七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考測試卷（北師大版2024）測試范圍：整式的乘除~相交線與平行線

2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考卷基礎(chǔ)知識達(dá)標(biāo)測（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）考前須知：1．本卷試題共24題，單選10題，填空6題，解答8題。2．測試范圍：整式的乘除~相交線與平行線（北師大版2024）。第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列計算正確的是（）A．（﹣2a）2＝﹣4a2 B．a(chǎn)3b2÷a2b＝a C．（b2）5＝b7 D．m2?m5＝m7【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，單項式除以單項式的法則進(jìn)行計算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、（﹣2a）2＝4a2，故A不符合題意；B、a3b2÷a2b＝ab，故B不符合題意；C、（b2）5＝b10，故C不符合題意；D、m2?m5＝m7，故D符合題意；故選：D．2．（3分）華為Mate20系列搭載了麒麟980芯片，這個被華為稱之為全球首個7納米工藝的AI芯片，擁有8個全球第一，7納米就是0.000000007米．?dāng)?shù)據(jù)0.000000007用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．7×10﹣7 B．0.7×10﹣8 C．7×10﹣8 D．7×10﹣9【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．故選：D．3．（3分）下列多項式相乘，不能用平方差公式計算的是（）A．（4x﹣3y）（3y﹣4x） B．（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y） C．(?14x+2y)(14x+2y) D．（3y+2【分析】根據(jù)平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2和完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2判斷即可．【解答】解：A、（4x﹣3y）（3y﹣4x）＝﹣（4x﹣3y）2，用的是完全平方公式，故選項A符合題意；B、（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y）＝（﹣4x）2﹣（3y）2，用的是平方差公式，故選項B不符合題意；C、（?14x+2y）（?14x﹣2y）＝（?14x）2﹣（2D、（3y+2x）（3y﹣2x）＝（3y）2﹣（2x）2，用的是平方差公式，故選項D不符合題意；故選：A．4．（3分）如圖，對于下列條件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠C＝∠5；④∠A+∠ADC＝180°．其中一定能得到AD∥BC的條件有（）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【分析】利用平行線的判定方法一一判斷即可【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD；②∵∠3＝∠4，∴AD∥BC；③∵∠C＝∠5，∴AD∥BC，④∵∠A+∠ADC＝180°∴AB∥CD，故選：B．5．（3分）如圖，在河邊的A處，有一個牧童在放牛，牛吃飽后要到河邊飲水，牧童把牛牽到河邊沿AB的路徑走才能走最少的路，其依據(jù)是（）A．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 B．垂線段最短 C．兩點之間，線段最短 D．兩點確定一條直線【分析】根據(jù)垂線段最短判斷．【解答】解：在河邊的A處，有一個牧童在放牛，牛吃飽后要到河邊飲水，牧童把牛牽到河邊沿AB的路徑走才能走最少的路，其依據(jù)是垂線段最短．故選：B．6．（3分）下列說法中：①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段一定平行；②兩點之間直線最短；③兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；④相等的角是對頂角；⑤等角的補角相等；⑥在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線平行；不正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】分別根據(jù)線段的性質(zhì)，平行線的定義，平行線的性質(zhì)，余角和補角，對頂角的性質(zhì)分別判斷即可．【解答】解：①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線一定平行，原說法錯誤；②兩點之間線段最短，原說法錯誤；③兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，原說法錯誤；④相等的角不一定是對頂角，原說法錯誤；⑤等角的補角相等，原說法正確；⑥在同一平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，原說法錯誤；所以不正確的有①②③④⑥，共5個，故選：D．7．（3分）如果計算（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）的結(jié)果不含x5項，那么m的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．?【分析】先計算單項式乘以多項式，再結(jié)合x5項的系數(shù)為零即可得出答案．