2025年春初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)冀教版上課課件 6.3 二元一次方程組的應(yīng)用（第2課時(shí)）

6.3二元一次方程組的應(yīng)用

課時(shí)2七下數(shù)學(xué)JJ第六章

二元一次方程組1.掌握構(gòu)建二元一次方程組解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的基本步驟.2.通過(guò)探究實(shí)際問(wèn)題,進(jìn)一步體會(huì)方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型,發(fā)展模型觀念.3.在運(yùn)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，形成應(yīng)用意識(shí).二元一次方程組的前世今生“方程”:

我國(guó):漢

鄭玄

“解九數(shù)”《九章算術(shù)》

第八卷

“方程”

13世紀(jì)

“立天元一為某某”(“設(shè)x為某某”)西方:古巴比倫人

古希臘人

拉T文oequation

英文equation亞歷山大里亞時(shí)期

丟番圖

《算術(shù)》“元”:表示未知數(shù)

我國(guó)宋元時(shí)期的天元術(shù).李冶

《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》、朱世杰《算學(xué)啟蒙》和((四元玉鑒)).清末

李善蘭

和偉烈亞力

譯英國(guó)數(shù)學(xué)家德摩根

《代數(shù)學(xué)》

創(chuàng)用“多元一次方程”這樣的術(shù)語(yǔ)現(xiàn)代:二元一次方程組的重要應(yīng)用例1

我國(guó)高速鐵路飛速發(fā)展，為了解“復(fù)興號(hào)”列車(chē)的長(zhǎng)度和行駛速度，小明所在的學(xué)習(xí)小組開(kāi)展了一次課外探究活動(dòng).他們分工合作，在一架3150m長(zhǎng)的鐵路橋附近進(jìn)行了觀察、測(cè)量和計(jì)算:“復(fù)興號(hào)”列車(chē)從開(kāi)始上橋到完全過(guò)橋的時(shí)間約為42.5s,列車(chē)完全在橋上的時(shí)間約為32.5s.你能根據(jù)該小組同學(xué)獲得的數(shù)據(jù)，求出“復(fù)興號(hào)”列車(chē)過(guò)橋時(shí)的速度和列車(chē)的長(zhǎng)度嗎?知識(shí)點(diǎn)1

行程問(wèn)題列車(chē)42.5s內(nèi)所行路程=橋長(zhǎng)+車(chē)長(zhǎng)列車(chē)32.5s內(nèi)所行路程=橋長(zhǎng)-車(chē)長(zhǎng)知識(shí)點(diǎn)1

行程問(wèn)題思考：(1)問(wèn)題中涉及了哪些量？(2)畫(huà)示意圖，并尋找等量關(guān)系.(3)用x、y分別表示火車(chē)的速度(m/s)和長(zhǎng)度(m)，列方程組.(4)解答上面的問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)1

行程問(wèn)題

例2

小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路.假設(shè)他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學(xué)校需10min，從學(xué)校到家里需15min.問(wèn)小華家離學(xué)校多遠(yuǎn)？知識(shí)點(diǎn)1

行程問(wèn)題分析：小華到學(xué)校的路分成兩段，一段為平路，一段為下坡路.平路：60m/min下坡路：80m/min上坡路：40m/min走平路的時(shí)間+走下坡的時(shí)間=________，走上坡的時(shí)間+走平路的時(shí)間=_______．路程=平均速度×?xí)r間1015知識(shí)點(diǎn)1

行程問(wèn)題方法一（直接設(shè)元法）平路時(shí)間坡路時(shí)間總時(shí)間上學(xué)放學(xué)解：設(shè)小華家到學(xué)校平路長(zhǎng)xm，下坡長(zhǎng)ym.根據(jù)題意，可列方程組：解方程組，得所以，小華家到學(xué)校的距離為700m.知識(shí)點(diǎn)1

行程問(wèn)題方法二（間接設(shè)元法）平路距離坡路距離上學(xué)放學(xué)解：設(shè)小華下坡路所花時(shí)間為

xmin,上坡路所花時(shí)間為

ymin.

