2024-2025版高中數(shù)學(xué)模塊復(fù)習(xí)課第4課時(shí)利用向量解決平行與垂直夾角問(wèn)題練習(xí)含解析新人教A版選修2-1

PAGEPAGE1第4課時(shí)利用向量解決平行與垂直、夾角問(wèn)題課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.已知向量a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),假如a∥b,那么x等于()A.-1 B.1 C.-5 D.5解析∵向量a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),a∥b,∴x2=24=-答案B2.(2024全國(guó)Ⅱ高考)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,則AB·BC=(A.-3 B.-2 C.2 D.3解析由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,則BC=(1,0).所以AB·BC=(2,3)·答案C3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N分別是面對(duì)角線A1B與B1D1的中點(diǎn),若DA=a,DC=b,DD1=c,則MN=(A.12(c+b-a) B.12(a+b-C.12(a-c) D.12(c-解析在正方體ABCD-A1B1C1D1中,∵點(diǎn)M,N分別是面對(duì)角線A1B與B1D1的中點(diǎn),DA=a,DC=b,DD1=∴MN=12(A1=12(-c+b)+c+12(-a-=-12a+12c=12(c-答案D4.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中點(diǎn),M是棱CC1上的點(diǎn),且CC1=3CM,則直線BM與B1N所成的角的余弦值是()A.105 B.2515 C.10解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)N32,0,0,B(3,3,0),M(0,3,1),B1(3,3,3),BM=(-3,0,1),B1N=-32,-3,-3.cos<BM,B1N答案D5.已知點(diǎn)A(m,-2,n),點(diǎn)B(-5,6,24)和向量a=(-3,4,12),且AB∥a,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

解析∵A(m,-2,n),B(-5,6,24),∴AB=(-5-m,8,24-n).又向量a=(-3,4,12),且AB∥a,∴AB=λa,即-解得λ=2,m=1,n=0,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-2,0).答案(1,-2,0)6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是解析∵正方體棱長(zhǎng)為a,A1M=AN=2a∴MB=∴MN=23(A1=23又CD是平面B1BCC1的法向量,∴MN·CD=∴MN⊥又MN?平面B1BCC1,∴MN∥平面B1BCC1.答案平行7.(2024天津高考)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上,且AE=BE,則BD·AE=解析∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.∵EA=EB,∴∠EAB=30°.∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2,BD·AE=(BA+AD)=-BA=-12+23×2×cos30°+5×23×cos30°+5×2×cos180°=-22+6+15=-1.答案-18.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,∠BAA1=45°,平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.(1)求證:AA1⊥BC;(2)若BB1=2AB=2,直線BC與平面ABB1A1所成角為45°,D為CC1的中點(diǎn),求二面角B1-A1D-C1的余弦值.(1)證明過(guò)點(diǎn)C作CO⊥AA1,垂足為O,因?yàn)槠矫鍭A1C1C⊥平面AA1B1B,所以CO⊥平面AA1B1B,故CO⊥OB.又因?yàn)镃A=CB,CO=CO,∠COA=∠COB=90°,所以Rt△AOC≌Rt△BOC,故OA=OB.因?yàn)椤螦1AB=45°,所以AA1⊥OB.又因?yàn)锳A1⊥CO,所以AA1⊥平面BOC,故AA1⊥BC.(2)解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OC所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,因?yàn)镃O⊥平面AA1B1B,所以∠CBO是直線BC與平面AA1B1B所成角,故∠CBO=45°,所以AB=2,AO=BO=CO=1,A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),A1(-1,0,0),B1(-2,1,0),D(-1,0,1),設(shè)平面A1B1D的法向量為n=(x1,y1,z1),則n·A令x1=1,得n=(1,1,0),因?yàn)镺B⊥平面AA1C1C,所以O(shè)B為平面A1C1D的一條法向量,OB=(0,1,0),cos<n,OB>=n·所以二面角B1-A1D-C1的余弦值為229.(2024天津高考)如圖,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求證:BF∥平面ADE;(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F的余弦值為13,求線段CF的長(zhǎng)(1)證明依題意,可以建立以A為原點(diǎn),分別以AB,AD,AE的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).設(shè)CF=h(h>0),則F依題意,AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又BF=(0,2,h),可得BF·AB=0,又因?yàn)橹本€BF?平面ADE,所以BF∥平面(2)解依題意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則n·BD=0,n·BE=0,即-x+y=0,-所以,直線CE與平面BDE所成角的正弦值為49(3)解設(shè)m=(x,y,z)為平面BDF的法向量,則m·BD=0,m·BF=0,即-由題意,有|cos<m,n>|=|m·n||所以,線段CF的長(zhǎng)為87實(shí)力提升1.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)M在AC1上且AM=12MC1,N為B1B的中點(diǎn),則A.216a B.6C.156a D.15解析以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,設(shè)M(x,y,z),∵點(diǎn)M在AC1上且AM=∴(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z)∴x=23a,y=a3,z=a3.∴∴|MN|=a=216a答案A2.已知ABCD-A1B1C1D1為正方體,則二面角B-A1C1-A的余弦值為()A.23 B.22 C.63解析以D為原點(diǎn),直線DA為x軸,直線DC為y軸,直線DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),A1C1=(-1,1,0),A1A=(0,0,-1),A設(shè)平面A1C1A的法向量n=(x,y,z),則n·A1C1=-設(shè)平面A1C1B的法向量m=(a,b,c),則m·A1C1=-設(shè)二面角B-A1C1-A的平面角為θ,則cosθ=|m∴二面角B-A1C1-A的余弦值為63故選C.答案C3.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中點(diǎn),則B1C與A1P所成角的大小為解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間坐標(biāo)系,如圖所示.∵AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中點(diǎn),∴B1(1,2,1),C(0,2,0),A1(1,0,1),P(0,1,1).∴B1C=(-1,0,-1),A1P=∴B1C·A1P=1+0+0=1,|B1C設(shè)B1C與∴cosθ=12×2=12答案60°14.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長(zhǎng)都相等,M為A1C1的中點(diǎn),N為BB1的中點(diǎn),則直線CM與AN所成的角的余弦值為.

