2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義第07講一元二次方程

第07講一元二次方程

目錄

題型12應(yīng)用根的判別式證明方程根的

一、考情分析情況

二、知識(shí)建構(gòu)題型13應(yīng)用根的判別式求代數(shù)式的取

值范圍

考點(diǎn)—元二次方程的相關(guān)概念

題型14與根的判別式有關(guān)的新定義問(wèn)

題型01識(shí)別一元二次方程

題

題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)

考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

的值

題型01由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)

題型03一元二次方程的一般式

式的值

題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的

題型由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解

值02

通過(guò)代換求代數(shù)式的值

題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式

題型由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解

的值03

通過(guò)降次求代數(shù)式的值

題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求

題型由方程兩根滿足關(guān)系求字母或

另一個(gè)根04

代數(shù)式的值

考點(diǎn)二解一元二次方程

題型05不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判

題型01用直接開(kāi)平方法解一元二次方

斷根的正負(fù)

程

題型06由方程兩根的不等關(guān)系確定字

題型02利用配方法解一元二次方程

母系數(shù)的取值范圍

題型03利用因式分解法解一元二次方

題型與根與系數(shù)有關(guān)的新定義問(wèn)題

程07

題型08構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的

題型04利用公式法解一元二次方程

值

題型05利用換元法解一元二次方程

題型09根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式

題型06選用合適的方法解一元二次方

的綜合應(yīng)用

程

考點(diǎn)四一元二次方程的應(yīng)用

題型07錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問(wèn)題

題型01分裂（傳播）問(wèn)題

題型08配方法的應(yīng)用

題型02碰面（循環(huán)）問(wèn)題

題型09判斷不含字母的一元二次方程

題里增長(zhǎng)率問(wèn)題

的根的情況03

題型04營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題

題型10判斷含字母的一元二次方程根

題型工程問(wèn)題

的情況05

題型06行程問(wèn)題

題型II由方程根的情況確定字母的值

題型與圖形有有關(guān)的問(wèn)題

或取值范圍07

oo?

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)

一元二次方程的相本考點(diǎn)內(nèi)容以考直一元二

＞理解一元二次方程的相關(guān)概念.

關(guān)概念次方程的相關(guān)概念、解一元二次方

＞理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解

程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與

一元二次方程的解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

系數(shù)的關(guān)系1一元二次方程的應(yīng)

法＞會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否

用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和

有實(shí)根及兩個(gè)實(shí)根是否相等；

二次函數(shù)結(jié)合考察最值問(wèn)題，事

一元二次方程的根

＞了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

考查，分值為15分左右.

與系數(shù)的關(guān)系

預(yù)計(jì)2024年各地中考還將

繼續(xù)考查上述的幾個(gè)題型，復(fù)習(xí)過(guò)

程中要多注意各基礎(chǔ)考點(diǎn)的鞏固，

一元二次方程的應(yīng)＞能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)方程解的合

用理性.特別是解法中公式法的公式，不要

和后續(xù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐

標(biāo)公式記混了.

?@00

脫欠01麗一元二次6行

ttt：只含有一個(gè)未如跟尸月天均販的aw次JBUS2的整五方程，嘰博一元二;欠方程.J

Kan?由-一次方MMMS*?分的g

Y-^次方程的相關(guān)概念）式T1“?標(biāo)?”0（。*8）反如3f二^程的f式

?2504由一元二次方程的口或31的值

T6Z次方程的解：侵家把05由一元二次萬(wàn)儂源末代IW血I

圖》062X元二次力做―制求另f假

曷本思J8482?降次-,杼一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程,分別解兩個(gè)~爭(zhēng)一次方程，ffl

到的兩個(gè)噴濕原方理的班

宜城開(kāi)平方法ax匕b(“0〉Kx、=&X廣乖

當(dāng)b<0W.力程無(wú)麻

配萬(wàn)次<W）?"