所以，小華家到學(xué)校的距離為700m.故平路距離：60×（10-5）=300（m）.

坡路距離：80×5=400（m）.知識(shí)點(diǎn)1

行程問(wèn)題變式練習(xí)

甲、乙兩地相距4km，以各自的速度同時(shí)出發(fā).如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，兩人0.5h后相遇.試問(wèn)兩人的速度各是多少？分析：對(duì)于行程問(wèn)題，一般可以借助示意圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，可以更加直觀的找到相等關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)1

行程問(wèn)題（1）同時(shí)出發(fā)，同向而行甲出發(fā)點(diǎn)乙出發(fā)點(diǎn)4km甲追上乙乙2h行程甲2h行程甲2h行程=4km+乙2h行程（2）同時(shí)出發(fā)，相向而行甲出發(fā)點(diǎn)乙出發(fā)點(diǎn)4km相遇地甲0.5h

行程乙0.5h

行程甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km知識(shí)點(diǎn)1

行程問(wèn)題解：設(shè)甲、乙的速度分別為xkm/h,ykm/h.根據(jù)題意與分析中圖示的兩個(gè)相等關(guān)系，得解方程組，得答：甲的速度為5km/h,乙的速度為3km/h.知識(shí)點(diǎn)1

行程問(wèn)題例3

去年秋季，某校七年級(jí)和高中一年級(jí)招生總數(shù)為500名，計(jì)劃今年秋季七年級(jí)招生人數(shù)增加20%，高中一年級(jí)招生人數(shù)比去年增加15%，這樣，今年秋季七年級(jí)和高中一年級(jí)招生總數(shù)將比去年招生總數(shù)增加18%，今年秋季七年級(jí)和高中一年級(jí)各計(jì)劃招生多少名？今年，七年級(jí)人數(shù)+高中一年級(jí)人數(shù)=500(1+18%)；分析：本題中的等量關(guān)系去年，七年級(jí)人數(shù)+高中一年級(jí)人數(shù)=500；今年，七年級(jí)人數(shù)=去年七年級(jí)人數(shù)+增長(zhǎng)數(shù)；今年，高中一年級(jí)人數(shù)=去年高中一年級(jí)人數(shù)+增長(zhǎng)數(shù)；知識(shí)點(diǎn)2

增長(zhǎng)率問(wèn)題解：設(shè)去年七年級(jí)招生x名，高中一年級(jí)招生y名.根據(jù)題意，得解得所以答：今年秋季七年級(jí)計(jì)劃招生360名，高中一年級(jí)計(jì)劃招生230名.如果將今年兩個(gè)年級(jí)計(jì)劃招生人數(shù)設(shè)為未知數(shù)，如何列方程組呢？知識(shí)點(diǎn)2

增長(zhǎng)率問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)2

增長(zhǎng)率問(wèn)題基本關(guān)系式：增長(zhǎng)率＝（增長(zhǎng)后的量－增長(zhǎng)前的量）/增長(zhǎng)前的量×100%；

相等關(guān)系：增長(zhǎng)前的量×(1＋增長(zhǎng)率)＝增長(zhǎng)后的量；下降前的量×(1－降低率)

＝下降后的量．【分析】設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元,總支出為y萬(wàn)元,則有總產(chǎn)值/萬(wàn)元總支出/萬(wàn)元利潤(rùn)/萬(wàn)元去年今年(1+20﹪)x(1-10﹪)y780xy200變式練習(xí)某工廠去年的利潤(rùn)(總產(chǎn)值-總支出)為200萬(wàn)元,今年總產(chǎn)值比去年增加了20％,總支出比去年減少了10％,今年的利潤(rùn)為780萬(wàn)元.去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元?知識(shí)點(diǎn)2

