滬科版七年級數(shù)學(xué)上冊特訓(xùn) 68 期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之直線與角十六大（原卷版+解析版）

專題6.8直線與角十六大考點(diǎn)

【滬科版】

【考點(diǎn)1直線、射線、線段的條數(shù)】..............................................................1

【考點(diǎn)2雙中點(diǎn)求線段問題】....................................................................2

【考點(diǎn)3線段的等分點(diǎn)問題】....................................................................2

【考點(diǎn)4線段動點(diǎn)的定值計(jì)算】..................................................................4

【考點(diǎn)5線段中的參數(shù)表示（比例關(guān)系）問題】......................................................5

【考點(diǎn)6剪繩子（端點(diǎn)重合）問題】................................................................6

【考點(diǎn)7動點(diǎn)中線段和差問題】..................................................................8

【考點(diǎn)8線段的長短比較】......................................................................9

【考點(diǎn)9時針和分針重合次數(shù)與時間】..........................................................10

【考點(diǎn)10兩定角、雙角平分線與角度關(guān)系】......................................................11

【考點(diǎn)II線段、角的規(guī)律問題】.................................................................12

【考點(diǎn)12角度的翻折問題】.....................................................................14

【考點(diǎn)13兩塊二角板旋轉(zhuǎn)問題】.................................................................15

【考點(diǎn)14三條線旋轉(zhuǎn)與角度的關(guān)系】.............................................................17

【考點(diǎn)15余角和補(bǔ)角的性質(zhì)】...................................................................20

【考點(diǎn)16用尺規(guī)作角、線段】...................................................................22

【考點(diǎn)1直線、射線、線段的條數(shù)】

【例1】（2例2?遼寧錦州?七年級期末）如圖,C,。是線段48上的點(diǎn)，若AB=8,CD=2,

則圖中以C為端點(diǎn)的所有線段的長度之和為.

ACDR

【變式1-1］（2022?山西?右玉縣第三中學(xué)校七年級期末）閱讀并填空：

問題：在一條直線上有兒B,C,。四個點(diǎn)，那么這條直線上總共有多少條線段？

要解決這個問題，我們可以這樣考慮，以力為端點(diǎn)的線段有46,AC,AS條，同樣以8為端

點(diǎn)，以c為端點(diǎn)，以。為端點(diǎn)的線段也各有3條，這樣共有4個3,即4x3=12（條），但

和8A是同一條線段，即每一條線段重復(fù)一次，所以一共有條線段.那么，若在一條

直線上有5個點(diǎn)，則這條直線上共有條線段；若在一條直線上有幾個點(diǎn)，則這條直線

上共有條線段.

知識遷移：若在一個銳角“08內(nèi)部面2條射線0D,則這個圖形中總共有個角；

若在。06內(nèi)部畫〃條射線，則總共有個角.

學(xué)以致用：一段鐵路上共有5個火車站，若一列火車往返過程中，必須?？棵總€車站，則鐵

路局需為這段線路準(zhǔn)備種不同的車票.

【變式1-2]（2022?北京通州?七年級期末）如圖，棋盤上有黑、白兩色棋子若干，若直線I

經(jīng)過3枚顏色相同的棋子，則這樣的直線共有條.

【變式1-3]（2022?黑龍江?撫遠(yuǎn)市笫三中學(xué)七年級期木〉平面.上不重合的兩點(diǎn)確定條直

線，不同三點(diǎn)最多可確定3條直線，若平面上不同的〃個點(diǎn)最多可確定28條直線，則〃的

值是（）

A.6B.7C.8D.9

【考點(diǎn)2雙中點(diǎn)線段問題】

【例2】（2022?福建泉州七年級期末）在一條直線上依次有七、尸、GH四點(diǎn).若點(diǎn)F是線

段EG的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段EN的中點(diǎn)，則有（）

A.EF=GHB.EG>GHc.GH>2FGD.FG="N

【變式2-1]（2022?山東東營?期末）如圖，點(diǎn)C為線段八8的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段48上的點(diǎn),

點(diǎn)。為線段4E的中點(diǎn).

II

ADCEB

⑴若線段CE=b且（a-16）2+|2b-8|=0,求a,8的值；

（2）在（1）的條件下，求線段C。的長，

【變式2.2】（2022?山東濰坊?七年級期末）已知點(diǎn)C在直線48匕點(diǎn)M,N分別為AC,8c的

中點(diǎn).

AMCNB

⑴如圖所示，若C在線段A8上，AC=6厘米，MB=10厘米，求線段8C,MN的長：

⑵若點(diǎn)C在線段A8的延長線上，且滿足AC-8c=a厘米，請根據(jù)題意畫圖，并求MN的長

度（結(jié)果用含a的式子表示）.

【變式2-3]（2022?山西?右玉縣第三中學(xué)校七年級期末）一條直線上有48,C三點(diǎn)，

A8=8E,4C=18cm,點(diǎn)P,0分別是A8,AC的中點(diǎn)，則PQ二.

