2024年天津市高考數(shù)學(xué)試題含答案解析

高考PAGE1試題2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題）注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：·如果事件互斥，那么．·如果事件相互獨(dú)立，那么．·球的體積公式，其中表示球的半徑．·圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（）A. B.C. D.4.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.5.若，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.6.若為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，則與相交7.已知函數(shù)的最小正周期為．則在的最小值是（）A. B. C.0 D.8.雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）A B. C. D.9.一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（）A. B. C. D.第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______．11.在展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______．12.圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，為兩曲線的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離為______．13.五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為______；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為______．14.在邊長為1的正方形中，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，，則______；為線段上的動點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為______．15.若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，則的取值范圍為______．三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16.在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求；（2）求；（3）求的值．17.已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．18.已知橢圓橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．（1）求橢圓方程．（2）過點(diǎn)的動直線與橢圓有兩個交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得．若存在求出這個點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請說明理由．19.已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．（1）求數(shù)列前項(xiàng)和；（2）設(shè)，．（ⅰ）當(dāng)時，求證：；（ⅱ）求．20.設(shè)函數(shù)．（1）求圖象上點(diǎn)處的切線方程；（2）若在時恒成立，求值；（3）若，證明．2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷（選擇題）注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：·如果事件互斥，那么．·如果事件相互獨(dú)立，那么．·球的體積公式，其中表示球的半徑．·圓錐的體積公式，其中表示圓錐的底面面積，表示圓錐的高．一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合交集的概念直接求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，，所以，故選：B2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】說明二者與同一個命題等價，再得到二者等價，即是充分必要條件.【詳解】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，和都當(dāng)且僅當(dāng)，所以二者互為充要條件.故選：C.3.下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由點(diǎn)的分布特征可直接判斷【詳解】觀察4幅圖可知，A圖散點(diǎn)分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，值相比于其他3圖更接近1.故選：A4.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.【詳解】對A，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，但，，則，故A錯誤；對B，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對C，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，則不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)椋驗(yàn)?，，則，則不是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B.5.若，則的大小關(guān)系為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.【詳解】因?yàn)樵谏线f增，且，所以，所以，即，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，即，所以，故選：B6.若為兩條不同的直線，為一個平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，則與相交【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷CD的正誤.【詳解】對于A，若，，則平行或異面或相交，故A錯誤.對于B，若，則平行或異面或相交，故B錯誤.對于C，，過作平面，使得，因?yàn)椋?，而，故，故，故C正確.對于D，若，則與相交或異面，故D錯誤.故選：C.7.已知函數(shù)的最小正周期為．則在的最小值是（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】先由誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合周期公式求出，得，再整體求出時，的范圍，結(jié)合正弦三角函數(shù)圖象特征即可求解.【詳解】，由得，即，當(dāng)時，，畫出圖象，如下圖，由圖可知，在上遞減，所以，當(dāng)時，故選：A8.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.【詳解】如下圖：由題可知，點(diǎn)必落在第四象限，，設(shè)，，由，求得，因?yàn)?，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：C9.一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】采用補(bǔ)形法，補(bǔ)成一個棱柱，求出其直截面，再利用體積公式即可.【詳解】用一個完全相同的五面體（頂點(diǎn)與五面體一一對應(yīng)）與該五面體相嵌，使得；;重合，因，且兩兩之間距離為1．，則形成的新組合體為一個三棱柱，該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為，.故選：C.第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______．【答案】【解析】【分析】借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可得.【詳解】.故答案為：.11.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】20【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解即可.