《線性代數(shù)》 課件 黃先開 第6章 二次型

《線性代數(shù)》課件第六章二次型

§6.1

二次型的概念

§6.2

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及規(guī)范形

§6.3

正定二次型§6.1

二次型的概念一、二次型及其矩陣

二元齊次多項(xiàng)式（6.1）稱為二元二次型，簡(jiǎn)稱二次型.令

，(6.1)還可以寫成若記，，則二次型

．顯然對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)稱矩陣

.定義1

含有

個(gè)變量

的二次齊次多項(xiàng)式稱為

元二次型,簡(jiǎn)稱二次型.為實(shí)數(shù)的二次型稱為實(shí)二次型,我們僅討論實(shí)二次型.(6.2)如：令，故，于是(6.2)式可寫成是三元二次型,

是四元二次型.

（6.3）記則元二次型也可記作（6.4）

是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣.

任給一個(gè)二次型,就唯一地確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之,任給一個(gè)對(duì)稱矩陣,也可唯一地確定一個(gè)二次型,這樣,二次型與對(duì)稱矩陣之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.因此,我們把對(duì)稱矩陣A叫做二次型

f的矩陣,也把

f叫做對(duì)稱矩陣A的二次型.對(duì)稱矩陣A的秩就叫做二次型

f

的秩.

例1

寫出二次型的矩陣表達(dá)式,并求二次型的秩.

解

二次型

的矩陣

的主對(duì)角線上元素應(yīng)是二次型中完全平方項(xiàng)

的系數(shù),非對(duì)角線上的元素

恰為二次型中交叉項(xiàng)

系數(shù)的一半.

因此,二次型

的矩陣表達(dá)式為對(duì)矩陣

施行初等行變換,有故矩陣

的秩為3,從而二次型

的秩為3.

也可以利用

,得到

的秩為3.

例2

已知對(duì)稱矩陣

,試寫出矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型.

解

對(duì)稱矩陣

所對(duì)應(yīng)的二次型是二、矩陣的合同

定義2

設(shè)

個(gè)變量

與個(gè)變量

有關(guān)系式則稱上式為由變量

到變量

的一個(gè)線性變換,其中

為常數(shù).顯然線性變換(6.5)的系數(shù)

構(gòu)成矩陣

.

（6.5）令則(6.5)式可以寫成矩陣的形式給定了線性變換(6.5),它的系數(shù)所構(gòu)成的矩陣(稱為系數(shù)矩陣)也就確定.反之,若給出一個(gè)矩陣作為線性變換的系數(shù)矩陣,則線性變換也就確定了.可見,線性變換和矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.根據(jù)系數(shù)矩陣

的特點(diǎn),可得到幾種特殊的線性變換：（2）當(dāng)

為可逆矩陣時(shí),將

稱為可逆線性變換或非退化線性變換,簡(jiǎn)稱可逆變換或非退化變換.稱

為它的逆變換；（3）當(dāng)

為正交矩陣時(shí),將

稱為正交線性變換,簡(jiǎn)稱正交變換.（1）當(dāng)

為單位矩陣時(shí),將

稱為恒等變換；若對(duì)二次型

進(jìn)行可逆變換

,則有其中.

顯然,若

為對(duì)稱矩陣,則

也為對(duì)稱矩陣,且

.事實(shí)上即為對(duì)稱矩陣.

又因,而

可逆,從而

也可逆,由矩陣秩的性質(zhì)可知

.因此，有定理1

二次型

經(jīng)可逆變換

得到以

為矩陣的二次型

,并且兩個(gè)二次型的秩相等.

定義3設(shè)和都是階矩陣,若存在

階可逆矩陣，使,則稱矩陣

合同于

,記為

矩陣間的合同關(guān)系具有下列性質(zhì):（1）反身性：

（2）對(duì)稱性：若則

（3）傳遞性：若

則

因此,二次型

經(jīng)過可逆的線性變換

后,新二次型

的矩陣

與原二次型

的矩陣

是合同的.

§6.2

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及規(guī)范形在解析幾何中,為了便于研究二次曲線（6.6）的幾何性質(zhì),可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)變換消去交叉項(xiàng),把方程(6.6)化為不含交叉項(xiàng)

的標(biāo)準(zhǔn)方程（6.7）(6.6)式的左邊是一個(gè)二元二次型,(6.7)式的左邊只含有平方項(xiàng).二次型中最簡(jiǎn)單的一種是只包含平方項(xiàng)的二次型，即二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)于二次型,我們討論的主要問題是:尋求可逆的線性變換使二次型化為只含平方項(xiàng)的二次型

.

定義1只含平方項(xiàng)的二次型

稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.

要使二次型

經(jīng)可逆變換

變成標(biāo)準(zhǔn)形,即有也就是要使

成為對(duì)角矩陣.

問題就對(duì)應(yīng)為：對(duì)于對(duì)稱矩陣

,尋求可逆矩陣

,使

為對(duì)角矩陣.這個(gè)問題稱為把對(duì)稱矩陣

合同對(duì)角化.

1.用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形,由§5.4節(jié)定理6知,任給實(shí)對(duì)稱矩陣

,總有正交矩陣

使得

.把此結(jié)論應(yīng)用于二次型,得定理1

任給二次型

,

存在正交變換

,使

化為標(biāo)準(zhǔn)形其中

是

的矩陣

的特征值.