J-------------------Y當(dāng)睡期I*=亍公

X法--------V膾史01朋直財(cái)平方法”方嗖

85叟02網(wǎng)用配加對(duì)1一元二切陽(yáng)

因五分解法（axfb）（cx4d）=0.V.=-^,X,=-781里03利用因式分修去程f二大方程

ia?cM21O4珂用公式法統(tǒng)一元二次方程

強(qiáng)也03利秘?zé)o法網(wǎng)一元二次萬(wàn)際

一元二次方程的解法公五法SffiffS-TuZiX^Kx=注三（A：-4,〃？0）KSJ06沿用合適的方法次方繪

IE中07疆■flWWFtZ^：方桐向U

收史08配方湖曲網(wǎng)

1>當(dāng)，?3b為忸效.c-8L首透g法

,8A廝不含字0的一元二次方坦的根的情況

2）%b?OW,百詵直接開(kāi)平方法KfiW對(duì)斷含手瞰f次萬(wàn)笈神然I況

BHUH由方程眼的?況榆定字或取密E圍

★一元二次方,法選理3）當(dāng)c=（W.可選國(guó)匕泗知國(guó)方法K?i2應(yīng)用相盼［期MiEMR舊的情發(fā)

標(biāo)即我論刊切式柒代效期克值布圖

4）?a-1,b*0,c*W.可法期方法啦弒分髀法KV13

（聲少:方程）建史14與根的丹利式有關(guān)的獻(xiàn)義何就

5）當(dāng)awLb*0,c*?j,可選公式法砌式分解法

△=0：-4<K?_前提：“B0IS；4KN0

俯的，吸A>0右兩個(gè)不相梆娛w

★根的情況與利《反的關(guān)系A(chǔ)二0石兩個(gè)相等￥1支根

4A<0^398

?K無(wú)二次方IV“xyT（”。）的兩個(gè)根xl?x2.Wkl7:?：?xlx2=j

總堂01由嗖與廉致的關(guān)浜直接聚為fE￡90

/-----------------------------------、0一元二次方用.2=0CO）的*個(gè).卬i,KV02由男與東敷的關(guān)系IQ力同的解通過(guò)弋換求心式的ffl

—fir一元二欠方程根與系H的關(guān)系j1：年方相44*i?（，1

K$03由唄與徐欣的汨默5程的解激?次次代敬式的付

K21O4由方程得橘《足關(guān)系求學(xué)也現(xiàn)代取式的通

a欣?和K-沿巴

BKUOb不?萬(wàn)》t!D冊(cè)弓小15的K今利事?lián)a8

3：IJ（S|尸?J（S|?町--3山BM106由方程哪的不等關(guān)系■定字母炭翊我值遮

黑膽07與稼與裁戮有大的舞荷義向也

晚生08梅京代敗式的值

，）口?!!?-3'"，"

*?*1*1***|*?隨09根與親U的關(guān)系2根的判加溝臺(tái)應(yīng)用

S（M|f1X>>?1）-?*!>?>

用一元二次方IM聯(lián)實(shí)際同■的步?：審.設(shè)、M.照.齡.答

題里。1分裂《傳？》）磁

變化率何抬

一元二次方程的應(yīng)用隧葭由《■環(huán)）向H

期討西河率問(wèn)胭刪。3於長(zhǎng)率問(wèn)建

??04叫西

與TtZ?ZT鍥有關(guān)應(yīng)用版的盒見(jiàn)類(lèi)型面由I蛔5工翔礴

即06行|￥咖

分裂（傳播）間就

BW有"雜

ffiOfnlK（耀隊(duì)）問(wèn)氏

考點(diǎn)-----元二次方程的相關(guān)概念

、夯基:必備基購(gòu)識(shí)樵理_________

概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程.

一元二次方程一般形式：CLX2+bx+c=0（a工0）,

的相關(guān)概念其中：。是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是這個(gè)一元二次方程的解.

囪目易錯(cuò)

1.如果明確了a/+以+c=。是一元二次方程，就隱含了aWO這個(gè)條件（當(dāng)爐0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，

即不是一元二次方程）.

2.一元二次方程必須具備三個(gè)條件：

①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

3.在判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程時(shí),要先化成一般形式，再判斷.