增長(zhǎng)率問(wèn)題去年的總產(chǎn)值-去年的總支出=200萬(wàn)元，

今年的總產(chǎn)值-今年的總支出=780萬(wàn)元．分析關(guān)鍵:找出等量關(guān)系.今年的總支出=去年的總支出×(1-10%）今年的總產(chǎn)值=去年總產(chǎn)值×(1+20%）知識(shí)點(diǎn)2

增長(zhǎng)率問(wèn)題解:設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元,總支出為y萬(wàn)元,則有x-y=200，(1+20﹪)x-(1-10﹪)y=780.因此,去年的總產(chǎn)值是2000萬(wàn)元，總支出是1800萬(wàn)元.解得x=2000，y=1800.知識(shí)點(diǎn)2

增長(zhǎng)率問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題

設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程（組）

數(shù)學(xué)問(wèn)題

[方程（組）]解方程（組）數(shù)學(xué)問(wèn)題的解檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題的答案

知識(shí)點(diǎn)2

增長(zhǎng)率問(wèn)題1.甲、乙兩人賽跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，則甲跑4秒就可追上乙.設(shè)甲速為x米/秒，乙速為y米/秒，則可列方程組為(

)B

2.某食品廠要配制含蛋白質(zhì)15％的食品100kg，現(xiàn)在有含蛋白質(zhì)分別為20％，12％的甲乙兩種配料．用這兩種配料可以配制出所要求的食品嗎？如果可以的話，它們各需多少千克？分析本問(wèn)題涉及的等量關(guān)系有：甲配料質(zhì)量+乙配料質(zhì)量=總質(zhì)量，甲配料含蛋白質(zhì)質(zhì)量+乙配料含蛋白質(zhì)質(zhì)量=總蛋白質(zhì)質(zhì)量.解:設(shè)含蛋白質(zhì)20％的配料需用xkg，含蛋白質(zhì)12％的配料需用ykg.根據(jù)等量關(guān)系得解這個(gè)方程組得答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白質(zhì)20％的配料需用37.5kg，含蛋白質(zhì)12％的配料需用62.5kg.3.甲、乙兩種商品原來(lái)的單價(jià)和為100元，因市場(chǎng)變化，甲商品降價(jià)10％，乙商品提價(jià)40％,調(diào)價(jià)后兩種商品的單價(jià)和比原來(lái)的單價(jià)和提高了20％.求甲、乙兩種商品原來(lái)的單價(jià).解:設(shè)甲商品原來(lái)的單價(jià)為x元，乙商品原來(lái)的單價(jià)為y元.根據(jù)等量關(guān)系得解這個(gè)方程組得答：甲商品原來(lái)的單價(jià)為40元，乙商品原來(lái)的單價(jià)為60元.4.一班和二班共有100名學(xué)生,他們的體育達(dá)標(biāo)率(達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的百分率)為81﹪,如果一班學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)率為87.5﹪,二班學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)率為75﹪,那么一、二班的學(xué)生數(shù)各是多少?分析

設(shè)一、二班的學(xué)生數(shù)分別為x名，y名.則有下表.一班二班兩班總和學(xué)生數(shù)達(dá)標(biāo)學(xué)生數(shù)xy10087.5﹪x75﹪y81﹪×100解:設(shè)一、二班的學(xué)生數(shù)分別為x名，y名.根據(jù)題意,得解得答：一、二班的學(xué)生數(shù)分別為48名和52名.x+y=100，87.5﹪x+75﹪y=81﹪×100.x=48,y=52.5.某業(yè)余運(yùn)動(dòng)員針對(duì)自行車(chē)和長(zhǎng)跑項(xiàng)目進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練某次訓(xùn)練中，他騎自行車(chē)的平均速度為10m/s，跑步的平均速度為，自行車(chē)路段和長(zhǎng)跑路段共5km，共用時(shí)15min．求自行車(chē)路段和長(zhǎng)跑路段的長(zhǎng)度．分析：本問(wèn)題涉及的等量關(guān)系有：自行車(chē)路段長(zhǎng)度+長(zhǎng)跑路段長(zhǎng)度=總路程，