2021年高考數(shù)學(xué)解答題專項(xiàng)必刷題100題

專題1三角函數(shù)和解三角形

真題再現(xiàn)

1.(2020年新高考山東卷)在①②csinA=3,③°=屏這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面

問題中，若問題中的三角形存在，求。的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在ABC,它的內(nèi)角的對邊分別為4仇c,且sinA=gsin8,C=J，_______?

6

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】詳見解析

【解析】解法一：

由sinA=J5sinB可得：f=

b

不妨設(shè)a==m(m>0),

J3

則：c2=a2+b2-2abcosC=3nr+AW2-2X>/3/WX/WX——=m2，即。=機(jī).

2

選擇條件①的解析：

據(jù)此可得：ac=>/3mxtn=43m2=>/3>:.m=\,此時(shí)c=m=l.

選擇條件②的解析：

據(jù)此可得：cosA=J+L

=3,則:m=2y/3-

選擇條件③的解析:

cm

可得：=一=1,c=b,

btn

與條件c=?矛盾，則問題中的三角形不存在.

解法二：,/sinA=\/3sinB,C=—,B=^-(A+C),

6

工s加A=\Z5sin(A+C)=>/5sinA+看)，

hi

sinA=V3sin(A+C)=4?>sinAl-^+\TcosA—，

sinA——>/3cosA，:,icutA=一石A=――，,B=C=—,

56

若選①，ac—5/3>*61=>/3b-y/3c?**?\/3c2=5/3，?二c=l;

若選②，csinA-3,則=3,c=2\/3；

2

若選③，與條件c=?矛盾.

2.(2020年天津卷)在A8c中，角A.3,C所對的邊分別為出4c.已知4=20,O=5,C=JB.

(I)求角。的大??；

(II)求sinA的值；

(ID)求sin(2A+?)的值.

【答案】(【)C=j,(II)sinA=^^：(III)sinf2A+-l=^^

413I4J26

【解析】（I）在ABC中，由a=20乃=5,c=JF及余弦定理得

a2+b2-c28+25-13

cosC=~-

2ab2x2^x5-2

7F

又因?yàn)镃O'所以c="

(H)在ABC中，由C=￡,i=2jlc=及正弦定理，可得a_〃sinC_2”x3叵

4.人二二--任二13

(HI)由avc知角A為銳角，由sinA=21叵，可得cos4=J1—sii?A=.

1313

125

進(jìn)而sin2A=2sinAcosA=—,cos2A=2cos2A-1=—,

1313

所以sin(2A+巳)=sin2AcosX+cos2AsinX=2x^^+Wx^^="".

44413213226

3.(2020年全國卷)在ABC中，a+b=\\,再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求:

(I)。的值：

(II)sinC和A8C的面積.

條件①：c=7,cosA=--；

19

條件②：cosA=-,cosB=—.

816

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】選擇條件①(I)8(II)sinC=立，5=66：

2

選擇條件②（I）6（H）sinC=?，S="E.

44

【解析】選擇條件①（I）c=7,cos^=-i,a+b=U

7

a2=b2+c2-2bccosA/.=(11-a)2+72-2(1(--)

/.a=8

(II)cosA=--,AG(0,7T)sinA=Vl-cos2A=

77

ac87.「g

由正弦定理得：sinAsinC4GsinC2

~7~

S=-^sinC=-(ll-8)x8x—=6x/3

222

19

選擇條件②(I)coS/4=-,cosB=—,A,BG(0,^)

816

.*.sinA=>/l-cos2A=,sinB=71-cos2B=

816

aba11-67/

由正弦定理得：sin>4"sinB'>3>/7-577''一

~T~

?廠?/八m-2口人3幣95y/715/7

(II)sinC=sin(A+B)=sinA4cosB+sinBcosA=-----x——+------x-=——

8161684

c1入「"i小八才15出

S=-basinC=—(11-6)x6x-^-=---

4.(2020年浙江卷)在aABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且。2="+。2一々,

(I)求角B的大小；

(H)若a=c=2,求的面積；

(ID)求sinA+sinC的取值范圍.

