浙江省紹興市柯橋區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省紹興市柯橋區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本科考試分為試題卷和答題卷，考生須在答題卷上答題．2．答題前，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的規(guī)定處用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)學(xué)校?班級(jí)?姓名和準(zhǔn)考證號(hào)．3．試卷分為選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)．全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，1.下列方程所表示的直線中，傾斜角為的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A項(xiàng)，直線斜率為2，故直線的傾斜角不是，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，直線的斜率為，故直線的傾斜角不是，故B項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C項(xiàng)，直線的斜率為1，故直線的傾斜角是，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，直線的斜率為，故直線的傾斜角不是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.2.已知平面平面的法向量分別為，則實(shí)數(shù)（）A.3 B.-3 C.2 D.-2【答案】B【解析】∵平面平面，∴平面的法向量也垂直，∴，即，解得：.故選：B.3.已知等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A55 B.110 C.511 D.1023【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和Sn，則，故.故選：D.4.已知直線，圓，則直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.以上都有可能【答案】C【解析】因?yàn)閳A，所以，半徑，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以直線與圓的位置關(guān)系是相離.故選：C.5.已知橢圓，過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，可得直線的方程為：，代入中，整理解得：，當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，，故有,則.故選：D.6.正方體中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積（）A.先變大后變小 B.先變小后變大C.不變 D.無(wú)法判斷【答案】C【解析】正方體中，，，四邊形為平行四邊形，有正方形中，分別是的中點(diǎn)，有，得，平面，平面，則平面，所以由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離保持不變，又三點(diǎn)為定點(diǎn)，的面積不變，所以三棱錐的體積不變，即三棱錐的體積不變.故選：C7.斐波那契數(shù)列因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖為例而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列由以下遞推方法定義：數(shù)列滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)斐波那契數(shù)列的遞推公式，可得.故選：B.8.已知直線過(guò)點(diǎn)交拋物線于兩相異點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)拋物線上兩點(diǎn)坐標(biāo)為，若直線AB斜率存在，則，則直線AB方程為：，，又，故AB方程為：；若直線AB斜率不存在，則，此時(shí)直線AB方程為：，顯然也可表示這種情況；綜上所述：拋物線上兩點(diǎn)，若坐標(biāo)分別為，則直線AB方程可表示為：.又AB過(guò)點(diǎn)，故；又為，同理可得直線方程為：，也即，其恒過(guò)定點(diǎn)，記該點(diǎn)為；根據(jù)題意可得，，故點(diǎn)在以為直徑的圓上，且不與重合；容易得該圓圓心為，半徑r=1，故點(diǎn)的軌跡方程為：.故選：A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓B.當(dāng)或時(shí)，曲線是雙曲線C.若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則D.若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則【答案】BC【解析】對(duì)方程：若，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時(shí)；若，表示圓，此時(shí)；若，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時(shí)；若，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，此時(shí)；若，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，此時(shí)；根據(jù)上述討論，BC正確.故選：BC.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B.C.數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列 D.取得最大值時(shí)，【答案】BCD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；由，，等差數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，C選項(xiàng)正確；，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，取得最大值時(shí)，，D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.已知點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.的最大值為6 B.的最小值為4C.的最小值為-1 D.的最大值為34【答案】ABD【解析】當(dāng)直線與垂直時(shí)，圓心到直線的距離取最大值，此時(shí)AB的最小值為，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，AB的最大值為6，故A，B正確；設(shè)，則，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD12.在三棱錐中，分別是線段上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足平面平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.四邊形為矩形B.三棱錐的外接球的半徑為C.D.四邊形的面積最大值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，平面,平面，又面，面面，所以，同理，而，所以與不垂直，從而與也不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，把題設(shè)四棱錐放入長(zhǎng)方體中，如圖所示，不妨設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為，且，三棱錐的外接球的半徑為，易知長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)度等于三棱錐的外接球的半徑的兩倍，所以，解得，故B正確；對(duì)于C，由A可知，且，所以由截平行線段成比例得，又，所以，故C正確；對(duì)于D，由A可知，所以，所以四邊形的面積，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知空間向量，且，則__________．【答案】【解析】，故可得，解得，故，則.故答案為：.14.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，滿(mǎn)足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，垂足為，若，則__________．【答案】【解析】由已知，則軸，過(guò)作軸，垂足為，過(guò)作，垂足為，則，四邊形為平行四邊形，所以，且中以為底邊的高即為，在中，由拋物線的定義知，又，則，則.故答案為：.15.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線分別交雙曲線的左，右兩支于兩點(diǎn)，若為正三角形，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖所示：因?yàn)槭钦切?，所以，，由雙曲線定義可知，即，再由可得在中，，即，整理得：，，所以故答案為：16.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】由題意，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以解得，當(dāng)時(shí)，有，，兩式相減得，整理得，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，，，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．17.如圖所示，在棱長(zhǎng)均相等的平行六面體中分別為線段的中點(diǎn)．（1）設(shè)，請(qǐng)以向量表示；（2）求證：平面平面．解：（1）.（2）∵∴，又∵，∴，即，∵底面菱形中，，且，平面.所以平面．又平面,∴平面平面．18.在數(shù)列中，已知，．（1）求證：是等比數(shù)列．（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由，得，即，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得.所以.19.如圖，已知中，，是上一點(diǎn)，且，將沿翻折至，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）∵中，，由余弦定理，，而為三角形內(nèi)角，∴，，∵，，∴，即，又∵中，，，∴，平面，，∴平面，平面，∴.（2）以為原點(diǎn)，分別為軸，過(guò)垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，，，由正弦定理，，，平面，則點(diǎn)在平面內(nèi)，，，得，又，，∴，，設(shè)平面的法向量為，∴，∴，設(shè)，則，又∵，故直線與平面所成角的正弦值為20.已知雙曲線的焦距為，漸近線方程為：，雙曲線左，右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．設(shè)的斜率分別為，若，求的方程．解：（1）雙曲線的焦距，；雙曲線的漸近線方程為，即，，又，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）由（1）得：A-2,0，，設(shè)，，如圖可知：直線的斜率一定存在，則可設(shè)，由得：，由解得：且，，，；，，即，，解得：或，又且，故，則直線的方程為：，即．21.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足．（1）求的值；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：．解：（1）∵，∴，得：，∴，∴，∴.（2）由（1）得，①，②，①-②得：，∴，.22.已知橢圓C:x2a2+（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）圓的圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，半徑為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓及圓交于四點(diǎn)（如圖所示），若存在，求圓的