4.二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是在一般形式下定義的.所以在確定一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)

Dr+rt7生物士彳

題型01識(shí)別一元二次方程

【例1】（2023?江西撫州?金溪一中校考模擬預(yù)測(cè)）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2—1=0B.2x+y=1C.x+[=3D.4x4-5=6x

【辭】A

【提示】根據(jù)一元二次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫

一元二次方程，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.是一元二次方程，故該選項(xiàng)符合題意；

B.含有兩個(gè)未知數(shù)，故不是一元二次方程，該選項(xiàng)不符合題意；

C.不是整式方程,故不是一元二次方程，該選項(xiàng)不符合題意；

D.未知數(shù)的最高次數(shù)是1,故是一元一次方程，該選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的定義，解題時(shí)要注意：①是整式方程，②只含有一個(gè)未知數(shù)，③所含

未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2.

【變式1-1]（2023?四川成都?一模）下列方程是一元二次方程的是（）

A.x2+x—y=0B.ax2+2x-3=0

C.J2+2x+5=x（x-1）D.x2-1=0

【統(tǒng)】D

【提示】根據(jù)一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做石

二次方程，逐項(xiàng)提示判斷即可.

【詳解】解：A.x2+x-y=0,二個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

B.ax2+2%-3=0,當(dāng)a=0時(shí)，是一元一次方程,故該選項(xiàng)不符合題意；

C.x2+2%+5=%(%-1)整理后得3x+5=0,不含二次項(xiàng)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

D.x2-1=0,是一元二次方程，故該選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方

程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵.

題型02由一元二次方程的概念求參數(shù)的值

[例2](2023南陽(yáng)市一模)關(guān)于K的方程(m+1)%網(wǎng)+】-m%+6=0是一元二次方程，則，〃的值是()

A.-1B.3C.1D.I或一1

【馥】C

【提示】根據(jù)一元二次方程的定義，即可求解.

【詳解】解：..關(guān)于K的方程(m+1)“向+1-mx+6=0是一元二次方程，

.,.|m+1=2且m+1^0,

解得：m=1.

故選C.

【點(diǎn)撥】本題主要考直了一元二次方程的定義，熟練掌握含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2

式方程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2022上?遼寧沈陽(yáng)?九年級(jí)期中)方程(m-2)xm2-2+(5+m)x+3=0是關(guān)于無(wú)的一元二次方

程，則m=.

【辱】-2

【提示】根據(jù)一元二次方程的定義知，77?_2=2,且m-2工0,據(jù)此可以求得m的值.

【詳解】解：?方程(m-2)xm2-2+(5+m)x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，

2

Am—2=2,且m—2H0,

解得m=-2;

故答案是：-2.

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的定義.一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

(2)二次項(xiàng)系數(shù)不為0；(3)是整式方程；(4)含有一個(gè)未知數(shù)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

題型03一元二次方程的一般式

［例3］(2022上河南鄭州?九年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)校考期中)將一元二次方程3/=5工-1寫(xiě)成一般形式，

下列等式正確的是()

A.3x2—5x-1=0B.3x2+5x-1=0

C.3.r2—5r+1=0D.3x2+5.r+1=0

【箭】C

【提示】把等號(hào)右邊的式子移到等號(hào)左邊即可解題.

【郵】解：3%2=5%-1

移項(xiàng)得：

故選C.

【點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程的T殳形式，解題的關(guān)鍵是掌握移項(xiàng)變號(hào)的基本步驟.

【變式3-1X2023?廣東東莞?東莞市東華初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)［各方程4/+8x=25化成Q/+以+c=0

的形式，則a,b,c的值分別為()

A.4,8,25B.4,2,-25C.4,8,-25D.I,2,25

普】C

【提示】將4/+8x=25移項(xiàng)化為一元二次方程的一般式即可求解.

【詳解】解：將原方程化為一般形式得：4/+8%-25=0,

.,.a=4,h=8,c=-25,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考杳一元二次方程的定義，熟記一元二次方程一般式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式3-2].（2021上?山西晉中九年級(jí)階段練習(xí)）若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1,常數(shù)項(xiàng)為0,它的一

個(gè)根為2,則該方程為.