【考點(diǎn)3線段的等分點(diǎn)問題】

【例3】（2022?吉林白城七年級期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-10,點(diǎn)B表示

的數(shù)為2.動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q

從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動，P、Q同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動時

間為t（t>0）秒，解答下列問題.

（1）數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)和點(diǎn)Q表示的數(shù)互為相反數(shù)時，求t的值；

（3）點(diǎn)P追上點(diǎn)Q時，求t的值；

（4）若點(diǎn)B恰好是線段PQ的3等分點(diǎn)時，t的值為.

AB了

-1002

【變式3-1]（2022?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?七年級期末）如圖，點(diǎn)C在線段A4上，點(diǎn)。是線段

4C的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段8。的四等分點(diǎn).若CB=2,則線段的長為.

I____________________I______________________I_________I

ADCB

【變式3-2]（2022?湖北武漢?七年級期末）如圖，已知線段4B,延長線段至C,使CB

4

=\AB.

ai

AB

（1）清根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整.直接寫出告=；

（2）設(shè)44=9cm，點(diǎn)D從點(diǎn)4出發(fā)，點(diǎn)E從點(diǎn)4出發(fā)，分別以3cm/s,lcm/s的速度沿

直線48向左運(yùn)動.

AD

①當(dāng)點(diǎn)。在線段A8上運(yùn)動，求7F的值；

②在點(diǎn)。，￡沿直線A4向左運(yùn)動的過程中，M,N分別是線段43的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)。恰

好為線段BD的三等分點(diǎn)時，求MN的長.

【變式3-3]（2022?遼寧錦州?七年級期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長短時對下面一道問

題產(chǎn)生了探究的興趣：

如圖1,點(diǎn)C在線段上，M,N分別是AC,BC的中點(diǎn).若/W=12,AC=8,求財(cái)N的

長.

II111II111

AMCNBAMCNB

圖1圖2

⑴根據(jù)題意，小明求得MN=:

⑵小明在求解（1）的過程中，發(fā)現(xiàn)MN的長度具有一個特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件

一般化，并開始深入探究.

設(shè)C是線段48上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)4,8重合），小明提出了如下三個問題，請

你幫助小明解答.

①如圖1,M,N分別是AC,6c的中點(diǎn)，則MN=；

②如圖2,M.N分別是AC,BC的三等分點(diǎn)，即A""三4。=求MN的長；

③若M,N分別是AC,AC的〃等分點(diǎn)，即AM=）C,BN^^BC則MN=；

【考點(diǎn)4線段動點(diǎn)的定值計(jì)算】

【例4】（2022?內(nèi)蒙古赤峰?七年級期末）點(diǎn)4、B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為〃、b,且〃、b

滿足|a+ll+lb-3/=0.

-JOBToBNP

⑴如圖1,求線段AB的長；

⑵若點(diǎn)C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為X,且％是方程2x+l=：x-2的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)尸

使PA+P8=8C,若存在，求出點(diǎn)戶對應(yīng)的數(shù)，若不存在，說明理由：

⑶如圖2,點(diǎn)P在8點(diǎn)右側(cè)J,%的中點(diǎn)為M,N為P8靠近于8點(diǎn)的四等分點(diǎn)，當(dāng)戶在8

的右側(cè)運(yùn)動時，有兩個結(jié)淪：①PM—28N的值不變：②PM-.8、的值不變，其中只有一

個結(jié)論正確，請判斷正確的結(jié)論，并直接寫出該值.

【變式4-1]（2022?湖北孝感?七年級期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)片表示的數(shù)為9,點(diǎn)8表示

的數(shù)為-6,動點(diǎn)?從點(diǎn)H出發(fā)，以5個單位長度/秒的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間

為惟＞0）秒，

BOA

----------------------------------------------------A

-609

⑴數(shù)軸上點(diǎn)尸表示的數(shù)為（用含珀勺式子表示）

（2）當(dāng)t為何值時,4P=28P?

⑶若同為片F(xiàn)的中點(diǎn)，'為BF的中點(diǎn)，點(diǎn)「在運(yùn)動的過程中，線段MN的長度是否為定值？若

是，請畫出圖形，并求出該定值，若不是，請說明理由.

【變式4-2]（衢州華茂外國語學(xué)校七年級期末）【概念與發(fā)現(xiàn)】

當(dāng)點(diǎn)C在線段4B上,AC=油8時，我們稱〃為點(diǎn)c在線段AB上的“點(diǎn)值〃，記作d（為=n.

例如，點(diǎn)C是人B的中點(diǎn)時，即AC=/8,則d傍）=；；

反之,當(dāng)"仔）=：時,則有A。=%,

因此，我們可以這樣理解:昭）二%，與“AC=八片僅具有相同的含義.

【理解與應(yīng)用】

⑴如圖，點(diǎn)C在線段A8上.若AC=3,A8=4,則d侍）二：

若d償）=：,IJJIJAC-AB.

