云南省昆明市2025屆高三上學期12月大聯考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1云南省昆明市2025屆高三上學期12月大聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以.故選：D.2.已知復數與在復平面內對應的點關于實軸對稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為與在復平面內對應的點關于實軸對稱，在復平面內對應的點為，所以在復平面內對應的點為，所以，所以.故選：B.3.蘇州荻溪倉始建于明代，曾作為古代官方桹倉，圓筒桹倉簡約美觀、儲存容量大，在糧食儲存方面優(yōu)勢明顯，如圖（1）.某校模型制作小組設計圓筒糧倉模型時，將糧倉的屋頂近似看成一個圓錐，如圖（2）.若該圓錐的側面展開圖為半圓，底面圓的直徑為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，知該圓錐底面圓的半徑為，設該圓錐的母線長為，高為.由，得，，所以該圓錐的體積.故選：A.4.已知，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以.又，所以，所以故選：C.5.已知向量，，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】B【解析】設，，點在直線上運動，點在函數的圖象上運動.作出直線與函數的圖象，函數，令，當x=2時，即，，當時取最小值.故選：B.6.下列函數，滿足“對于定義域內任意兩個實數，，都有”的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，令，，則，，不滿足條件，故A錯誤；對于B，令，則，，不滿足條件，故B錯誤；對于C，因為，求導得，當時，，函數在單調遞增，當時，，函數在單調遞減，所以，即，所以即，所以，滿足條件,故C正確；對于D，令，，則，不滿足條件，故D錯誤.故選：C.7.已知函數，若在區(qū)間上單調，在處取得最大值，且.將曲線向左平移1個單位長度，得到曲線，則函數在區(qū)間上的零點個數為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】設函數最小正周期為，因為在區(qū)間0,1上單調，在處取得最大值，且.所以，所以.又，所以，.又，所以，，所以.求函數在區(qū)間上的零點個數，當時，；當時，問題轉化為求曲線y=gx與曲線的交點個數當時，取，得，，所以曲線y=gx與曲線區(qū)間0,2上有2個交點，區(qū)間上無交點；當時，取，得，結合圖象，知曲線y=gx與曲線在上有2所以函數在區(qū)間上的零點個數為4.故選：A.8.已知函數，，，，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數，得當時，，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上的最大值為.當時，，，所以在上單調遞減.又，，，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.數據、、、、的第百分位數是B.若隨機變量服從正態(tài)分布，，則C.張彩票中只有張能中獎，現從中一次性抽取張，若其中至少有一張中獎的概率大于，則的最小值為D.已知數據、、、的平均數為，方差為，現加入和兩個數，則這個數的方差【答案】ACD【解析】對于A，由，知數據、、、、的第百分位數為，故A正確；對于B，由正態(tài)曲線的對稱性知，所以，故B錯誤；對于C，由，得，可得，解得，又因為，所以，的最小值為，故C正確；對于D，新數據的平均數為，則新數據的平均數仍為，由方差公式，得，解得，則新數據的方差，故D正確.故選：ACD.10.已知函數在處取得極值，則下列說法正確的是（）A.若在上單調遞增，則實數的取值范圍是B.有3個零點C.在上的最小值為D.在R上恒成立【答案】BC【解析】由，得.由，得，經檢驗，滿足題意，所以，，所以在和上單調遞增，在上單調遞減.對于A，由或得或，故A錯誤；對于B，令，得，，，故B正確；對于C，結合的單調性及，，得當時，，故C正確；對于D，由，得，，所以，不滿足在上恒成立，故D錯誤.故選:BC.11.如圖，已知圓，過原點作射線交圓于點（異于點），交直線于點（異于點），再以為圓心、線段的長為半徑作圓與射線交于點，記點的軌跡為曲線.設，，則下列說法正確的是（）A.曲線上所有點的橫坐標的取值范圍是B.C.曲線的方程為D.過點且與垂直的直線必與拋物線相切【答案】ABD【解析】對于A，當射線與軸非負半軸重合時，點與原點重合，此時，但A，B兩點不重合，所以等號取不到.當射線的傾斜角從0逐漸趨近于時，點位于直線左側且無限趨近于該直線，即，故A正確；對于B，由題圖，知，，所以，故B正確；對于C，設Mx,y，則，，代入，得.又，代入整理，得，故C錯誤；對于，設，，則①，設過點且與直線垂直的直線方程為，即，與聯立，得，結合①，得，所以過點且與垂直的直線必與拋物線相切，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數的圖象在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為______.【答案】【解析】由，得，則.又，所以所求切線方程為.又切線與軸、軸分別交于點，，所以所求的三角形面積.故答案為：.13.甲、乙兩人進行某項比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率均為，沒有平局，各局比賽的結果互不影響.約定當一方勝的局數比另一方多兩局時即可獲勝，比賽結束.設最終比賽局數為，則______.【答案】【解析】由題意，得若比賽局數為6，最終比分為4：2，則前兩局雙方各勝一局，第3，4局雙方各勝一局，最后兩局甲全勝或乙全勝，所以，所以.故答案為：.14.過雙曲線的左焦點作軸的垂線，為上一動點，已知，，若的最大值為，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】由題意及，得.由已知可得，.設，由對稱性，不妨設，則，，，當且僅當時等號成立，所以，所以，即，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內角，，所對的邊分別為，，，已知，.（1）求；（2）若的周長為，求的面積.解：（1）由題意及余弦定理，得，所以.由，得.又B∈0,π（2）由（1），得，所以.又，所以，，，所以的面積.16.如圖，橢圓的中心在原點，左、右焦點分別為，，點為橢圓上兩點（均位于軸上方），且滿足，面積的最大值為2，橢圓的離心率小于，且橢圓的四個頂點圍成的四邊形周長為12.（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：為定值.（1）解：由題意，得解得所以橢圓的標準方程為.（2）證明：由（1），知F1-1,0，延長交橢圓于點，由及對稱性，知，所以.當直線的斜率不存在時，易得，則.當直線斜率存在且不為零時，設其方程為，由得，，設Ax1,y1，B所以，，所以.綜上，為定值.17.已知函數.（1）若，求證：；（2）若且在上恒成立，求的最大值.（1）證明：的定義域為，當時，，，當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，所以.（2）解：令，則在上恒成立.求導，得，當時，在上恒成立，所以在上單調遞增.又，不符合題意，舍去.當時，若，可得，所以在上單調遞增，若，可得，所以在上單調遞減，所以，只需即可.設，則，所以在上單調遞增.又，所以當時，恒成立，所以.又，所以的最大值為.18.如圖，在三棱錐中，平面，，分別是，的中點，，，.延長至點，使得，連接.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值；（3）若點，分別是直線，上的動點，求的最小值.（1）證明：因為，，，是的中點，所以，兩邊平方，得，即，得，所以.又平面，所以，，兩兩垂直.,如圖，以為原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則A0,0,0，，，，，.所以，，所以，所以.（2）解：由題意，知平面的一個法向量是.易得，.設平面的法向量是n=x,y,令，得，所以平面的一個法向量是，所以，由圖，知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.（3）解：因為點N，Q分別是直線，上的動點，設，，則，所以.設，，則，所以，所以所以當，時，取得最小值，為.19.設數列是一個無限數列，若對于一個給定的正整數，不等式對每一個大于的正整數都成立，則稱是階友好數列.（1）若，證明：是2階友好數列，但不是1階友好數列.（2）若是1階友好數列，為數列的前項和.（1）證明：因為，所以要證是2階友好數列，只需證不等式對每一個大于2的正整數都成立，只需證對每一個大于2的正整數都成立，只需證，即對每一個