2017-2021北京重點(diǎn)校高二(上)期中數(shù)學(xué)匯編：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1/12017-2021北京重點(diǎn)校高二（上）期中數(shù)學(xué)匯編雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一、單選題1．（2018·北京師大附中高二期中（文））設(shè)雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．2．（2021·北京·牛欄山一中高二期中）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，實(shí)軸長(zhǎng)為6，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．3．（2021·北京八十中高二期中）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．4．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高二期中）已知雙曲線的一條漸近線為，且一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．=1 B．=1 C．=1 D．=15．（2021·北京一七一中高二期中）若雙曲線C：的一條漸近線被以焦點(diǎn)為圓心的圓所截得的弦長(zhǎng)為，則（

）A．1 B． C． D．26．（2019·北京一七一中高二期中）已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．7．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）雙曲線的方程為，則其離心率為（

）A． B． C． D．8．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于（

）A． B． C． D．9．（2021·北京一七一中高二期中）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為10，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．10．（2020·北京·人大附中高二期中）若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，則其漸近線方程為A． B． C． D．11．（2021·北京八十中高二期中）把離心率的曲線稱之為黃金雙曲線．若以原點(diǎn)為圓心，以虛半軸長(zhǎng)為半徑畫圓，則圓與黃金雙曲線（

）A．無(wú)交點(diǎn) B．有1個(gè)交點(diǎn) C．有2個(gè)交點(diǎn) D．有4個(gè)交點(diǎn)二、雙空題12．（2021·北京八中高二期中）雙曲線的漸近線為_(kāi)_________；若直線與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則__________．13．（2019·北京八十中高二期中）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____________，漸近線方程是________________.14．（2019·北京·清華附中高二期中）已知為雙曲線的一條漸近線，其傾斜角為，且的右焦點(diǎn)為，則的右頂點(diǎn)為_(kāi)_____；C的方程為_(kāi)_____．三、填空題15．（2021·北京·匯文中學(xué)高二期中）雙曲線的漸近線方程是____________．16．（2021·北京·匯文中學(xué)高二期中）已知為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為_(kāi)______.17．（2019·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線的方程是_____.18．（2020·北京·清華附中高二期中）方程的曲線即為函數(shù)的圖像，對(duì)于函數(shù)，有如下結(jié)論：①在上單調(diào)遞減；②函數(shù)不存在零點(diǎn)；③函數(shù)的值域是；④的圖像不經(jīng)過(guò)第一象限，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是___________19．（2019·北京·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）雙曲線的漸近線方程________．20．（2020·北京·人大附中高二期中）已知雙曲線的一條漸近線為，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______.四、解答題21．（2021·北京·牛欄山一中高二期中）雙曲線：的兩條漸近線互相垂直，右焦點(diǎn)為.(1)直接寫出兩條漸近線方程及雙曲線的離心率；(2)若右焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，求.

參考答案1．B【解析】求出、的值，即可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，，則，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.2．D【解析】根據(jù)條件可得，，然后可得答案.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為，，實(shí)軸長(zhǎng)為6，所以，，所以所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：D3．D【解析】利用雙曲線的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題得，則，即，所以雙曲線的漸近線方程為，即，故選：D4．B【解析】根據(jù)焦點(diǎn)位置及漸近線方程直接寫出雙曲線方程即可.【詳解】由題設(shè)，雙曲線實(shí)軸為x軸，且漸近線為，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：B5．A【解析】結(jié)合圓的幾何性質(zhì)列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】圓即，圓心為，半徑為，故焦點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，解得.故選：A.6．A【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，利用雙曲線，結(jié)合建立方程求出，，即可求出雙曲線的漸近線方程．【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓中的，雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，雙曲線中，雙曲線滿足，即又在雙曲線中，即，解得：，所以雙曲線的方程為，故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)橢圓和雙曲線的關(guān)系建立方程求出，，是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．B【解析】根據(jù)雙曲線的方程，得出，，進(jìn)而可求出離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的方程為，所以，，因此，所以離心率為.故選：B.8．C【解析】根據(jù)雙曲線方程，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及漸近線方程，由點(diǎn)到直線距離公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)為，漸近線方程為，即，所以頂點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：C.9．A【解析】依題意求出、，再根據(jù)求出，即可得到雙曲線方程，從而得解；【詳解】解：由題知，所以，又，所以，又的周長(zhǎng)為10，所以，解得，所以，解得，又，所以，所以雙曲線方程為，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】由雙曲線性質(zhì)得a，表示雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，表示漸近線方程即可.【詳解】因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為2，所以，所以雙曲線為所以漸近線方程為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，涉及實(shí)軸和求漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】由題意知，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以圓與黃金雙曲線的左右兩支各有2個(gè)交點(diǎn)，即圓與黃金雙曲線由4個(gè)交點(diǎn)，故選：D.12．

