2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.1.3概率的基本性質(zhì)限時規(guī)范訓(xùn)練新人教A版必修3

PAGE1-3.1.3概率的基本性質(zhì)【基礎(chǔ)練習(xí)】1．已知100件產(chǎn)品中有5件次品，從這100件產(chǎn)品隨意取出3件，設(shè)A表示事務(wù)“3件產(chǎn)品全不是次品”，B表示事務(wù)“3件產(chǎn)品全是次品”，C表示事務(wù)“3件產(chǎn)品中至少有1件次品”，則下列結(jié)論正確的是()A．B與C互斥B．A與C互斥C．A，B，C隨意兩個事務(wù)均互斥D．A，B，C隨意兩個事務(wù)均不互斥【答案】B【解析】本題主要考查互斥事務(wù)的概念．由題意得事務(wù)A與事務(wù)B不行能同時發(fā)生，是互斥事務(wù)；事務(wù)A與事務(wù)C不行能同時發(fā)生，是互斥事務(wù)；當(dāng)事務(wù)B發(fā)生時，事務(wù)C肯定發(fā)生，所以事務(wù)B與事務(wù)C不是互斥事務(wù)，故選B．2．有一個嬉戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進(jìn)，每人一個方向．事務(wù)“甲向南”與事務(wù)“乙向南”是()A．互斥但非對立事務(wù) B．對立事務(wù)C．相互獨立事務(wù) D．以上都不對【答案】A【解析】由于每人一個方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不行能的，故是互斥事務(wù)，但不是對立事務(wù)，故選A．3．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中甲級屬正品，乙、丙兩級均屬次品．若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03，丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件抽得正品的概率為()A．0.96 B．0.97C．0.98 D．0.99【答案】A【解析】記“生產(chǎn)中出現(xiàn)甲級品、乙級品、丙級品”分別為事務(wù)A，B，C，則A，B，C彼此互斥．由題意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.4．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥而不對立的事務(wù)是()A．至少有一個紅球與都是紅球B．至少有一個紅球與都是白球C．至少有一個紅球與至少有一個白球D．恰有一個紅球與恰有兩個紅球【答案】D【解析】對于A中的兩個事務(wù)不互斥，對于B中兩個事務(wù)互斥且對立，對于C中兩個事務(wù)不互斥，對于D中的兩個事務(wù)互斥而不對立．5．同時拋擲2個勻稱的正方體玩具(各個面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6)，則：(1)朝上的一面數(shù)相同的概率為________．(2)朝上的一面的兩數(shù)之積為偶數(shù)的概率為________．【答案】(1)eq\f(1,6)(2)eq\f(3,4)【解析】(1)試驗結(jié)果有36個：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．“朝上的一面數(shù)相同”的結(jié)果有6個：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，則概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)“朝上一面之積不為偶數(shù)”的結(jié)果有9個：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．故“朝上一面的兩數(shù)之積為偶數(shù)”的概率為1－eq\f(9,36)＝eq\f(3,4).6．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率為0.42，摸出白球的概率為0.28，若紅球有21個，則黑球有________個．【答案】15【解析】摸出黑球的概率為1－0.42－0.28＝0.3，口袋內(nèi)球的個數(shù)為21÷0.42＝50，所以黑球的個數(shù)為50×0.3＝15.7．盒中有6只燈泡，其中兩只次品，4只正品，有放回地從中任取兩次，每次取一只，試求下列事務(wù)的概率：(1)取到的兩只都是次品；(2)取到的兩只中正品、次品各一只；(3)取到的兩只中至少有一只正品．解：從6只燈泡中有放回地任取兩只，共有36種不同取法．(1)取到的兩只都是次品狀況為4種．因而所求概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).(2)由于取到的兩只中正品、次品各一只有兩種可能：第一次取到正品，其次次取到次品；以及第一次取到次品，其次次取到正品．因而所求概率為p＝eq\f(4×2,36)×2＝eq\f(4,9).(3)由于“取到的兩只中至少有一只正品”是事務(wù)“取到的兩只都是次品”的對立事務(wù)．因而所求概率為p＝1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).8．袋中裝有紅球、黑球、黃球、綠球共12個．從中任取一球，取到紅球的概率是eq\f(1,3)，取到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，取到黃球或綠球的概率是eq\f(5,12).試求取到黑球、黃球、綠球的概率各是多少．解：從袋中任取一球，記事務(wù)“取到紅球”“取到黑球”“取到黃球”和“取到綠球”分別為A，B，C，D，則事務(wù)A，B，C，D明顯是兩兩互斥的．由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＝\f(1,3)，,PB∪C＝\f(5,12)，,PC∪D＝\f(5,12)，,PA∪B∪C∪D＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PB＋PC＝\f(5,12)，,PC＋PD＝\f(5,12)，,\f(1,3)＋PB＋PC＋PD＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PB＝\f(1,4)，,PC＝\f(1,6)，,PD＝\f(1,4).))故取到黑球的概率是eq\f(1,4)，取到黃球的概率是eq\f(1,6)，取到綠球的概率是eq\f(1,4).【實力提升】9．在一次隨機試驗中，彼此互斥的事務(wù)A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是()A．A＋B與C是互斥事務(wù)，也是對立事務(wù)B．B＋C與D是互斥事務(wù)，也是對立事務(wù)C．A＋C與B＋D是互斥事務(wù)，但不是對立事務(wù)D．A與B＋C＋D是互斥事務(wù)，也是對立事務(wù)【答案】D【解析】由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一個必定事務(wù)，故其事務(wù)的關(guān)系可由如圖所示的Venn圖表示，由圖可知，任何一個事務(wù)與其余3個事務(wù)的和事務(wù)必定是對立事務(wù)，任何兩個事務(wù)的和事務(wù)與其余兩個事務(wù)的和事務(wù)也是對立事務(wù)．故選D．10．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出兩粒都是黑子的概率為eq\f(1,7)，從中取出兩粒都是白子的概率是eq\f(12,35).則從中隨意取出兩粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7) B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35) D．1【答案】C【解析】設(shè)“從中取出兩粒都是黑子”為事務(wù)A，“從中取出兩粒都是白子”為事務(wù)B，“隨意取出兩粒恰好是同一色”為事務(wù)C，則C＝A∪B且事務(wù)A與B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35)，即隨意取出兩粒恰好是同一色的概率為eq\f(17,35).11．甲射擊一次中靶概率是P1，乙射擊一次中靶概率是P2，已知eq\f(1,P1)，eq\f(1,P2)是方程x2－5x＋6＝0的根且P1滿意方程x2－x＋eq\f(1,4)＝0.則甲射擊一次，不中靶概率為________；乙射擊一次，不中靶概率為________．【答案】eq\f(1,2)eq\f(2,3)【解析】由P1滿意方程x2－x＋eq\f(1,4)＝0知，Peq\o\al(2,1)－P1＋eq\f(1,4)＝0，解得P1＝eq\f(1,2)；因為eq\f(1,P1)，eq\f(1,P2)是方程x2－5x＋6＝0的根，所以eq\f(1,P1)·eq\f(1,P2)＝6，解得P2＝eq\f(1,3)，因此甲射擊一次，不中靶概率為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，乙射擊一次，不中靶概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).12．如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時間/分鐘10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．解：(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用頻率估計相應(yīng)的概率為0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為所用時間分鐘10～2020～3030～4040～5050～60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1(3)設(shè)A1