【解答】解：∵（2﹣nx+3x2+mx3）（﹣4x2）＝﹣8x2+4nx3﹣12x4﹣4mx5，又∵計算的結(jié)果不含x5項，∴﹣4m＝0．∴m＝0．故選：A．8．（3分）如圖，CD∥BE，則∠2+∠3﹣∠1的度數(shù)等于（）A．90° B．120° C．150° D．180°【分析】過點A作AF∥BE，利用平行線的性質(zhì)可得∠BAF＝∠3，從而可得∠CAF＝∠3﹣∠1，然后利用平行于同一條直線的兩條直線平行可得AF∥CD，從而可得∠CAF+∠2＝180°，進(jìn)而可得∠3﹣∠1+∠2＝180°，即可解答．【解答】解：過點A作AF∥BE，∴∠BAF＝∠3，∵∠CAF＝∠BAF﹣∠1，∴∠CAF＝∠3﹣∠1，∵CD∥BE，∴AF∥CD，∴∠CAF+∠2＝180°，∴∠3﹣∠1+∠2＝180°，即∠2+∠3﹣∠1＝180°，故選：D．9．（3分）若干個大小形狀完全相同的小長方形，現(xiàn)將其中4個如圖1擺放，構(gòu)造出一個正方形，其中陰影部分中5個如圖2擺放，構(gòu)造出一個長方形，其中陰影部分面積為100（各個小長方形之間不重疊不留空），則每個長方形的面積為（）A．5 B．10 C．20 D．30【分析】利用方程思想列等式，再利用完全平方公式整理式子，確定小長方形的面積．【解答】解：設(shè)長方形的長為a，寬為b，由圖1可知，（a+b）2﹣4ab＝40，即a2+b2＝2ab+40①，由圖2可知，（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝100，即a2+b2＝50②，由①﹣②得2ab+40﹣50＝0，∴ab＝5，即長方形的面積為5，故選：A．10．（3分）如圖，AB∥CD，E為AB上一點，且EF⊥CD垂足為F，∠CED＝90°，CE平分∠AEG，且∠CGE＝α，則下列結(jié)論：①∠AEC=90°?12α；②DE平分∠GEB；③∠CEF＝∠GED；④∠FEDA．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線和垂直定義逐個分析計算即可．【解答】解：∵∠CGE＝a，AB∥CD，∴∠CGE＝∠GEB＝a，∴∠AEG＝180°﹣a，∵CE平分∠AEG，∴∠AEC＝∠CEG=12∠AEG＝90°?故①正確；∵∠CED＝90°，∴∠AEC+∠DEB＝90°，∴∠DEB=12a=1即DE平分∠GEB，故②正確；∵EF⊥CD，AB∥CD，∴∠AEF＝90°，∴∠AEC+∠CEF＝90°，∴∠CEF=12∵∠GED＝∠GEB﹣∠DEB=12∴∠CEF＝∠GED，故③正確；∵∠FED＝90°﹣∠BED＝90°?12∠BEC＝180°﹣∠AEC＝90°+12∴∠FED+∠BEC＝180°，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④，故選：C．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）若5x﹣3y﹣2＝0，則25x÷23y＝4．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則即可求出答案．【解答】解：∵5x﹣3y＝2，∴原式＝25x﹣3y＝22＝4，故答案為：4．12．（3分）一個角的余角的3倍比這個角的補角少12°，則這個角的度數(shù)為51°．【分析】先設(shè)這個角為x°，再根據(jù)互為余角和補角的定義求出這個角的余角和補角，然后根據(jù)這個角的余角的3倍比這個角的補角少12°，列出方程，求出這個角即可．【解答】解：設(shè)這個角為x°，則這個角的余角為（90﹣x）°，這個角的補角為（180﹣x）°，由題意得：3（90﹣x）+12＝180﹣x，270﹣3x+12＝180﹣x，282﹣3x＝180﹣x，2x＝102，x＝51，∴這個角的度數(shù)為51°，故答案為：51°．13．（3分）已知多項式x3﹣2x2+ax﹣1為被除式，除式為bx﹣1，商式為x2﹣x+2，余式為1，則這個多項式為x3﹣2x2+3x﹣1．【分析】由題意得：x3﹣2x2+ax﹣1＝（bx﹣1）（x2﹣x+2）+1，整理為x3﹣2x2+ax﹣1＝bx3﹣（b+1）x2+（2b+1）x﹣1，得出b＝1，a＝2b+1，進(jìn)而得出b＝1，a＝3，代入多項式x3﹣2x2+ax﹣1，即可得出答案．【解答】解：由題意得：x3﹣2x2+ax﹣1＝（bx﹣1）（x2﹣x+2）+1，∴x3﹣2x2+ax﹣1＝bx3﹣（b+1）x2+（2b+1）x﹣1，∴b＝1，a＝2b+1，∴b＝1，a＝3，∴x3﹣2x2+ax﹣1＝x3﹣2x2+3x﹣1，故答案為：x3﹣2x2+3x﹣1．14．（3分）已知a?b=b?c=c?a=35，a2+b2+c2【分析】利用完全平方公式求出（a?b），（b?c），（a?c）的平方和，然后代入數(shù)據(jù)計算即可求解．【解答】解：∵a?b=b?c=c?a=3∴(a?b)2=925∴a2?2ab+b2=∴2a∴2(a∵a2+b2+c2＝1，∴2?2(ab+bc+ac)=27∴ab+bc+ca=23故答案為：235015．（3分）觀察下列各式及其展開式（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……請你猜想（2x﹣1）8的展開式中含x2項的系數(shù)是112．【分析】按照題目所給規(guī)律依次寫出6，7，8次方的等式，就可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)之間的規(guī)律，結(jié)合所要求的的式子a換成2x，b換成﹣1．即可得到答案．【解答】解：由所給四組式子的系數(shù)規(guī)律可得左邊式子的指數(shù)分別為6，7，8的等式，右邊各項的系數(shù)分別為：1，6，15，20，15，6，1；1，7，21，35，35，21，7，1；1，8，28，56，70，56，28，8，1；故含x2項的系數(shù)為：22×（﹣1）6×28＝112．16．