2021北京重點(diǎn)校高一(上)期中數(shù)學(xué)匯編：基本不等式

1/12021北京重點(diǎn)校高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編基本不等式一、單選題1．（2021·北京師大附中高一期中）某公司一年購買某種貨物900噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為3萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為3x萬元，若要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則每次需購買（

）A．20 B．30 C．40 D．602．（2021·北京八中高一期中）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．3．（2021·北京·人大附中高一期中）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.如圖所示的圖形，在AB上取一點(diǎn)，使得，，過點(diǎn)作交圓周于D，連接OD.作交OD于.則下列不等式可以表示的是（

）A． B．C． D．4．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）設(shè)，若關(guān)于的不等式對恒成立，則的最小值是（

）A． B．C． D．5．（2021·北京八十中高一期中）已知，則的最小值為（

）A． B．3 C．4 D．56．（2021·北京·人大附中高一期中）當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知正數(shù)、滿足，則有（

）A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值二、填空題8．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.9．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是___.10．（2021·北京·北師大實(shí)驗中學(xué)高一期中）已知均為正實(shí)數(shù)，則的最小值為___________.11．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知，則的最大值為____.12．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）定義運(yùn)算“”：（）.當(dāng)時，的最小值是_______.13．（2021·北京·北師大二附中高一期中）若實(shí)數(shù)x,y滿足xy=1,則+的最小值為______________.14．（2020·北京八中高一期中）已知，且，則的最大值為_____．三、雙空題15．（2021·北京市第十三中學(xué)高一期中）已知，則函數(shù)在當(dāng)?shù)扔赺_______時函數(shù)有最小值為________.16．（2021·北京八十中高一期中）用的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為，則車廂的最大容積是________，此時高是_________．

參考答案1．B【解析】先根據(jù)題意列出一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和的關(guān)系式，然后利用均值不等式進(jìn)行求解.【詳解】某公司一年購買某種貨物900噸，每次都購買x噸，則需購買次，運(yùn)費(fèi)為3萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為3x萬元，則一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和為，即噸時，等號成立，所以每次購買噸時，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小.故選：B.2．C【解析】先判斷在上單調(diào)遞增，再由單調(diào)性求最值即可【詳解】由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，故選：C3．A【解析】根據(jù)圓的性質(zhì)、射影定理求出CD和DE的長度，利用CD>DE即可得到答案.同時這是幾何法構(gòu)造基本不等式及其推論的一種方法.【詳解】連接DB，因為AB是圓O的直徑，所以，所以在中，中線，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故選：A4．C【解析】根據(jù)基本不等式，先求的的最小值，然后由再求解a值.【詳解】因為由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.則，可得，所以的最小值是9故選：C5．B【解析】利用均值不等式，即得解【詳解】由題意，，根據(jù)均值不等式當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立故選：B6．D【解析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范圍.【詳解】當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，即的取值范圍為.故選：D.7．C【解析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】∵正數(shù)、滿足，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即有最大值，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8．【解析】由題意可知，原問題等價于對任意恒成立，再利用基本不等式求出的最小值，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以又對任意恒成立，所以對任意恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；所以.故答案為：.9．【解析】由基本不等式放縮得出關(guān)于的不等式，然后解不等式得結(jié)論．【詳解】由已知，解得，當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立，故答案為：．10．6【解析】利用均值不等式即得解【詳解】由題意，均為正實(shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立故的最小值為6故答案為：611．【解析】由基本不等式xy即可求解【詳解】解：∵x，y均為正實(shí)數(shù)，x+y＝3，則xy，則x＝y(tǒng)＝時，xy的最大值是．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用條件的配湊．12．【解析】由新定義運(yùn)算知，，因為，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值是.考點(diǎn)：1.新定義運(yùn)算；2.基本不等式.13．【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.【考點(diǎn)】基本不等式.14．【解析】將化為后，根據(jù)基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因為，且，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.15．

【解析】利用基本不等式可求得函數(shù)的最小值及其對應(yīng)的的值.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，因為，即當(dāng)時，等號成立.故答案為