ACH

【拓展與延伸】

⑵已知線段A8=10cm,點(diǎn)P以lcm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B運(yùn)動.同時，點(diǎn)Q以3cm/s

的速度從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)4方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回.當(dāng)P,Q

其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為，（單位：s）.

①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動時，?償）+d（第的值是個定值，則

加的值等于；

②/為何值時，**）■”2二：

【變式4-3]（2022?全國?七年級專題練習(xí)）已知線段AB=〃?，CD=n,線段C。在直線AB

上運(yùn)動（A在8的左側(cè)，C在。的左側(cè)），且加，〃滿足|〃?一12|+（〃-4）2=0.

（1）ni=,n=；

（2）點(diǎn)短與點(diǎn)B重合時，線段C。以2個單位長度/秒的速度向左運(yùn)動.

①如圖1,點(diǎn)C在線段A8上，若M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段8。的中點(diǎn)，求線段MN

的長：

②P是直線4B上4點(diǎn)左惻一點(diǎn)，線段CO運(yùn)動的同時，點(diǎn)尸從點(diǎn)P出發(fā)以3個單位/秒的

向右運(yùn)動，點(diǎn)E是線段8C的中點(diǎn)，若點(diǎn)尸與點(diǎn)。相遇1秒后與點(diǎn)E相遇.試探索整個運(yùn)動

過程中，5?！晔欠駷槎ㄖ担羰?，請求出該定值；若不是，請說明理由.

~ABAMcDNB

圖1備圖

【考點(diǎn)5線段中的參數(shù)表示（比例關(guān)系）問題】

【例5】（2022?浙江舟山?七年級期末）已知點(diǎn)。在線段AB上，AC=2BC,點(diǎn)、D、E在直線

A8上，點(diǎn)。在點(diǎn)￡的左側(cè)，

ADCE_BACB

圖1備用圖

（1）若4B=18,DE=8,線段QE在線段48上移動，

①如圖1,當(dāng)E為8C中點(diǎn)時，求A。的長；

②當(dāng)點(diǎn)C是線段OE的三等分點(diǎn)時，求人力的長；

3ECICD

（2）若4B=2OE,線段DE在直線上移動，且滿足關(guān)系式一k，則或

【變式5-1】（2022?廣西河池?七年級期末）如圖，點(diǎn)用位于數(shù)軸原點(diǎn)，C點(diǎn)從M點(diǎn)出發(fā)以每

秒1個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動，。點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿?cái)?shù)軸

向左運(yùn)動.

AC_MD,BAMB

o-o

⑴若點(diǎn)力表示的數(shù)為-3,點(diǎn)B表示的數(shù)為7,當(dāng)點(diǎn)c,。運(yùn)動時間為2秒時，求線段c0￡勺長；

Q）若點(diǎn)力，8分別表示一2,6,運(yùn)動時間為Z,當(dāng)［為何值時，點(diǎn)D是線段8C的中點(diǎn).

⑶若N是數(shù)粕上的一點(diǎn)，且AN-8N=MA,求去的值.

【變式5-2］（2022?全國?七年級單元測試）已知：如圖1,M是定長線段A8上一定點(diǎn)，C、

。兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以lcm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運(yùn)動，運(yùn)動方向如箭頭所示

（C在線段AMI：,。在線段8MI.）

<——<---------,

ill??

ACMDB

圖1

I____________?_________________________i

AMB

圖2

⑴若A8=llcm,當(dāng)點(diǎn)C、。運(yùn)動了Is,求AC+M。的值.

⑵若點(diǎn)C、。運(yùn)動時，總有MQ=3AC,直接填空：AM=BM.

⑶在（2）的條件下，N是直線A8上一點(diǎn)，目AN?BN=MN,求示的值.

【變式5?3】（2022?全國?七年級專題練習(xí)）已知：如圖1,點(diǎn)M是線段A8上一定點(diǎn)，A8

=12cm,C、Q兩點(diǎn)分別從M、8出發(fā)以lc〃?/s、2c/〃/s的速度沿直線84向左運(yùn)動，運(yùn)動方

向如箭頭所示（C在線段AM上，。在線段8M上）

<——<--------

?----------------?-------??----------------?

ACMDB

（1）若AM=4cm,當(dāng)點(diǎn)C、力運(yùn)動了2s,此時AC=,DM=；（直接填空）

（2）當(dāng)點(diǎn)C、。運(yùn)動了2s,求AC+MO的值.

（3）若點(diǎn)C、。運(yùn)動時，總有MQ=24C,則（填空）

（4）在（3）的條件下，N是直線A8上一點(diǎn)，豆AN-BN=MN,求if的值.

