2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營第3節(jié)-第二課時-獨立性檢驗

第3節(jié)第二課時獨立性檢驗2023屆1《高考特訓(xùn)營》·數(shù)學(xué)課程標準解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.掌握分類變量的含義.2.通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.3.通過實例，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)用1.分類變量與列聯(lián)表數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)抽象2.分類變量關(guān)聯(lián)性的判斷3.獨立性檢驗的應(yīng)用0102知識特訓(xùn)能力特訓(xùn)01知識特訓(xùn)知識必記拓展鏈接對點訓(xùn)練1．分類變量與列聯(lián)表(1)為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機變量稱為__________，分類變量的取值可以用實數(shù)表示．分類變量(2)列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為________．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表．

y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d列聯(lián)表

概率臨界值1．[生活拓展]吸煙已成為全球范圍內(nèi)嚴重危害健康、危害人類生存環(huán)境、降低人們的生活水平、縮短人類壽命的緊迫問題．為此，聯(lián)合國固定每年5月31日為全球戒煙日．吸煙和壽命是兩個分類變量，可以用獨立性檢驗判斷壽命與吸煙是否有關(guān)．2．[知識拓展]等高堆積條形圖等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷結(jié)果．例如：“微信”和“QQ”是騰訊社交體系中的兩款產(chǎn)品，小明為了解不同群體對這兩款產(chǎn)品的首選情況，統(tǒng)計了周圍老師和同學(xué)關(guān)于首選“微信”或“QQ”的比例，得到如圖所示的等高條形圖．根據(jù)等高條形圖中的信息，對于老師群體而言，首選“微信”與首選“QQ”的比例為：9∶1；對學(xué)生群體而言，首選“微信”與首選“QQ”的比例為3∶2，因而教師和學(xué)生都傾向于首選“微信”．

1．[易錯診斷]某醫(yī)療機構(gòu)通過抽樣調(diào)查(樣本容量n＝1000)，利用2×2列聯(lián)表和χ2統(tǒng)計量研究患肺病是否與吸煙有關(guān)，計算得χ2＝4.453，經(jīng)查閱臨界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.現(xiàn)給出四個結(jié)論，其中正確的是(

)A．在100個吸煙的人中約有95個人患肺病B．若某人吸煙，那么他有95%的可能性患肺病C．有95%的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)”D．只有5%的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)”解析：由已知數(shù)據(jù)可得有1－0.05＝95%的把握認為“患肺病與吸煙有關(guān)”，故選C.C2．[教材改編]下面是2×2列聯(lián)表：則表中的a＝________，b＝________．答案：52

74解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.

y1y2合計x1a2173x2222547合計b461203．在獨立性檢驗中，兩個分類變量“X與Y有關(guān)系”的可信度為99%，則隨機變量χ2的取值范圍是(

)A．[2.706，3.841) B．[3.841，6.635)C．[6.635，7.879) D．[7.879，10.828)解析：對照臨界值表可知選C.C4．[真題體驗](2021·全國甲卷(文))甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：

一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？(2)能否有99%的把握認為“甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異”．α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828

02能力特訓(xùn)特訓(xùn)點1特訓(xùn)點2特訓(xùn)點3[題組·沖關(guān)]1．(多選題)根據(jù)如圖所示的等高堆積條形圖，下列敘述正確的是(

)A．吸煙患肺病的頻率約為0.2B．吸煙不患肺病的頻率約為0.8C．不吸煙患肺病的頻率小于0.05D．吸煙與患肺病無關(guān)系解析：從等高堆積條形圖上可以明顯地看出，吸煙患肺病的頻率遠遠大于不吸煙患肺病的頻率．A，B，C項都正確．特訓(xùn)點1分類變量與列聯(lián)表【自主沖關(guān)類】ABC2．假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為YX

y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d對同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關(guān)的可能性最大的一組為(

)A．a(chǎn)＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a(chǎn)＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a(chǎn)＝3，b＝2，c＝4，d＝5解析：對于同一樣本，|ad－bc|越小，說明X與Y相關(guān)性越弱，而|ad－bc|越大，說明X與Y相關(guān)性越強，通過計算知，對于A，B，C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2；對于選項D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，顯然7＞2.D[錦囊·妙法]1．根據(jù)等高堆積條形圖的高度差判斷．2．直接利用2×2列聯(lián)表的性質(zhì)，建立方程求參數(shù)即可．典例1某科研機構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表：特訓(xùn)點2分類變量關(guān)聯(lián)性的判斷【師生共研類】

心臟病無心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450A．0.1 B．0.05C．0.025 D．0.01解析：因為χ2>6.635，所以有99%的把握說禿發(fā)與患心臟病有關(guān)，故這種判斷出錯的可能性為1－0.99＝0.01.D如果χ2＞xα，則“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．(2022·麻城市月考)某市政府調(diào)查市民收入增減與旅游愿望的關(guān)系時，采用獨立性檢驗法抽查了3000人，計算得χ2＝6.023，則市政府斷言市民收入增減與旅游愿望有關(guān)系的可信程度是(

)A．90% B．95%C．99% D．99.5%解析：由臨界值表得6.023＞3.841＝x0.05，所以市政府斷言市民收入增減與旅游愿望有關(guān)系的可信程度為95%.B典例2

(2020·新高考全國Ⅰ卷)為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：特訓(xùn)點3獨立性檢驗的應(yīng)用【師生共研類】SO2PM2.5

[0，50](50，150](150，475][0，35]32184(35，75]6812(75，115]3710(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5

[0，150](150，475][0，75]

(75，115]

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中的PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)．α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5

[0，150](150，475][0，75]6416(75，115]1010(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，P(χ2≥6.635)＝0.01，故有99%的把握認為該市一天空氣中的PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)．

(2022·陜西榆林市高三模擬)新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動機之外所有的其他能源汽車，被認為能減少空氣污染和緩解能源短缺．在當今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車產(chǎn)業(yè)必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導(dǎo)向與目標．新能源汽車也越來越受到消費者的青睞．某機構(gòu)調(diào)查了某地區(qū)近期購車的200位車主的性別與購車種類情況，得到數(shù)據(jù)如下：

購置新能源汽車購置傳統(tǒng)燃油汽車合計男性10020120女性503080合計15050200(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99.9%的把握認為是否購置新能源汽車與性別有關(guān)；(2)用分層隨機抽樣的方法按性別從被調(diào)查的購置新能源汽車的車主中選出6位，參加關(guān)于“新能源汽車駕駛體驗”的問卷調(diào)查，并從這6位車主中隨機抽取2位車主贈送一份小禮物，求這2位獲贈禮品的車主中至少有1位女性車主的概率．參考數(shù)據(jù)：α0.100.050