（3分）如圖1，將一條對邊互相平行的圍巾折疊，并將其抽象成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型如圖2，AB∥CD，折痕分別為AD，CB，若∠DAB＝2∠GCB，DF∥CG，則∠ADF＝60°．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠GCB＝∠4，∠7＝∠ADF，根據(jù)已知條件得出∠3＝∠2＝α，進(jìn)而得出∠FDC＝∠FDA＝∠7＝α．【解答】解：如圖所示，根據(jù)折疊可得∠GCB＝∠4，∠7＝∠ADF，設(shè)∠7＝∠ADF＝α，∵AB∥CD，∴∠1＝∠4+∠GCB＝2∠GCB，∠3＝∠7＝α，∠6＝∠FDC，∴∠3＝∠ADF＝α，∵AE∥DF，CG∥BH，DF∥CG，∴CG∥AE，∠2＝∠5，∴∠1＝∠2＝2∠GCB，∵∠DAB＝2∠GCB，∴∠3＝∠2＝α，∴∠FDC＝∠5＝∠2＝α，即∠FDC＝∠FDA＝∠7＝α，又∵∠7+∠ADF+∠FDC＝180°，即3α＝180°，解得：α＝60°，∴∠ADF＝60°．故答案為：60°．三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（8分）簡便運算：（1）（﹣0.125）2024×82025；（2）20242﹣2023×2025．【分析】（1）利用積的乘方法則將原式變形后計算即可；（2）利用平方差公式變形后計算即可．【解答】解：（1）原式＝（﹣0.125×8）2024×8＝（﹣1）2024×8＝8；（2）原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）＝20242﹣20242+1＝1．18．（8分）先化簡，再求值：[(2x?y)2?4(x?y)(x+y)]÷(?12【分析】應(yīng)用完全平方公式和平方差公式，將中括號中的式子展開，合并同類項后，在根據(jù)多項式除單項式進(jìn)行化簡，將4x＝5y代入，即可求值．【解答】解：[=(4x=(?4xy+5y＝8x﹣10y，當(dāng)4x＝5y時，原式＝2×4x﹣10y＝2×5y﹣10y＝0．19．（8分）冪的運算逆向思維可以得到am+n＝am?an；am﹣n＝am÷an；amn＝（am）n等，在解題過程中，根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，逆向運用冪的運算法則，?？梢曰睘楹?，化難為易，使問題巧妙獲解．（1）若3m×9m×27m＝312，求m的值．（2）比較大?。喝鬭＝255，b＝344，c＝533，則a，b，c的大小關(guān)系是什么？【分析】（1）利用冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法的逆運算求解；（2）將a、b、c化簡為相同的指數(shù)進(jìn)行比較大小．【解答】解：（1）∵3m×9m×27m＝312，∴3m×（32）m×（33）m＝312，∴3m×32m×33m＝312，∴m+2m+3m＝12，∴6m＝12，解得：m＝2；（2）∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511，∵32＜81＜125，∴3211＜8111＜12511，∴a＜b＜c．20．（8分）如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分別為D、F，∠2+∠3＝180°，試說明：∠GDC＝∠B．請補充說明過程，并在括號內(nèi)填上相應(yīng)的理由．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定義），∴EF∥AD（同位角相等兩直線平行），∴∠1+∠2＝180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補）．又∵∠2+∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠3（同角的補角相等），∴AB∥DG（內(nèi)錯角相等兩直線平行），∴∠GDC＝∠B（兩直線平行同位角相等）．【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，垂直的定義，同角的補角相等知識一一判斷即可．【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定義），∴EF∥AD（同位角相等兩直線平行），∴∠1+∠2＝180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補），又∵∠2+∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠3（同角的補角相等），∴AB∥DG（內(nèi)錯角相等兩直線平行），∴∠GDC＝∠B（兩直線平行同位角相等）．故答案為：垂直的定義，同位角相等兩直線平行，∠1，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，同角的補角相等，DG，內(nèi)錯角相等兩直線平行，兩直線平行同位角相等．21．（8分）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠AOC，OF平分∠AOD．（1）OE、OF有什么位置關(guān)系，請說明理由；（2）若∠AOC：∠AOF＝2：3，求∠BOE的度數(shù)．【分析】（1）由角平分線的定義得到∠AOE=12∠AOC，∠AOF=（2）先證明∠AOF＝3∠AOE，再由（1）得到3∠AOE+∠AOE＝90°，據(jù)此求出∠AOE＝22.5°，再利用平角的定義求解即可．【解答】解：（1）OE⊥OF，理由如下：∵OE平分∠AOC，OF平分∠AOD，∴∠AOE=1∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠EOF=∠AOE+∠AOF=1∴OE⊥OF；（2）由（1）得∠AOE+∠AOF＝90°，∵∠AOC：∠AOF＝2：3，∴2∠AOE：∠AOF＝2：3，∴∠AOE：∠AOF＝1：3，即∠AOF＝3∠AOE，∴3∠AOE+∠AOE＝90°，∴∠AOE＝22.5°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝22.5°＝157.5°．