【答案】x2-2x=0/-2<+^=0

【提示】直接利用已知要求得出符合題意的方程.

【詳解】解：由題意可得，該方程的一般形式為：.r-2r=0.

故答案為：f-2r=0.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

【變式3?312023集賢縣.九年級(jí)期中已知關(guān)于x的一元二次方程（a-l）x2+x+a2-1=0的常數(shù)項(xiàng)是0,

則a的值為（）

A.1B.-1C.1或-1D.1

【分】B

【提示】根據(jù)一元二次方程的定義和題意列出〃滿足的條件求解即可.

【詳解】解：由題意，卜2一：：5,

解得：a=-1,

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考有一元二次方程的定義和解法，掌握一元二次方程的定義與基本解法是解題關(guān)鍵.

題型04由一元二次方程的解求參數(shù)的值

【例4】（2022?廣東?中考真題）若x=1是方程/-2x+a=（）的根，則a=.

【辱】1

【提示】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義，把尸1代入方程得到〃的值.

【洋解】把1代入方程/-2x+a-0,得l-2+^-O,

解得片1,

故答案為：1.

【點(diǎn)撥】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，一元二次方程的根就是一元二次方程的解,

就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

【變式4-1］（2021.湖南長(zhǎng)沙.中考真題）若關(guān)于%的方程--依-12=。的一個(gè)根為3,則k的值為一

【辱】-1

【提示】將工=3代入方程可得一個(gè)關(guān)于左的一元一次方程，解方程即可得.

【詳解】解：由題意，將x=3代入方程/-k4-12=0得：3?-3k-12=0,

解彳歌=-1,

故答案為：-1.

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟練掌握一元二次方程根的定義是解題關(guān)鍵.

方法技

利用方程根的概念將方程的根代入原方程再解方程就可以求出參數(shù)的值，同時(shí)還要注意限制參數(shù)取

酒的亙他哈今爾住

題型05由一元二次方程的解求代數(shù)式的值

［例5］（2023?甘肅隴南?一模）關(guān)于%的一元二次方程2%。-2+巾=4的解為x=1,則a+m的值為（）

A.9B.8C.6D.4

【修】C

【提示】根據(jù)一元二次方程的概念可求出a的值，根據(jù)解為％=1可求出m的值，由此即可求解.

【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程2--2+巾=4,

.-a-2=2,解得，a=4,

.?一元二次方程2/4-771=4,

,?解為X=1,

.'.2xI2+m=4,解得，m=2,

.'.a+m=4+2=6,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次方程，理解一元二次方程的概念，一元二次方程的解的概念，代數(shù)式求值

的方法是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1]（2023.北京海淀??？寄M預(yù)測(cè)）如果x=-1是方程/+?nx+n=0的一個(gè)根，那么〃?、〃的大

小關(guān)系是（）

A.m>nB.m=nC.m<nD.不確定的

【統(tǒng)】A

【分析】把方程的解代入方程，得到，〃，〃的關(guān)系式，判斷〃的大小.

【詳解】解：把％=—1代入方程有：1一機(jī)十九=0

.'.m-n=1>0

：.m>n.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到，〃的關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2X2023渭南市月考期關(guān)于x的方程Q/+bx-l=0的一個(gè)解為％=1則2023-a-b=

【答案】2022

【分析】先把方程的解代入方程，得到a+b=l,再求代數(shù)式的值.

【詳解】解：把x=1代入方程a/+以-1=o得。-1=0,

即a+b=1,

所虛023-a-b=2023-（a+fo）=2023-1=2022.

故答案為：2022.

【點(diǎn)撥】本題考有了一元二次方程的解和求代數(shù)式的值，“知解必代”是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3]（2023?廣東佛山??？家荒＃┮阎猘是方程27-5%-7=。的一個(gè)根，則代數(shù)式4a2T0Q的值

是—?