【答案】(1)60°；(2)6(3)—，＞/3.

【解析】(I)由.C+』",得cosB=g,

2ac2

所以；

3

(II)由(I)得S=goes加600=73.

(III)由題意得si〃A+s加C=s，〃A+s力----A=-sinA+cosA=A4--1.

I3)22I6J

EM24

因?yàn)?VAV,

3

所以當(dāng)＜鬲力(A+2卜技

故所求的取值范圍是(日，、萬.

高考模擬

1.(2020?甘肅省會(huì)寧縣第二中學(xué)高二期末(文))△A8C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為小b,c,已知

cos*23(―+/A)+cosA=—.

24

(1)求A；

(2)若b-c=@a，證明：△ABC是直角三角形.

3

71

【答案】(I)A=-；(2)證明見解析

【解析】(1)因?yàn)镃OS2(M+A+COSA=-,所以sii?A+cos4=3,

U)44

lip1-cosA+cosA=—,

4

解得cosA='，又0<A<;r,

2

所以A=2：

3

(2)因?yàn)?=工，所以COSA="+C"——=L,

32bc2

即Z?2+c2-a2=be①，

又b-c=*a②,將②代入①得，b2-c2-3(h-cy=hc,

即2Z?2+2c2-5bc=0,而8>c,解得Z?=2c，

所以a=J5c,

故從=/+。2，

即A3C是直角三角形.

2.(2020?鹽城市伍佑中學(xué)開學(xué)考試)在ABC中，角A,氏C的對邊分別為4。,%且滿足

csinA=asinC+—.

(I)求角。的大??；

(H)若A3C的面積為36，a-b=\t求c和cos(2A-C)的值.

【答案】(I)-r\(II)c=>/\3?cost2A—C)=——.

326

【解析】(I)由正弦定理可知：一二二一J,已知csin4=asin(c+?],所以

smAsmC\3J

JI乃

sinCsinA=sinA(sinC-cos—4-cosC-sin—),Ae(0,4)/.sinA/0、

所以有sinC=\/3cosC=>tanC=5/3=>C=—.

3

a=4

(II)S=—?/?-sinC=3>/3=>ab=\2ta-b=\=>,c，由余弦定理可知:

2b=3

c2=/z2+Z?2-26fZ?cosC=13=>c=>/13,cosA=+~sinA=V1-cos2A=

2bc1313

2

sin2A=2sinA-cosA=^2.cos2A=2cos4-1=--

1313

cos(2A-C)=cos2A-cosC+sin2A-sinC=--x—+4Gx6二1

',13213226

3.（2020?廣西武鳴?南寧三十六中月考）MBC的內(nèi)角4氏C的對邊分別為已知

asin2!￡=6sin4.

2

(1)求8;

（2）若A4BC為銳角三角形，且c=l,求A4BC面積的取值范圍.

【答案】(1)8=g;(2)(正,

J8

t解析】（1）根據(jù)題意“sin-------=Z/sinA，由正弦定理得sinAsin-------=sinBsinA,因?yàn)?<A，

22

A-i-C

故sinA>0,消去sinA得sin-------=sinB.

2

A+CA+C

0<Be乃，0<-----<乃因?yàn)楣?-----=8或者------+B=7T,而根據(jù)題意A+3+C=4,故

222

A+cA+C4

——~+8=不不成立，所以-----=B,又因?yàn)槿?3+。=打，代入得38=乃，所以B二一.