22．（10分）問題情景：如圖1，AB∥CD．（1）觀察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．則∠P的度數(shù)為90°．（2）探究問題：在圖1中探究，∠EPF、∠CFP與∠AEP之間有怎樣的等量關(guān)系？并說明理由．（3）拓展延伸：若將圖1變?yōu)閳D2，題設(shè)的條件不變，此時∠EPF、∠PFD與∠AEP之間有怎樣的等量關(guān)系？并說明理由．【分析】（1）過點P作PQ∥AB，則PQ∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°，則∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°；（2）同（1）求解即可；（3）過點P作PQ∥AB，則PQ∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°，再證明∠QPF＝∠EPF+∠AEP，即可得到∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°．【解答】解：（1）如圖所示，過點P作PQ∥AB，∵AB∥CD，PQ∥AB，∴PQ∥AB∥CD，∴∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°，∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°，故答案為：90°；（2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下：如圖所示，過點P作PQ∥AB，∵AB∥CD，PQ∥AB，∴PQ∥AB∥CD，∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP，∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝∠AEP+∠CFP；（3）解：∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由如下：如圖所示，過點P作PQ∥AB，∵AB∥CD，PQ∥AB，∴PQ∥AB∥CD，∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°，∵∠QPF＝∠EPF+∠QPE，∴∠QPF＝∠EPF+∠AEP，∴∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°．23．（10分）【知識生成】通常情況下，通過用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．如圖1，在邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形（a＞b）．把余下的部分沿虛線剪開拼成一個長方形（如圖2）．圖1中陰影部分面積可表示為：a2﹣b2，圖2中陰影部分面積可表示為（a+b）（a﹣b），因為兩個圖中的陰影部分面積是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【拓展探究】圖3是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個小長方形，然后按圖4的形狀拼成一個正方形．（1）用兩種不同方法表示圖4中陰影部分面積：方法1：（a+b）2﹣4ab，方法2：（a﹣b）2；（2）由（1）可得到一個關(guān)于（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量關(guān)系式是（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（3）若a﹣b＝5，ab＝2，則（a+b）2＝33；【知識遷移】（4）如圖5，正方形ABCD和正方形EFGH邊長分別為a，b（a＞b），若a+b＝6，ab＝6，E是AB的中點，則圖中的陰影部分面積的和是3．【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積減去4個小長方形的面積，陰影部分面積面積等于邊長為（a﹣b）的小正方形的面積；（2）根據(jù)兩種方法得到的面積相等列出等式；（3）根據(jù)完全平方公式變形求值即可求解．（4）根據(jù)陰影部分面積等于12【解答】解：（1）方法1：（a+b）2﹣4ab，方法2：（a﹣b）2，故答案為：（a+b）2﹣4ab，（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，、故答案為：）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（3）∵a﹣b＝5，ab＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝25+8＝33，故答案為：33．（4）陰影部分面積等于1=1=?ab=1∵a+b＝6，ab＝6，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×6＝12，∴陰影部分面積等于14故答案為：3．24．（12分）如圖（a）所示，將一把含30°角的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺DEFG的EF邊上．（1）填空：∠1＝120°，∠2＝90°．（2）如圖（b）所示，現(xiàn)把三角板繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)n°，當(dāng)0°＜n＜90°，且點C恰好落在DG邊上時，①∠