【統(tǒng)】14

【分析】根據(jù)方程的根的定義，把x=a代入方程求出2a2-5Q-7=。即可解答；

【詳解】解：??算是方程2/-5*-7=0的一個(gè)根，

.,.2a2-5a-7=0,

整理得，2Q2-5a=7,

/.4a2-10a=2(2a2-5a)=14,

故答案是：14.

【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程的解的概念，已知式子的值求代數(shù)式的值，理解一元二次方程的解的概

念是解題的關(guān)鍵.

題型06已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根

［例6］（2022?廣西貴港中考真題）若％=-2是一元二次方程嚴(yán)+2x+m=0的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)

根及，〃的值分別是（）

A.0,-2B.0,0C.-2,-2D.-2,0

【翳】B

【提示】直接把％=-2代入方程，可求出機(jī)的值，再解方程，即可求出另一個(gè)根.

【詳解】解：根據(jù)題意，

-X=一2是一元二次方程避+2r+=0的一個(gè)根,

把％=一2代入/+2x+m=0,貝！J

（-2）2+2x（-2）+m=0,

解得：m=0；

.,.x2+2x=0,

+2）=0,

；.Xi=-2,x=0,

方程的另一個(gè)根是x=0；

故選：B

【點(diǎn)撥】本題考直了解一元二次方程，方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的步驟進(jìn)行計(jì)算.

【變式6-1］（2023寧德市一模）關(guān)于.1的一元二次方程“2-2依-5=0的一個(gè)根是I,則這個(gè)方程的另一

個(gè)根是—.

【分】-5

【提示】根據(jù)方程的一個(gè)根1代入方程求出A得到一元二次方程，解方程即可求解.

【詳解】解：..?關(guān)于x的一元二次方程--2依-5=0的一個(gè)根是1,

.-.I-2k-5=0,

'-k=-2,

：.x2+4x-5=0,

解得Xi=1,皿=-5,

???方程的另一個(gè)根是-5.

故答案為：-5.

【點(diǎn)撥】本題主要考直了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答關(guān)鍵.

【變式6-2](2023遵義市第十一中三模)若關(guān)于%的一元二次方程/-依-2=0的一個(gè)根為x=1,則這

個(gè)一元二次方程的另一個(gè)根為.

【會(huì)】-2

【提示】由題目已知尸1是方程的根，代入方程后求出&的值，再利用一元二欠方程的求根方法即可答題.

【詳解】解：將X=1代入一元二次方程/-kx-2=0有：1-k-2=0,右-1,

方程M+x-2=0

(x+2)(x-1)=0

即方程的另一個(gè)根為戶-2

故本題的答案為-2.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系數(shù)以及利用因式分解法解一元二次方程，其

中利用已知根代入方程求出未知系數(shù)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)二解一元二次方程

，夯基1必備基砒曬蝌_________

基本思路通過(guò)''降次"，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，分別解兩個(gè)一元一次方程,得

到的兩個(gè)解就是原方程的解.

特征步驟

直接形如aj?=b1）方程兩邊同時(shí)除以〃，得

a

（wo）的一元2）兩邊分別開(kāi)方得xl=島,x2=-JI

開(kāi)平

二次方程

方法

1）移項(xiàng)：使方程左邊為二次項(xiàng)與一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；

解2）二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)：

可配成3）配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一般的平方，把方程化為

（mx+a）12=3b

元配月（nix+a^=b（b>0）的形式：

形式的

解法4）求解：判斷右邊等式符號(hào)，天平方并求解.

次一元二次方程

法

【注意】：①當(dāng)b<0時(shí)，方程無(wú)解

方

程②當(dāng)厄0時(shí)，方程的根是廣上四

m

的

方可化成I）將方程右邊的各項(xiàng)移到方程左邊，使方程右邊為0;

法因式

(av+0)(cx+d)=O2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式相乘的形式；

分解形式的

3）3母|因武刀刀!J為令/彳可土11網(wǎng)1Jb/人萬(wàn)本土/

法一元二次方程

4）求解.

口訣：右化零，左分