223

712

（2）因?yàn)锳BC是銳角三角形，由（I）知8=一，A+B+C=4得到A+C=1；r,

33

0<C<-

2,解畦

故，<C<

0工36T

32

a

乂應(yīng)用正弦定理1

sinAsinC

由三角形面積公式有:

Gsin(^-C)

S.c=#sin8=；c2a.八12sinA

—sinB=-c------?sinn=--------------

c2sinC4sinC

.2〃廠_

昌sin——cosC-cos——sinC石。1c

7333.2TT12萬

=--------------------------=----(sin----------cos——

4sinC43tanC38tanC8

又因常＜“c＞爭噂＜|盍+冬冬

故曰＜S1年

故S松0的取值范圍是

4.(2020?江西東湖?南昌二中高三其他(文))在AABC中，角A,B,C的對邊分別為b,ct且

a+b6b-c

sinCsinB-sinA

(1)求角A的大小;

4

的前〃項(xiàng)和

(2)若等差數(shù)列｛an｝的公差不為零，4sinA=1,且%、4、％成等比數(shù)列，求?S〃.

【答案】⑴*⑵言!

【解析】(1)由史±二顯一。

sinCsin5—sinA

b2+c2-a2=\｛3bc所以cos▲=":邁

2加2

又0〈月＜開.-—

0

(2)設(shè)｛%｝的公差為d，由(1)得以1=2,且以」=%/，

工(％+%)2=(?i+d)(以］+7d).又dh0，；?d=2，；?4=2w

?411_1

Z/+1力(力+i)?^+i

.C/41、/I1、/1、/I1、T1?

二應(yīng)=(1--)+(------)+(------)+???+(-----------)=1----------——

22334力勿+1?+1力+1

5.(2020?武邑宏達(dá)學(xué)校高二期末)在△43C中，。=夜，c=M,.(補(bǔ)充條件)

(1)求△A3C的面積；

(2)求s加(A+B).

從①方=4,②COSB=—M③s加A=巫這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.

510

【答案】詳見解析

【解析】選擇①

(1)在△ABC中，因?yàn)椤?a,c=M，6=4,

由余弦定理得cosC==(揚(yáng)2+41加2=也，

lab2x72x42

因?yàn)?0,江)，所以s加c=Ji=氤元=1,

所以S二［absinC=—X5/2x4x——=2-

2

(2)在△ABC中，A+B=;r-C.

選擇②

(1)因?yàn)閏osB=-近~，Bw(0,兀)，所以=JT—cos2B=,

55

因?yàn)閍=\/^,c=JlO，所以S=，xj2xJ10=2.

225

(2)因?yàn)閍=5/2，c=JF5，cosB=-好，

由層=才+?-2accos5,^b2=(>/2)2+(>/?0)2—2x-^x5/foxf—=16,

解得b=4,

解得s加。=也，

sin6sinC2

在△ABC中，A+B=?r-C,sin(A^-B}=sinC=

選擇③

依題意?A為銳角，由sinA=避0.,得cosA=\ll—sin2A=3^^,

1010

在△ABC中，因?yàn)榘锥?/2,c=J13，cosA=3^^,

由余弦定理a2=b2+(^-IbccosA,得(上了=/+(V10)2-2xV10x土叵力,

解得b=2或6=4,

(1)當(dāng)6=2時(shí)，S=-bcsinA=-x2xy/l0x^-=l.

2210

當(dāng)6=4時(shí)，S=—bcsinA=—x4xV10x=2-

2210

(2)由a=5/2?c—\/10?sinA=——,，得sinC=，

10s譏4sinC2

在△ABC中，A+B=TT-C,s而(A+8)=si〃C=+.

7.(2020?江蘇廣陵?揚(yáng)州中學(xué)高二開學(xué)考試)在A3C中，a,兒c分別是角A,B,C的對邊，并且

b1+c2-a2=hc?

(1)已知,計(jì)算A8C的面積；

請①a=②8=2,③sinC=2sinB這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，將問題(1)補(bǔ)充完整，并作答.注意,

只需選擇其中的一種情況作答即可，如果選擇多種情況作答，以第一種情況的解答計(jì)分.

(2)求cos8+cosC的最大值.

【答案】(1)見解析(2)1

【解析】(1)若選②b=2,③sinC=2sinB.

sinC=2sinB,

:.c=2b=4,

b2-c2=a2+bc，

,cosA二金

2bc2

又Aw(O,?),

▲開

..A=—

3

AASC的面積S=—besinA=—x2x4x

22

若選①a=J7，?b=2.由6+c?=/+Ac可得c=3,

b2-c2=a2+bc?

