浙江省杭州市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共40分）1.已知集合，且，則等于（）A.或 B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時，得.此時.此時集合.因?yàn)椴粷M足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.當(dāng)時，解方程，即，可得或.若，則，此時集合.不滿足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.若，則，此時集合.符合集合元素的互異性.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對應(yīng)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，則．故選：C.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得.故選：D4.若，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由條件可知，兩邊平方后得，并且，.因?yàn)橄蛄繆A角的范圍是，所以向量與的夾角為.故選：A.5.已知，則的最小值為（）A. B.9 C. D.10【答案】B【解析】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，令，則，解得（舍去）或，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，即的最小值為9.故選：B.6.某個班級有55名學(xué)生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名團(tuán)員，女生中有12名團(tuán)員．在該班中隨機(jī)選取一名學(xué)生，A表示“選到的是團(tuán)員”，B表示“選到的是男生”，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)事件為選到的是團(tuán)員，事件為選到的是男生，根據(jù)題意可得，，，故．故選：B．7.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（）A.數(shù)列為遞增數(shù)列 B.C.的最大值為 D.【答案】C【解析】由題意，，，則，故B錯誤；數(shù)列的公差，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故A錯誤；由于時，，時，，所以的最大值為，故C正確；，故D錯誤.故選：C.8.已知當(dāng)時，函數(shù)取得最大值2，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，因?yàn)楫?dāng)時，函數(shù)取得最大值2，所以，即，解得，所以，，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，符合題意，所以.故選：C.二、多選題（共18分）9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個單位可得的圖象【答案】BD【解析】由圖象得，，解得，所以的最小正周期為，故A錯；，則，將代入中得，則，，解得，，因?yàn)椋?，，，所以是的對稱軸，故B正確；當(dāng)時，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上不單調(diào)，故C錯；該圖象向右平移個單位可得，故D正確.故選：BD10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，直線過且交于不同的兩點(diǎn)，在線段上，點(diǎn)為在上的射影．線段交軸于點(diǎn)，下列命題正確的是（）A.對于任意直線，均有B.不存在直線，滿足C.對于任意直線，直線與拋物線相切D.存在直線，使【答案】AC【解析】對于選項(xiàng)A，如圖，由拋物線知為的中點(diǎn)，軸，所以為線段的中點(diǎn)，由拋物線的定義知，所以，所以選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，設(shè)，，，，，為線段的中點(diǎn)，則，，，由，得，解得，，又，，故，，，可得，，故存在直線，滿足，所以選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C，由題意知，為線段的中點(diǎn)，從而設(shè)，則，直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得：，又，代入整理得，則，所以直線與拋物線相切，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，設(shè)的方程，聯(lián)立，則，所以，，由，而，由，得，解得：，故，所以，所以選項(xiàng)D錯誤，故選：AC．11.已知四面體ABCD的每個頂點(diǎn)都在球O（O為球心）的球面上，為等邊三角形，M為AC的中點(diǎn)，，，且，則（）A.平面ACD B.平面ABCC.O到AC的距離為 D.二面角的正切值為【答案】AD【解析】設(shè)的中心為G，過點(diǎn)G作直線平面ABC，則球心O在上.由M為AC的中點(diǎn)，得.因?yàn)?所以平面BDM，則，所以，所以，所以，，所以，所以，可得平面ACD，所以球心O在直線MB上，因此O與G重合.過M作于H，連接OH，則，從而為二面角的平面角.因?yàn)?，，所以O(shè)到AC的距離為，且.故選：AD三、填空題（共15分）12.設(shè)函數(shù)，若方程有且僅有1個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【解析】方程有且僅有1個實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與直線的圖象有且只有一個交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，如圖：結(jié)合圖象可得.故答案為：.13.已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且，若的面積為9，則的值為______．【答案】3【解析】，，①又②①-②得：，的面積為9，，故答案為：3.14.甲、乙兩人參加玩游戲活動，每輪游戲活動由甲、乙各玩一盤，已知甲每盤獲勝的概率為，乙每盤獲勝的概率為.在每輪游戲活動中，甲和乙獲勝與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動中共獲勝3盤的概率為______.【答案】【解析】設(shè)分別表示甲在兩輪玩游戲活動中共獲勝1盤、2盤的事件，設(shè)分別表示乙在兩輪玩游戲活動中共獲勝1盤、2盤的事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式可得，，則甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動中共獲勝3盤事件為，且互斥，故，故答案為：四、解答題（共77分）15.在①，②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并解答.問題：在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，，，且_____________，求的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.解：因?yàn)?，可知角A是鈍角，又因?yàn)?，則，可得.選擇條件①：因?yàn)?，即，化簡得，即，由正弦定理?由，解得，由余弦定理可得，所以.選擇條件②：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，整理可得，?由正弦定理得，由，解得，由余弦定理可得，所以.16.已知數(shù)列滿足，.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，證明：.證明：（1）因?yàn)?，，則，，…以此類推可知，對任意的，，由已知得，即，所以，且，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，，，.17.如圖，在四棱錐中，底面，，，，為棱上一點(diǎn)．（1）若是的中點(diǎn)，求證：直線平面；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求三棱錐的體積（1）證明：取的中點(diǎn)，連，，為的中點(diǎn)，且，又，且，，，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，故直線平面．（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在射線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，設(shè)，則，，在棱上，可設(shè)，故，解得，即，易知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量，，，，即，即，取，則，，故，因?yàn)槎娼堑钠矫娼堑挠嘞抑禐椋?，即，即，，解得，故是的中點(diǎn)，因此18.已知點(diǎn)，，曲線上的點(diǎn)與兩點(diǎn)的連線的斜率分別為和，且，在下列條件中選擇一個，并回答問題（1）和（2）．條件①：；條件②：．問題：（1）求曲線的方程；（2）是否存在一條直線與曲線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解：（1）若選條件①：點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，由題意可得，，化簡得，進(jìn)而曲線的方程為．若選條件②：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，由題意可得，，化簡得，進(jìn)而曲線的方程為．（2）若選條件①：（?。┤糁本€的斜率存在，設(shè)，由，得，則，即，設(shè)Px1,y1，Q因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過原點(diǎn)，所以，則，即，整理得．，設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，則，所以，又，所以．（ⅱ）若直線的斜率不存在，則，不妨設(shè)，則，代入方程，得，所以，則．綜上，存在這樣的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．且．若選條件②：（ⅰ）若直線的斜率存在，設(shè)，由得，則，即，設(shè)Px1,y1，Q因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過原點(diǎn)，所以，則，即，整理得．，設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，則，所以，又，所以．（ⅱ）若直線的斜率不存在，則，不妨設(shè)，則，代入方程，得，所以，則．綜上，存在這樣的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．且．19.對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點(diǎn).已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的不動點(diǎn)；（2）若對任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，求的取值范圍；（3）在（2）的條