【考點(diǎn)6剪繩子（端點(diǎn)重合）問題】

【例6】（2022?全國?七年級專題練習(xí)）把根繩子對折成一條線段3B,在線段48取一點(diǎn)?，

使=從尸處把繩子剪斷，若剪斷后的三段繩子中最長的一段為24cm,則繩子的原

長為（）

A.32anB.640nc.320n或640nD.640n或128cm

【變式6-1］（2022?全國?七年級課時練習(xí)）將一段72cm長的繩子，從一端開始每3cm作一

記號，每4cm也作一記號.然后從有記號的地方剪斷，則這段繩子共被剪成的段數(shù)為（）

A.37B.36C.35D.34

【變式6-2】（2022?湖北武漢?七年級期末）如圖，將一股標(biāo)有。?60均勻刻度的繩子鋪平

后折疊（繩子無彈性），使繩子自身的一部分重疊，然后在重疊部分某處剪斷，將繩于分為人

B,C三段若這三段的長度的比為3：2：1,則折痕對應(yīng)的刻度是.

折掖

60A

【變式6-3］（2022?全國?七年級專題練習(xí)）如圖1,將一段長為60厘米繩子AB拉直鋪平后

折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計(jì)），使繩子與自身一部分重疊.

^^B

II

II

圖1

（1）若將繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在片處.

①如圖2,若18恰好重合于點(diǎn)。處，MN=cm,

/心〃）與6-ONB

圖2

②如圖3,若點(diǎn)4落在8的左側(cè)，且A'B=20cm,求MN的長度；

&A"B'NB

圖3

③若A'8=ncm,求MN的長度.（用含n的代數(shù)式表示）

（2）如圖4,若將繩子A3沿N點(diǎn)折疊后，點(diǎn)B落在8處，在重合部分8N上沿繩子垂直方

向剪斷，將繩子分為三段，若這三段的長度由短到長的比為3：4：5,直接寫出AN所有可

能的長度.

圖4

【考點(diǎn)7動點(diǎn)中線段和差問題】

【例7】（2022?全國?七年級階段練習(xí)）已知多項(xiàng)式（a+lOh'+ZO^Tx+a是關(guān)于X的二次

多項(xiàng)式，且二次項(xiàng)系數(shù)為從數(shù)軸上兩點(diǎn)A,8對應(yīng)的數(shù)分別為a,b.

（l）t/=,h=,線段AB=：

⑵若數(shù)軸上有一點(diǎn)C,使得AC=：8C,點(diǎn)加為AB的中點(diǎn)，求MC的長；

⑶有一■動點(diǎn)G從點(diǎn)A出發(fā)，以1個單位每秒的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動，同時動點(diǎn)”從點(diǎn)8出發(fā)，

S

以Z個單位每秒的速度在數(shù)軸上作同向運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，秒“V30），點(diǎn)。為線段G8的

中點(diǎn)，點(diǎn)6為線段DN的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段GB上且GE=：G8,在G,〃的運(yùn)動過程中，求DE+DF

的值.

---------1----------------------1-------------------------------------1——>

AOB

AOB

【變式7?1】（2022?全國七年級專題練習(xí)）如圖，在直線A8上，線段48=24,動點(diǎn)。從

人出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在直線人B上運(yùn)動.”為AP的中點(diǎn)，N為8P的中點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為，秒.

--?------?---------???----------

AMPNB

??

AB

⑴若點(diǎn)P在線段4B上的運(yùn)動，當(dāng)PM=10時，PN=:

⑵若點(diǎn)尸在射線A8上的運(yùn)動，當(dāng)PM=2PMf,求點(diǎn)P的運(yùn)動時間/的值；

⑶當(dāng)點(diǎn)P在線段A/3的反向延長線上運(yùn)動時，線段A3、PM、PN有怎樣的數(shù)號關(guān)系？請寫

出你的結(jié)論，并說明你的理由.

【變式7-2]（2022?福建?廈門市松柏中學(xué)七年級期末）在數(shù)軸上，點(diǎn)°為原點(diǎn)，點(diǎn)力表示的

數(shù)為9,動點(diǎn)8,C在數(shù)軸上移動（點(diǎn)C在點(diǎn)5右側(cè)），總保持BC=，（胃大于0且小于45）,

設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為m.

????A

OBCA

⑴如圖，當(dāng)動點(diǎn)B,C在線段OA上移動時，

①若n=2,且B為0A中點(diǎn)時，則點(diǎn)8表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為；

②若AC=08,求多項(xiàng)式6m+3n-40的侑：

⑵當(dāng)線段8c在射線40上移動時，且AC-08=?A6,求m（用含n的式子表示）.

【變式7-3]（2022?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，直線I上有人，8兩點(diǎn)，八B=12cm,點(diǎn)O

是線段A8上的一點(diǎn)，04=208.

（1）則。4=cm,OB=cm；

（2）若點(diǎn)C是線段A8上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、6重合），且滿足4C=C0+C4,求CO的

長；

（3）若動點(diǎn)?從點(diǎn)A出發(fā)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)6同時出發(fā)，都向右運(yùn)動，點(diǎn)尸的速度為2cm/s.點(diǎn)

Q的速度為lcm/s,設(shè)運(yùn)動時間為，（s）（其中役0）.