Z?2+c2-a21

,cosA=-------------=—

2bc2

又Aw(0,))，

AA=—n

3

AA5C的面積S=—Z?csinA=—x2x3x.

2222

若選①a=J7，?sinC=2sinB

sinC=2sin8,

c=2b,

2

又從+。2=a+bc,

72125/2?

.?方+4/=7+切,可得b=----，c=-------

33

???A4BC的面積Sw8c=20csinA=Lx@x逑ix3=^

MBC223326

71

(2)4=一

3

/.cosB+cosC=cosB+cos［乃一(8+—)1=cosB-cos(B+—)=cosB-—cosB+—sinB

3322

=—cosB+—sinB=sin(B+—)

226

2

0<B<—;r,

3

乃八45乃

二.一<B+—<—

366

當(dāng)3=工時(shí)，sin(6+￥)=cos4+cosC有最大值1.

36

8.（2020?北京順義?高三二模）已知ABC中，角A,8,C的對邊分別為明b,C,。+6=5,c=3,

，是否存在以。，b,。為邊的三角形？如果存在，求出ABC的面積；若不存在，說明理由.

從①cosC=g:②cosC=-g；③sinC=半這三個(gè)條件中任選一個(gè)‘補(bǔ)充在上面問題中并作答.

【答案】詳見解析

【解析】若選取條件①cosC=；,此時(shí)sinC=J-"=半

因?yàn)椤?b=5,所以/+/=(〃+/?)--2ab=25-2ab,

由余弦定理，cosC='+一工=25-2"-9解得。8=6,

2ab2ab3

則/+廿=25-2x6=13,所以(〃一42=/+/-2ab=13-12=1，

a=3a=2

所以。一力=±1,又〃+6=5,解得〈?或者

b=3

所以存在以a,b,c為邊的三角形，其面積為5A“='X2X3X2徨=2/L

的c23

若選取條件②cosC=-§,

因?yàn)椤?6=5,所以/+/=（。+6）2-2?！?25—2?！ǎ?/p>

由余弦定理，cosC=j:25-2小9二」,解得加?=12,

2ahlab3

則/+從=25—2x12=1，所以（〃一6）2=/+/-2。。=1-24<0,顯然不成立，所以不存在以。，力,

c為邊的三角形.

若選取條件③sinC=2包，得cosC=土!，

33

由選取條件①可知，當(dāng)cosC=g時(shí)，存在以a,b,c為邊的三角形，其面積為S,c=2j5.

由選取條件②可知，當(dāng)cosC=-g時(shí)，不存在以。，b,c為邊的三角形.

9.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一般偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有

藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度,

沿北偏東45°+a方向攔截藍(lán)方的小艇.若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角a

的正弦值.

【答案］空

14

【解析】如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在。處追上藍(lán)方的小艇,

則4C=14x,fiC=10x,NABC=120。.

根據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10x)2—24(hcos設(shè)。。,

解得x=2.

故4c=28,BC=20.

?zn.20sin120°5s

解fe得sina=———=坐.

2814

所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角?的正弦值為S回.

14

10.（2020?江蘇蘇州?高三其他）如圖，某公園內(nèi)有一半圓形人工湖，。為圓心，半徑為1千米.為了人民群

眾美好生活的需求，政府為民辦實(shí)事，擬規(guī)劃在OCO區(qū)域種荷花，在OBO區(qū)域建小型水上項(xiàng)目.己知

/AOC=/COD=9.

（1）求四邊形OCOB的面積（用。表示）；

（2）當(dāng)四邊形。COB的面積最大時(shí)，求BD的長（最終結(jié)果可保留根號）.

【答案】(I)S(e)='(sin0+sin2。)

‘q。,分⑵7+嚴(yán)千米.