例1已知二次型解

二次型的矩陣為

.用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出相應(yīng)的正交變換.

由特征方程解得特征值，，

.對(duì)

,由齊次方程組

，得解得基礎(chǔ)解系

,即為

對(duì)應(yīng)于

的特征向量.

對(duì)

,由齊次方程組

，得解得基礎(chǔ)解系

,即為

對(duì)應(yīng)于

的特征向量.

對(duì)

,由齊次方程組

，得解得基礎(chǔ)解系

,即為

對(duì)應(yīng)于

的特征向量.

由于

分別對(duì)應(yīng)不同的特征值,故

兩兩正交.

將

單位化得，，.為此求得正交矩陣,使得于是有正交變換因此，二次型

的標(biāo)準(zhǔn)形為例2

求一正交變換

,化二次型

為標(biāo)準(zhǔn)形.

解二次型的矩陣為由特征方程得的特征值為

，

.

對(duì)

,由齊次方程組

，得基礎(chǔ)解系顯然

與,都正交,但

與

不正交.由施密特正交化方法,令對(duì)

,由齊次方程組

，得基礎(chǔ)解系,將，，單位化得

,,.于是正交線性變換為原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為2.用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形除正交變換法外，還有多種方法(對(duì)應(yīng)有多個(gè)可逆的線性變換)把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形,如配方法,初等變換法.這里只介紹配方法.

(1)二次型中含平方項(xiàng)例3

化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形.解令即就把

化成標(biāo)準(zhǔn)形

,所用變換矩陣為例4

化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形.(2)二次型中不含平方項(xiàng)解

在

中不含平方項(xiàng),令其矩陣代入可得令即其矩陣則化為標(biāo)準(zhǔn)形所用變換矩陣為一般地,任何二次型都可用此方法找到可逆變換,把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形.

二、二次型的規(guī)范形

定義2

如果二次型

經(jīng)過可逆的線性變換化為則稱上式為二次型的規(guī)范形.

用不同的可逆變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形一般不唯一.但標(biāo)準(zhǔn)形中所含平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩.并且標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)和負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)都不變.

定理2（慣性定理）任意二次型

都可以經(jīng)過可逆的線性變換化為規(guī)范形，且規(guī)范形是唯一的.定義3

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)

稱為二次型的正慣性指數(shù),負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)

稱為二次型的負(fù)慣性指數(shù),它們的差

稱為二次型的符號(hào)差.

如

的正慣性指數(shù)

,負(fù)慣性指數(shù)

,符號(hào)差為1,秩為3.

例5

已知二次型解由§6.2節(jié)例1知

.令用正交變換法化二次型為規(guī)范形,并寫出相應(yīng)的線性變換.

即得

的規(guī)范形相應(yīng)的線性變換為由慣性定理可得實(shí)對(duì)稱矩陣合同的判別法.

推論2

設(shè)，均為

階實(shí)對(duì)稱矩陣,則，合同的充分必要條件是，有相同的正、負(fù)慣性指數(shù).

例6

已知矩陣

，，，.判斷矩陣

是否與矩陣,,合同？解,的正慣性指數(shù)為2.而

,,所以矩陣

與矩陣

不合同.矩陣

的三個(gè)特征值為

,,所以

的正慣性指數(shù)為3.據(jù)此矩陣

與矩陣

也不合同.矩陣

的三個(gè)特征值為,,所以

的正慣性指數(shù)為2,因此矩陣

與矩陣

合同.§6.3正定二次型一、正定二次型的概念定義1

設(shè)有二次型

,若對(duì)任何

,都有

(顯然

),則稱

為正定二次型,并稱對(duì)稱矩陣

是正定矩陣.

例如，二次型

是正定二次型.

事實(shí)上,對(duì)于任意的

,都有而二次型

不是正定二次型.

事實(shí)上,對(duì)于任意的

,都有

.例如，二次型

是正定二次型.

二、正定二次型的判定

二次型經(jīng)過可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形或規(guī)范形不改變?cè)瓉矶涡偷恼ㄐ?

定理1元二次型

為正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于(即它的標(biāo)準(zhǔn)形的

個(gè)平方項(xiàng)的系數(shù)全為正,它的規(guī)范形的

個(gè)平方項(xiàng)的系數(shù)全為).證設(shè)可逆變換

使先證充分性.設(shè)

.任給

,則,故再證必要性.用反證法.假設(shè)存在某個(gè),則當(dāng)

時(shí),

顯然,這與

為正定相矛盾.這就證明了

.

推論

對(duì)稱矩陣

為正定的充分必要條件是

的特征值全大于零.

正定二次型

的規(guī)范形是

,而

的矩陣是單位矩陣

,從而有下面結(jié)論：定理2

階對(duì)稱矩陣

為正定的充分必要條件是

與單位矩陣

合同,即因?yàn)?/p>

等價(jià)于存在可逆矩陣

使得.由此又有推論階對(duì)稱矩陣

為正定的充分必要條件是存在可逆矩陣

使得

.又

,故正定矩陣的行列式大于零.

定義2

設(shè)矩陣

，的子式

稱為

的

階順序主子式.定理3

實(shí)對(duì)稱矩陣

為正定的充分必要條件是的各階順序主子式都大于零,即例1

判定二次型

的正定性.

解法一

的矩陣為根據(jù)定理3