\f(m－\f(mc,a)－\f(m,2),－c)＝eq\f(\f(m,2),－a)，化簡得a＝3c，則C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).[答案]A10．若拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，過M，N兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點(diǎn)為T，則eq\o(FT,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))的值為()A．0B．1C．2D．3[解析]依題意可知，F(xiàn)(0,1)，直線MN不與x軸垂直，所以設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2－4kx－4＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))．由x2＝4y，得y′＝eq\f(1,2)x，所以切線MT的方程為y－y1＝eq\f(1,2)x1(x－x1)①，切線NT的方程為y－y2＝eq\f(1,2)x2(x－x2)②.由①②得，Teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1x2,4)))＝(2k，－1)，則eq\o(FT,\s\up6(→))＝(2k，－2)，所以eq\o(FT,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝0.[答案]A11．已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，拋物線C：y2＝8ax的焦點(diǎn)為F，若在E的漸近線上存在點(diǎn)P，使得PA⊥FP，則E的離心率的取值范圍是()A．(1,2) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4)))C．(2，＋∞) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，＋∞))[解析]雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A(a,0)，拋物線C：y2＝8ax的焦點(diǎn)為F(2a,0)，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，可設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(b,a)m))，則有eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－a，\f(b,a)m))，eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－2a，\f(b,a)m))，由PA⊥FP，得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝0，即(m－a)(m－2a)＋eq\f(b2,a2)m2＝0，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b2,a2)))m2－3ma＋2a2＝0，由題意可得Δ＝9a2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b2,a2)))·2a2≥0，即有a2≥8b2＝8(c2－a2)，即8c2≤9a2，則e＝eq\f(c,a)≤eq\f(3\r(2),4).由e>1，可得1<e≤eq\f(3\r(2),4).故選B.[答案]B12．設(shè)直線l與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，與圓(x－1)2＋y2＝r2(r>0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是()A．(1，eq\r(6))B．(2，eq\r(7))C．(2，eq\r(6))D．(1，eq\r(7))[解析]當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，易知直線l有2條，所以當(dāng)l的斜率存在時(shí)，直線l有2條．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，代入橢圓方程相減，整理得2(y1＋y2)(y1－y2)＝－(x1＋x2)(x1－x2)．當(dāng)l的斜率k存在時(shí)，利用點(diǎn)差法可得2ky0＝－x0.因?yàn)橹本€l與圓相切，所以eq\f(y0,x0－1)＝－eq\f(1,k)，所以x0＝2.將x＝2代入橢圓方程，得y2＝6，所以－eq\r(6)<y0<eq\r(6).因?yàn)镸在圓上，所以(x0－1)2＋yeq\o\al(2,0)＝r2，所以r2＝y(tǒng)eq\o\al(2,0)＋1<7.因?yàn)橹本€l有2條，M為AB的中點(diǎn)，所以y0≠0，所以1<r2<7，故1<r<eq\r(7).所以若直線l恰有4條，則1<r<eq\r(7)，故選D.[答案]D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)13．過點(diǎn)M(1,2)的直線l與圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，直線l的方程是__________________．[解析]設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則有coseq\f(∠ACB,2)＝eq\f(d,5)，要使∠ACB最小，則d要取到最大值，此時(shí)直線l與直線CM垂直．而kCM＝eq\f(4－2,3－1)＝1，故直線l的方程為y－2＝－1×(x－1)，即x＋y－3＝0.[答案]x＋y－3＝014．(2017·揭陽一模)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，－2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為________．[解析]由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)．由定義知P到準(zhǔn)線的距離為4，故eq\f(p,2)＋2＝4，得p＝4，所以拋物線的方程為x2＝－8y，代入點(diǎn)P的坐標(biāo)得m＝±4.[答案]±415．設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a>2)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．[解析]由題意知，c＝eq\r(a2－4).又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，