【解析】(1)由題意NAOC=NCOO=，,

設(shè)四邊形OCDB的面積為S(。)，

因?yàn)樗倪呅?。CO8可以分為OCO和08。兩部分，

所以S(6)=SAOCD+S&OBD=goCOOsine+go5OOsin(;r-2e),

因?yàn)椤?=。。=0。=1,

所以S(e)=g(sin?+sin2。).

因?yàn)?。?,乃一26＞0,所以0＜。＜工.

2

所以網(wǎng)邊形。CO8的面積S(e)=g(sin9+sin2。)，：

(2)由⑴知S(6)=g(sine+sin2e),^efo,yj,

所以S'(6)=+(sin6cose)'=geos9+cos?8-sin?6=^-(4cos20+cos-2),

令s'(e)=o,即4cos2e+cose-2=o，

處n-1+133_ix八—1—y/33

解得COS0=--------或COS0=--------，

88

因?yàn)樗源嬖谖?的4,

使得cos%=?

當(dāng)0<6<4時(shí)，s")>o,s(e)在(o,q)單調(diào)遞增;

當(dāng)為時(shí)，s”）vo,s（，）在單調(diào)遞減,

所以e=%時(shí),s⑹…=s（%）,

此時(shí)BD1=OB1+Ob1—208ODcos（乃一2，）

=l+l+2cos24=2+2（2cos2%-1）=4cos24,

從而5O=2cose=T+屈（千米）.

4

專題2數(shù)列

真題再現(xiàn)

1.（2020年山東卷）已知公比大于1的等比數(shù)列｛q｝滿足%+%=20,%=8.

（1）求｛凡｝的通項(xiàng)公式；

（2）記,為｛〃“｝在區(qū)間（0,間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛2｝的前100項(xiàng)和Sig.

2.（2020年海南卷）已知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝滿足生+4=20,%=8.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）求4%—+…+（-D"

3.（2020年天津卷）已知｛〃〃｝為等差數(shù)列，也｝為等比數(shù)列，q=4=1,%=5（4-4）也=4（d一4）.

（I）求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（II）記｛4｝的前〃項(xiàng)和為S〃，求證：5,￡+2<凡（〃€1<）；

也,"為奇數(shù)，

（ID）對任意的正整數(shù)〃，設(shè)%二（""""+2求數(shù)列￡｝的前2〃項(xiàng)和.

2，〃為偶數(shù).

1%

4.（2020年浙江卷）己知數(shù)列｛斯｝，｛兒｝,｛c“｝中，4=4=0=1￡=〃/「*%=3aleZ）.

Or+2

（I）若數(shù)列｛九｝為等比數(shù)列，且公比4>0,且。+優(yōu)=6"，求g與｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（II）若數(shù)列｛九｝為等差數(shù)列，且公差d>0,證明：c,+c2++°”<1+工?（〃wN”）

d

高考模擬

1.（2020?石嘴山市第三中學(xué)月考（文））已知等比數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為1的遞減數(shù)列，且%+%=6%.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

（2）若求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

2.（2020?霍邱縣第二中學(xué)月考）等比數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2q+3/=l，4=9/4.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，=1083。1+1。83%+……+log3atl,求數(shù)列」|的前〃項(xiàng)和人

3.（2020?渝中?重慶巴蜀中學(xué)高三月考（理））已知等比數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，出生=3而，且-3,§4,

9%成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)么=（-1）%〃+.（〃+］）,求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和7；.

4.（2020?安徽省舒城中學(xué)高二開學(xué)考試［理））已知數(shù)列｛4｝中，4=1,當(dāng)〃N2時(shí)，其前〃項(xiàng)和S“滿

足=

\2）

（1）求s”的表達(dá)式；

（2）設(shè)4=素y，求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和

5.（2020?云南高三其他（理））已知數(shù)列風(fēng)｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且滿足5?=2q-2,（〃eN）數(shù)列｛〃｝是

首項(xiàng)為q,公差不為零的等差數(shù)列，且乙,&，么?成等比數(shù)列?