解析以A為原點(diǎn),在平面ABC內(nèi)過(guò)A作AC的垂線為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長(zhǎng)都為2,則C(0,2,0),M(0,1,2),A(0,0,0),N(3,1,1),CM=(0,-1,2),AN=(3,1,1),設(shè)直線CM與AN所成的角為θ,則cosθ=|CM·AN||CM||AN|=15答案15.在四面體P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)PA=PB=PC=a,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為.

解析依據(jù)題意,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz,則P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).過(guò)點(diǎn)P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于點(diǎn)H,則PH的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面ABC的距離.∵PA=PB=PC,∴H為△ABC的外心.又∵△ABC為正三角形,∴H為△ABC的重心,可得H點(diǎn)的坐標(biāo)為a3∴PH=a3-∴點(diǎn)P到平面ABC的距離為33a答案336.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB=1,CD=3,AP=2,DP=23,DPAD=60°,AB⊥平面PAD,點(diǎn)M在棱PC上.(1)求證:平面PAB⊥平面PCD;(2)若直線PA∥平面MBD,求此時(shí)直線BP與平面MBD所成角的正弦值.解(1)證明:因?yàn)锳B⊥平面PAD,所以AB⊥DP.又因?yàn)镈P=23,AP=2,∠PAD=60°,由PDsin∠PAD=PA所以∠PDA=30°,所以∠APD=90°,即DP⊥AP,因?yàn)锳B∩AP=A,所以DP⊥平面PAB,因?yàn)镈P?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.(2)由AB⊥平面PAD,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面PAD中,過(guò)點(diǎn)A作AD的垂線為x軸,AD,AB所在直線分別為y軸,z軸,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.其中A(0,0,0),B(0,0,1),C(0,4,3),D(0,4,0),P(3,1,0).從而B(niǎo)D=(0,4,-1),AP=(3,1,0),PC=(-3,3,3),設(shè)PM=λPC,從而得M(3(1-λ),3λ+1,3λ),BM=(3(1-λ),3λ+1,3λ-1),設(shè)平面MBD的法向量為n=(x,y,z),若直線PA∥平面MBD,滿意n即3得λ=14,取n=(3,-3,-且BP=(3,1,-1),直線BP與平面MBD所成角的正弦值sinθ=|n7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PA⊥底面ABCD,∠ABC=60°,AB=3,AD=23,AP=3.(1)求證:平面PCA⊥平面PCD;(2)設(shè)E為側(cè)棱PC上的一點(diǎn),若直線BE與底面ABCD所成的角為45°,求二面角E-AB-D的余弦值.解(1)證明:在平行四邊形ABCD中,∠ADC=60°,CD=3,AD=23,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=12+3-2×23×3×cos60°∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°,即CD⊥AC,又PA⊥底面ABCD,CD?底面ABCD,∴PA⊥CD.又AC∩CD=C,∴CD⊥平面PCA.又CD?平面PCD,∴平面PCA⊥平面PCD.(2)如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(-3,3,0),P(0,0,3).設(shè)E(x,y,z),PE=λPC(0≤λ≤1),則(x,y,z-3)=λ(0,3,-3),∴