①若把直線/看作以0為原點(diǎn)，向右為正方向的一條數(shù)軸，貝L（s）后，P點(diǎn)所到的點(diǎn)表示

的數(shù)為—;此時，Q點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為—.（用含，的代數(shù)式表示）

②求當(dāng)，為何值時，2OP-OQ=4（cm）.

-1-------1-----1—/

A0B

【考點(diǎn)8線段的長短比較】

【例8】（2022?陜西?延安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期末）如圖，已知在三角形ABC中，BC=a,AC=b,

AB=c,作一條線段EF,使EF的長等于a+b,并比較線段EF與線段AB的長短.（保留作圖

痕跡，不要求寫作法）

【變式8-1]（2022?全國?七年級課時練習(xí)）為比較兩條線段AB與CD的大小，小明將點(diǎn)A

與點(diǎn)C重合使兩條線段在一條直線上，點(diǎn)B在CD的延長線上，則（）

A.AB<CDB.AB>CDC.AB=CDD.以上都有可能

【變式8-2]（2022?浙江?衢州華茂外國語學(xué)校七年級期末）如圖，已知則AB與

CO之間的大小關(guān)系是（）

ABCD

A.AB>CD.B.AB=CD.C.AB<CD.D.無法確定.

【變式8-3]（2022?江蘇鹽城?七年級期末）如圖，片、8、C、。四點(diǎn)在同一直線上.

ABCD

⑴若A8-CD.

①比較線段的大小：AC8D（填“>〃、“=〃或“<〃）；

②若BC=：/K,且AC=16E,則4。的長為cm；

（2）若線段AC被點(diǎn)B、C分成了2:3:4三部分，且A8的中點(diǎn)M和CD的中點(diǎn)N之間的距離是18cra,

求”的長.

【考點(diǎn)9時針和分針重合次數(shù)與時間】

【例9】（2022?江蘇蘇州七年級期末）鐘面角是指時鐘的時針與分針?biāo)傻慕?，如果時間

從下午2點(diǎn)整到下午4點(diǎn)整，鐘面角為90。的情況有（）

A.有一種B.有二種C.有三種D.有四種

【變式+1］（2022全國?七年級單元測試）根據(jù)所學(xué)知識完成題目；

（1）一個角的余角與補(bǔ)角的和是這個角的補(bǔ)角與余角的差的兩倍，求這個角.

（2）從兩點(diǎn)三十分時開始算起，鐘表上的時針與分針經(jīng)過多久第一次重合？

【變式9-2］（2022?全國?七年級單元測試）時鐘上的分針和時針像兩個運(yùn)動員，繞著它們

的跑道晝夜不停地運(yùn)轉(zhuǎn).以下請你解答有關(guān)時鐘的問題：

⑴分針每分鐘轉(zhuǎn)了幾度？

（2）中午12時整后再經(jīng)過幾分鐘，分針與時針?biāo)傻拟g角會第一次等于121°?

⑶在⑵中所述分針與時針?biāo)傻拟g角等于121’后，再經(jīng)過幾分鐘兩針?biāo)傻拟g角會第二次

等于12V?

【變式9?3】（2022?江蘇?射陽縣實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）探究實(shí)驗(yàn)：《鐘面上的數(shù)

字》

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模毫私忡娒嫔蠒r針與分針在轉(zhuǎn)動時的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會用一元一次方程解決鐘面上的

有關(guān)數(shù)學(xué)問題，體會數(shù)學(xué)建模思想.

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：機(jī)械鐘（手表）一只

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟：

觀察與思考：

（1）時針每分鐘轉(zhuǎn)動_。，分針每分鐘轉(zhuǎn)動_。.

（2）若時間為8：30,貝！鐘面角為_。，（鐘面角是時經(jīng)與分針?biāo)傻慕牵?/p>

操作與探究：

（1）轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，使時針與分針重合在12點(diǎn)處.再次轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分

針，算一算，什么時刻時針與分針再次重合？一天24小時中，時針與分針重合多少次？（一

天中起始時刻和結(jié)束時刻時針與分針重合次數(shù)只算一次，下同）

（2）轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，使時針與分針重合在12點(diǎn)處，再次轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分

針，算一算，什么時刻鐘面角第一次為90。？一天24小時中，鐘面角為90。多少次？

拓展延伸：

一天24小時中，鐘面角為180。次，鐘面角為n。（0VnV180）次.（直接寫出結(jié)果）

【考點(diǎn)10兩定角、雙角平分線與角度關(guān)系】

【例10】（2022?陜西西安?七年級期末）已知“08和三條射線OE、0C.0F在同一個平面

內(nèi)，^OE^^LBOC.OF^-^^AOC

⑴如圖，若480C=70°."OC=50'，求cEOF的度數(shù)；

⑵如圖，若a0C=a.U0C=6,直接用Q、6表示cEOF；

⑶若上80C、"0C在同一平面內(nèi)，且M0C=a.U0C=6,0E平分角乙80C,0F平分角

“0C,直接寫出用Q、6表示"0F.