【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可得，結(jié)合漸近線的概念計(jì)算即可；將直線方程聯(lián)立雙曲線方程，消y得到關(guān)于x的方程，分類討論二次項(xiàng)的系數(shù)，當(dāng)系數(shù)為0，方程為一元一次方程；當(dāng)系數(shù)不為0，方程為一元二次方程，結(jié)合根的判別式計(jì)算即可.【詳解】由雙曲線的方程，得，所以其漸近線方程為：；由，消y，得，因?yàn)橹本€與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)即時(shí)，方程有一個(gè)解，當(dāng)即時(shí)，，方程無(wú)解.所以故答案為：；13．

【解析】求出雙曲線中的，從而得到焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程.【詳解】解：雙曲線中的，，所以，，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，即.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的方程、基本性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是對(duì)熟知雙曲線的基本性質(zhì)、圖形等.14．

【解析】由題意可得，求出漸近線方程后可得關(guān)系，兩者結(jié)合可求得，即可得到右頂點(diǎn)和雙曲線的方程．【詳解】由題意可得，即，一條漸近線的斜率為，解得，則雙曲線的右頂點(diǎn)為，的方程為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【解析】由雙曲線的方程可知，，即可直接寫出其漸近線的方程.【詳解】由雙曲線的方程為，可知，；則雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.16．1【解析】求出雙曲線的，，，可設(shè)，可得雙曲線的一條漸近線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可得到．【詳解】雙曲線的，，，則可設(shè)，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，則到漸近線的距離為，故答案為：1．17．【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，；利用點(diǎn)差法可求得直線斜率，進(jìn)而得到直線方程.【詳解】設(shè)，為中點(diǎn)

，由兩式作差可得：直線斜率直線方程為：，即故答案為【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)弦中點(diǎn)求解直線方程的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用點(diǎn)差法，將直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系表示出來(lái)，從而求得直線斜率.18．【解析】先根據(jù)題意畫出方程的曲線即為函數(shù)y=f（x）的圖象，如圖所示．軌跡是兩段雙曲線的一部分加上一段的橢圓圓弧組成的圖形．從圖形中可以看出，關(guān)于函數(shù)y=f（x）的結(jié)論的正確性．【詳解】根據(jù)題意畫出方程的曲線即為函數(shù)y=f（x）的圖象，如圖所示．軌跡是兩段雙曲線的一部分加上一段的橢圓圓弧組成的圖形．從圖形中可以看出，關(guān)于函數(shù)的有下列說(shuō)法：①R上單調(diào)遞減；正確．②由即，從而圖形上看，函數(shù)的圖象與直線沒(méi)有交點(diǎn)，故函數(shù)F（x）=4f（x）+3x不存在零點(diǎn)；正確．③函數(shù)y=f（x）的值域是R；正確．④的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，正確．其中正確的個(gè)數(shù)是4．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、圓錐曲線的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題19．【解析】先確定雙曲線的焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，再確定雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)，最后確定雙曲線的漸近線方程．【詳解】∵雙曲線的a=2，b=1，焦點(diǎn)在x軸上而雙曲線的漸近線方程為y=±∴雙曲線的漸近線方程為y=±故答案為y=±【點(diǎn)睛】本題考察了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的幾何意義，特別是雙曲線的漸近線方程