（1）求數(shù)列｛4｝與也｝的通項(xiàng)公式.

（2）若C=%,數(shù)列｛5｝的前項(xiàng)和為卻北<小恒成立，求機(jī)的范圍.

an

6.（2020?泰安市基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室高三其他）已知等差數(shù)列｛4｝的公差d>0,%=7,且%,。6,5%

成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛〃｝滿足/一一;=?（〃￡4），且4=；,求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和

7.（2020?四川省綿陽江油中學(xué)高三月考（文））在①％2+勿〃=4S”+8，且a2=5,②42+2%=4S〃+Z?,

i

Kb<-lf@an+2atl=4Sn+bf且S2=8這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的6存

在，求出匕和數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和；若b不存在，請說明理由.

設(shè)S”為各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，滿足,是否存在b,使得數(shù)列｛q｝成為等差數(shù)列？

8.（2020?山東其他）在等差數(shù)列｛4｝中，己知4=16,46=36.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式4；

（2）若,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S“?

4

在①〃二——，②包③2=2%.凡，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問中，并對其求

anan+\

解.

9.（2020?北京平谷?高三二模）已知項(xiàng)數(shù)為根（mwN*,小22）的數(shù)列｛/｝滿足如下條件：①

anGy（/i=l,2,,/n）；②q〈％〈…〈。，”.若數(shù)列步）滿足2=（4+4++冊）4三N”,其中

?=1,2,，加則稱也｝為｛〃“｝的“伴隨數(shù)列”.

(I)數(shù)列135,7,9是否存在“伴隨數(shù)列”，若存在，寫出其“伴隨數(shù)列”；若不存在，請說明理由；

(II)若也｝為｛q｝的“伴隨數(shù)列"，證明：4地>??>%

(III)已知數(shù)列｛q｝存在“伴隨數(shù)列”也｝，且4=1,4=2049,求機(jī)的最大值.

10.(2020?北京順義?高三二模)給定數(shù)列4，4，M..對，=1,2,，〃一1,該數(shù)列前i項(xiàng)4,%,,4的最

小值記為4，后〃一，項(xiàng)M〃的最大值記為耳，令4=旦.一4?

(1)設(shè)數(shù)列｛4｝為2,1,6,3,寫出4，4,4的值；

(2)設(shè)4，叼，，4524)是等比數(shù)列，公比。<夕<1,且4>0,證明：44，，4」是等比數(shù)列；

(3)設(shè)4,4，，41是公差大于0的等差數(shù)列，且4>0,證明：4,4,，為7是等差數(shù)列.

專題3概率統(tǒng)計(jì)

真題再現(xiàn)

1.（2020年山東卷）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查

了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：pg/m3）,得下表：

^\SO2

[0,50](50,150](150,475]

PM25

[0,3習(xí)32184

(35,75]6812

(75.115]3710

（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

[0,150](150,475]

@7習(xí)

(75115]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO工濃度有關(guān)?

_n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(公＞k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2.（2020年北京卷）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二.為

了解該校學(xué)生對活動(dòng)方案是否支持，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假設(shè)所有學(xué)生對活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.

（I）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；

（II）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的

概率；

（皿）將該校學(xué)生支持方案的概率估計(jì)值記為外,假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級

外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為四，試比較〃。與Pi的大小.（結(jié)論不要求證明）

3.（2D19年新課標(biāo)文）某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了10。個(gè)企業(yè)，得到

這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率），的頻數(shù)分布表.

.V的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

企業(yè)數(shù)22453147

（1）分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例；

（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

（精確到0.01）

附：＞/74?8.602.

4.（2019年新課標(biāo)（理））

11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方

獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為05乙發(fā)球時(shí)甲得

分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽

結(jié)束.

（1）求尸（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

5.（2019全國高考（理））為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此

進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施

以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一

種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于

每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白

鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、

乙兩種藥的治愈率分別記為“和/?,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

（1）求X的分布列;

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，=,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲

藥比乙藥更有效”的概率，則〃o=0,Pi=aPi7+bpj+cpm(i=1,2,,7),其中a=P(X=-1),

b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)a=0.5,#=0.8.