【變式10-1】（2022?廣東?正德中學(xué)七年級期末）多多對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你

和多多一起探究下面問題吧.已知/八。/100“，射線。七，分別是NAOC和N的角

平分線.

⑴如圖1,若射線OC在/A08的內(nèi)部，且NAOC=30。，求/EOF的度數(shù)；

（2）如圖2,若射線OC在NAOB的內(nèi)部繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，則NEO/的度數(shù)；

⑶若射線OC在/AO8的外部繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中/AOC,/8OC均指小于180。的角），

其余條件不變，請借助圖3探究/EOF的大小，請直接寫出NEO廠的度數(shù)（不寫探究過程）.

【變式10-2]（2022?浙江寧波?七年級期末）【定義】如圖1,0M平分—。8,則稱射線080A

關(guān)于0.V對稱.

B

BB

P

M

0AOA----4QZ-------------A

圖1圖2圖3圖4

⑴【理解題意】如圖1，射線08.CM關(guān)于0M對稱且"08=45,則“0M二度；

（2）【應(yīng)用實(shí)際】如圖2,若"08=45°?在U08內(nèi)部，OP.OP,關(guān)于。8對稱，OP.OP-

關(guān)于。4對稱，求乙Pi0P，的度數(shù)；

⑶如圖3,若"08=45。0P在"06外部，且0?〈乙40P<45。,OP.OP1關(guān)于08對稱，

OP.OP?關(guān)于。4對稱，求《POP、的度數(shù)：

⑷【拓展提升】如圖4,若乙4。8=45,OP.OPi關(guān)于"08的06邊對稱，

U0P1;4乙80Pi,求U0P.（直接寫出答案）

【變式10-3】（2022?湖北黃石?七年級期末）將一副直角三角板ABC,AEDt按如圖1放置，

其中8與E重合，LBAC=45C,LBAD-30°.

圖1圖2

⑴如圖1,點(diǎn)F在線段C/4的延長線上，求dAD的度數(shù)；

⑵將三角板AEO從圖1位置開始繞面逆時針旋轉(zhuǎn)，兒4所分別為，8M2仃。的角平分

線.

①如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)至上8?的內(nèi)部時，求乙“外的度數(shù)；

②當(dāng)我旋轉(zhuǎn)至"AC的外部時，直接寫出乙"兒\'的度數(shù).

【考點(diǎn)11線段、角的規(guī)律問題】

【例11】（2022?重慶忠縣?七年級期末）如圖中N4。3=60。，圖①中NAOQ=N。。&圖

②中/AOCi=^GOQ=NQOB,圖③中NAOCj=^C,OC2=^C20c3=NC3OB,按

此規(guī)律排列下去，前④個圖形中的/A。。之和為（）

B，B

第

/C2

星、一G

0^------------A0^--------A—A

②

A.60°B.67°C.77°D.87°

【變式11-1】（2022?黑龍江大慶?中考真題）如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點(diǎn)，4

條直線兩兩相交最多有6個交點(diǎn)，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有_____個

【變式11-2】（2022?全國?七年級）如圖，已知cMON,在，MON內(nèi)畫一條射線時，則圖中

共有3個角；在"fON內(nèi)畫兩條射線時，則圖中共有6個角；在乙M0N內(nèi)畫三條射線時，則

圖中共有10個角；.......按照此規(guī)律，在AVON內(nèi)畫20條射線時，則圖中角的個數(shù)是（）

【變式11-3］（2022?云南昆明?七年級期末）如圖所示，數(shù)軸上0,A兩點(diǎn)的距離為8,

動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到A。的中點(diǎn)A/處，第2次從A,點(diǎn)跳動

到的中點(diǎn)4處，第3次從4點(diǎn)跳動到4。的中點(diǎn)心處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動到

點(diǎn)A/,4，4,…，An（危3,〃是整數(shù)）處，問經(jīng)過這樣2023次跳動后的點(diǎn)與4/A的中點(diǎn)

的距離是（）

D.

【考點(diǎn)12角度的翻折問題】

【例12】（2022?山東德州?七年級期末）如圖，一紙片沿直線AB折成的V字形圖案，已知

圖中N1=62°,則N2的度數(shù)=.