【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：20.12.圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，為兩曲線的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離為______．【答案】##【解析】【分析】先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點(diǎn)到直線的距離.【詳解】圓的圓心為，故即，由可得，故或（舍），故，故直線即或，故原點(diǎn)到直線的距離為，故答案為：13.五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為______；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為______．【答案】①.②.【解析】【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求甲選到的概率；采用列舉法或者條件概率公式可求乙選了活動，他再選擇活動的概率.【詳解】解法一：列舉法從五個活動中選三個的情況有：,共10種情況，其中甲選到有6種可能性：，則甲選到得概率為：；乙選活動有6種可能性：，其中再選則有3種可能性：，故乙選了活動，他再選擇活動的概率為.解法二：設(shè)甲、乙選到為事件，乙選到為事件，則甲選到的概率為；乙選了活動，他再選擇活動的概率為故答案為：；14.在邊長為1的正方形中，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，，則______；為線段上的動點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求的最小值.【詳解】解法一：因?yàn)?，即，則，可得，所以；由題意可知：，因?yàn)闉榫€段上的動點(diǎn)，設(shè)，則，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，可得，又因?yàn)?，可知：?dāng)時，取到最小值；解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因?yàn)?，則，所以；因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)，且為中點(diǎn)，則，可得，則，且，所以當(dāng)時，取到最小值為；故答案為：；.15.若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與兩函數(shù)的交點(diǎn)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)與，則兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，分、與進(jìn)行討論，當(dāng)時，計(jì)算函數(shù)定義域可得或，計(jì)算可得時，兩函數(shù)在軸左側(cè)有一交點(diǎn)，則只需找到當(dāng)時，在軸右側(cè)無交點(diǎn)的情況即可得；當(dāng)時，按同一方式討論即可得.【詳解】令，即，由題可得，當(dāng)時，，有，則，不符合要求，舍去；當(dāng)時，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)，由，可得或，當(dāng)時，則，則，即，整理得，當(dāng)時，即，即，當(dāng)，或（正值舍去），當(dāng)時，或，有兩解，舍去，即當(dāng)時，在時有唯一解，則當(dāng)時，在時需無解，當(dāng)，且時，由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得或，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，即，故時，圖象為雙曲線右支的軸上方部分向右平移所得，由的漸近線方程為，即部分的漸近線方程為，其斜率為，又，即在時的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，解得，故符合要求；當(dāng)時，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)，由，可得或，當(dāng)時，則，則，即，整理得，當(dāng)時，即，即，當(dāng)，（負(fù)值舍去）或，當(dāng)時，或，有兩解，舍去，即當(dāng)時，在時有唯一解，則當(dāng)時，在時需無解，當(dāng)，且時，由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得或，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，同理可得：時，圖象為雙曲線左支的軸上方部分向左平移所得，部分漸近線方程為，其斜率為，又，即在時的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故有，解得，故符合要求；綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問題，從而可將其分成兩個函數(shù)研究.三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟16.在中，角所對的邊分別為，已知．（1）求；（2）求；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，則得到；（3）法一：根據(jù)大邊對大角確定為銳角，則得到，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.【小問1詳解】設(shè)，，則根據(jù)余弦定理得，即，解得（負(fù)舍）；則.【小問2詳解】法一：因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，再根據(jù)正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因?yàn)?，則【小問3詳解】法一：因?yàn)椋?，所以，由?）法一知，因?yàn)椋瑒t，所以，則，.法二：，則，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以17.已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計(jì)算即可得解；（3）借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，故，且，由是的中點(diǎn)，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；【小問2詳解】以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有、、、、、，則有、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；【小問3詳解】由，平面的法向量為，則有，即點(diǎn)到平面的距離為.18.已知橢圓橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．（1）求橢圓方程．（2）過點(diǎn)的動直線與橢圓有兩個交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得．若存在求出這個點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請說明理由．【答案】（1）（2）存在，使得恒成立.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.【小問2詳解】若過點(diǎn)的動直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，由可得，故且而，故，因?yàn)楹愠闪?，故，解?若過點(diǎn)的動直線的斜率不存在，則或，此時需，兩者結(jié)合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過程中需要借助韋達(dá)定理，此時注意直線方程的合理假設(shè).19.已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．（1）求數(shù)列前項(xiàng)和；（2）設(shè)，．（?。┊?dāng)時，求證：；（ⅱ）求．【答案】（1）（2）①證明見詳解；②【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，即，可得，整理得，解得或（舍去），所?【小問2詳解】（i）由（1）可知，且，當(dāng)時，則，即可知，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，則；若，則，當(dāng)時，，