【變式12-1】（2022?廣西?上思縣教育科學(xué)研究所七年級期末）下圖所示的圖形，長方形紙

片沿AE折疊后，點(diǎn)。與D'重合，且已知/CEDG50。.則NAED的是（）

A.605B.505C.755D.65&

【變式12-2]（2022?福建省福州第一中學(xué)七年級期末）在福州一中初中部第十二屆手工大

賽中，初一年段的小紅同學(xué)用長方形紙帶折疊出逼真的動物造型.其中有三個步驟如下：如

圖①，已知長方形紙帶，">EF=2（r,將紙帶EF折疊成圖案②，再沿81折疊成圖案③，

則③中的乙CFE的度數(shù)是（）

【變式12-3】（2022?江西南昌?七年級期末）已知長方形紙片ABCD,點(diǎn)E在邊16上，點(diǎn)N在

邊”上，松以5沿EA翻折到UM'E,射線E4與CD交于點(diǎn)￡點(diǎn)M在邊8C上，將JW8E沿EM

翻折到LVBE射線EB'與CD交于點(diǎn)G

（1）如圖1，若點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，直接寫出以E為頂點(diǎn)的兩對相等的角，并求々MEN的度數(shù)；

⑵如圖2,若點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)，且UE"=乙FEG+10\LBEM="EG+20',求￡￡北

與乙"EN的度數(shù)；

（3）若點(diǎn)G在點(diǎn)戶的左側(cè)，且dEG=a,求U/EN的度數(shù)（用含。的代數(shù)式表示）.

【考點(diǎn)13兩塊三角板旋轉(zhuǎn)問題】

【例13】（2022?河北?泊頭市教師發(fā)展中心七年級期末）【實(shí)踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué).

⑴如圖1,將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)。疊放在一起，UCD=，EC8=90’.

①若=35?,貝ij"C8=；若UC8=140',貝ijz￡CD=；

②猜想乙AC8與cECD的大小有何特殊關(guān)系，并說明理由；

⑵如圖2,若是兩個同樣的直角三角尺6。銳角的頂，點(diǎn)A重合在一起,UCD=，4FG=90：

則2GAe與,DAF的大小又有何關(guān)系，請說明理由；

⑶已知"08=a,z￡OD=6（a?6都是銳角），如圖3,若把它們的頂點(diǎn)。重合在一起,

請直接寫出“0D與，80c的大小關(guān)系：.

【變式13-1】（2022?湖南K沙?七年級期末）（1）利用一副二角板可以畫出一些特殊的角.

在①135",@120%③乃。，④50。，⑤35。，⑥15。，四個角中，利用一副三角板畫不出

來的特殊角是;（填序號）

（2）在圖①中，寫出一組互為補(bǔ)角的兩角為:

（3）如圖①，先用三角板畫出了直線EF,然后將一副三角板拼接在一起，其中45。角（"OB）

的頂點(diǎn)與60。角（400。）的頂點(diǎn)互相重合，且邊。4、OC都在直線E尸上（圖①），固定三

角板CO。不動，將三角板A03繞點(diǎn)。按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度。（如圖②），當(dāng)。3平

分4E0D時，求旋轉(zhuǎn)角度a.

【變式13-2】（2022?河南南陽?七年級期末）（1）如圖1所示，將兩塊不同的三角尺（NA

=6U°,/6=N￡=45°）的直角頂點(diǎn)C?疊放在一起.

①若NOCE=25。，MZACB=；若NAC8=130。，則NDC￡=.

②猜想NACB與NOCE有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）如圖2所示，若兩個相同的三角尺的60。角的頂點(diǎn)A重合在一起，則/D48與NCAE

有何數(shù)量關(guān)系，請說明理由.

（3）已知ZCOD=fi（a,尸都是銳角），如圖3所示，NA。。與N80C有何數(shù)

量關(guān)系，請直接寫出結(jié)果，不說明理由.

角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，直角邊在線段MN上，ZCOD=AAOB=90°.

圖1圖2

備用圖1備用圖2

⑴將圖1中的三角板COD繞著點(diǎn)。沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，若NA()C=35\

則NBOD=；當(dāng)/AOCV90。時猜想NAOC與/80。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑵將圖1中的三角板COO繞著點(diǎn)O沿逆時針方向按每秒15。的速度旋轉(zhuǎn)-周，三角板A08

不動，請問幾秒時0。所在的直線平分/AOB?

【考點(diǎn)14射線旋轉(zhuǎn)與角度的關(guān)系】

【例14】(2022?湖北武漢?七年級期末)已知/C。。在/4。8的內(nèi)部，/AO8=150°,ZCOD

=20°.

(1)如圖1,求/40D+N80C的大??；

⑵如圖2,OM平分/BOC,ON平分4AOD,求/M0N的大小.

⑶如圖3,若N400=30。，射線OC繞點(diǎn)O以每秒10。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與射線。B重

合后，再以每秒15。的速度繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)；同時射線0。以每秒30。的速度繞點(diǎn)。順時

針旋轉(zhuǎn).設(shè)射線OC運(yùn)動的時間是，秒(0</<22),當(dāng)/。。。=120。時，直接寫出/

的值.

【變式14-1】(2022?新疆烏普木齊?七年級期末)圖(1)所示，點(diǎn)。是在線AA上一點(diǎn)，ZCOD

是直角，0E平分N80C.

C

（圖3）

（1）若/AOC=30°,求NDOE的度數(shù);

⑵將圖⑴中的NCOD繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)至圖（2）所示的位置，以（1）題思路探究NAOC

與NOOE的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由；

（3）將圖（1）中的/COD繞點(diǎn)、。順時針旋轉(zhuǎn)至圖（3）所示的位置，直接寫出/AOC與/DOE

的度數(shù)之間的關(guān)系.

【變式14-2】（2022?湖北武漢?七年級期末）如圖1,OB、OC是/內(nèi)部兩條射線.

D

⑵如圖2,若上AOD=2乙BOC,在NAO。的外部分別作NCOD、NAO6的余角/OOM及

ZAON,請寫出NQOM、ZAON.N4"之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶如圖3,已知N400=120。，射線0E平分NAO。，若將08繞。點(diǎn)從04出發(fā)以每秒6。

逆時針旋轉(zhuǎn)，0C繞0點(diǎn)從。。出發(fā)以每秒5。順時針旋轉(zhuǎn)，OB、0C同時運(yùn)動；當(dāng)。。運(yùn)動

一周回到。。時，OB、OC同時停止運(yùn)動.若運(yùn)動，（，＞0）秒后，OE恰好是N80C的四等

分線，則此時，的值為—（直接寫出答案）.

【變式4-3]（2022?湖南岳陽?七年級期末）（1）特例感知：如圖①，已知線段MN=30cm,

A8=2cm,線段A8在線段MN上運(yùn)動（點(diǎn)A不超過點(diǎn)M,點(diǎn)8不超過點(diǎn)N），點(diǎn)C和點(diǎn)。分

別是AM,BN的中點(diǎn).

①若4M=16cm,WOCD=cm；

②線段A8運(yùn)動時，試判斷線段CO的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請求出CO的長度,

如果變化，請說明理由.

（2）知識遷移：我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖②，已知NA08在NM0N內(nèi)部轉(zhuǎn)

動，射線0c和射線。。分別平分NAOM和/BON.

①若/M0N=15（T,/AOB=30°,求/COQ=

②請你猜想NAO8,NCO。和NMON三個角有怎樣的數(shù)量關(guān)系.請說明理由.

（3）類比探究：如圖③，NAOB在NM0N內(nèi)部轉(zhuǎn)動，若NMON=150。,NAOB=30。，

U40CMD.-

—=71^=*用含有k的式子表示cCOD的度數(shù).（直接寫出計(jì)算結(jié)果）

【考點(diǎn)15余角和補(bǔ)角的性質(zhì)】

【例15】（2022?山東?昌樂北大公學(xué)學(xué)校七年級階段練習(xí)）已知：點(diǎn)O是直線A3上一點(diǎn)，

過點(diǎn)。分別畫射線OC,。區(qū)使得OC^OE.

（1）如圖，OD平分CA0C若480c=40）求4D0E的度數(shù).請補(bǔ)全下面的解題過程（括

號中填寫推理的依據(jù)）.

解：.?.點(diǎn)。是直線A8上一點(diǎn)，

「.U0C+480c=180：

zBOC=40\

..LAOC=140\

o。平分乙/IOC.

“00=*0C（）

LCOD=。.

???0C10E,

-zCOE=90g（）.

S0E=4+4,

LDOE=

D

（2）在平面內(nèi)有一點(diǎn)。，滿足“0C=2-0D.探究：當(dāng)￡80C=a（0°<a<180°）時，

是否存在a的值，使得cCOD=，BOE.若存在，請直接寫出a的值；若不存在，請說明理由.

【變式15-1]（2022?福建?福州市秀山初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖1,。是直線A3上的

一點(diǎn)，NCOO是直角，OE平分NBOC.

(1)若NAOC=40。，則/QOE的度數(shù)為。；

(2)將圖1中的/COO繞頂點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，探究NAOC

和NOOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；

(3)將圖1中的/C。。繞頂點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，其他條件不變，直接寫出/4OC

和N的度數(shù)之間的關(guān)系：.

【變式15-2】(2022?浙江?七年級專題練習(xí))如圖所示，將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合.

(1)寫出以C為頂點(diǎn)的相等的角;

⑵若UCB=150°,求乙。CE度數(shù)；

⑶寫出UC8與2DCE之間所具有的數(shù)量關(guān)系；

⑷當(dāng)三角板"CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時，你所寫出的(3)中的關(guān)系是否變化？請說明理由.

【變式15-3】(2022?河北石家莊?七年級期末)以直線48上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC,使

ZBOC=70。,將一個直角三角板的直角(NDOE=90°)頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處.

⑴將直角三角板。OE的一邊。。放在射線OB止，如圖1所示，則NCOE的度數(shù)為

，其補(bǔ)角的度數(shù)為;

圖1

⑵將直角三角板。OE繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動到如圖2步小的位置，若OC恰好平分N/3OE,ARZCOD

的度數(shù);

C

E

O

圖2

⑶如圖3,將直角三角板。0E繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動，0。始終在/80C的內(nèi)部，試猜想/80。和/COE

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

B

O