⑴證明：｛pM-pJ(i=0,l,2,,7)為等比數(shù)列；

(ii)求P4,并根據(jù)〃4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

高考模擬

1.(2019?山東淄博?(文))某商店銷售某海鮮，統(tǒng)計(jì)了春節(jié)前后50天海鮮的需求量工，(10<xW20,單

位：公斤)，其頻率分布宜方圖如圖所示，該海鮮每天進(jìn)貨1次，商店每銷售1公斤可獲利50元；若供大

于求，剩余的削價(jià)處理，每處理1公斤虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，銷售1公斤可獲利

30元.假設(shè)商店每天該海鮮的進(jìn)貨量為14公斤，商店的日利潤為V元.

(1)求商店日利潤)’關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替.

①求這50天商店銷售該海鮮日利潤的平均數(shù)；

②估計(jì)日利潤在區(qū)間［580,760］內(nèi)的概率.

2.（2017?河南高考模擬）為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系，現(xiàn)在從4月份的30天

中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下

表格：

日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日

溫差XC101113128

發(fā)芽數(shù).'顆2325302616

（1）從這5天中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為〃7,〃，求事件“加，〃均不小于25”的概率；

（2）從這5天中任選2夭，若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)這5天中的另三天的數(shù)

據(jù)，求出）'關(guān)于X的線性回歸方程;,=，工+：.

WXM—煙

（參考公式：7----------，a=y-bx^

以2-n（x）2

3.（2019?湖南長郡中學(xué)高考模擬（理））某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)

查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）

數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)2515020025022510050

（1）已知此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N（〃,210）,〃近似為這1000人得分的平均值（同一組中

的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），請利用正態(tài)分布的知識(shí)求P（36<Z<79.5）；

（2）在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案.

（i）得分不低于〃的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于〃的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi);

（ii）每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和相應(yīng)的概率如下表.

贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)/元2040

3

概率

44

現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記X為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：7210?14,5，若X則z>（〃一b<X十b）=o.6827，

-2。vXK〃+2b）=0.9545,尸（〃—死■<XW〃+3b）=0.9973.

4.（2020?黑龍江南崗?哈師大附中高三其他（理））”市某企業(yè)堅(jiān)持以市場需求為導(dǎo)向，合理配置生產(chǎn)資源，

不斷改革、探索銷售模式.下表是該企業(yè)每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量工（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)總成本（萬

元）的五組對照數(shù)據(jù).

產(chǎn)量x（件）12345

生產(chǎn)總成本y（萬元）3781012

（I）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，若用最小二乘法進(jìn)行線性模擬，試求）'關(guān)于x的線性回歸直線方程￥=隊(duì)+3

〃——

^x^-nxy

參考公式：b=------,B=y—，工?

X-

/=!

<II）記第（I）問中所求）'與％的線性回歸直線方程§=必+務(wù)為模型①，同時(shí)該企業(yè)科研人員利用計(jì)

算機(jī)根據(jù)數(shù)據(jù)又建立了）'與龍的回歸模型②：y=1x2+l.其中模型②的殘差圖（殘差=實(shí)際值-預(yù)報(bào)值）

如圖所示：

模型①

模型②

請完成模型①的殘差表（見答題卡）與殘差圖，并根據(jù)殘差圖，判斷哪一個(gè)模型更適宜作為）‘關(guān)于人的回

歸方程？并說明理由；

（m）研究人員統(tǒng)計(jì)歷年的銷售數(shù)據(jù)，得到每噸產(chǎn)品的銷售價(jià)格q（萬元）是一個(gè)與月產(chǎn)量匯相關(guān)的隨機(jī)

變量，其分布列為:

q9-x14-x1-x

p0.50.30.2

結(jié)合你對（II）的判斷，當(dāng)月產(chǎn)量工為何值時(shí)，月利潤的預(yù)報(bào)期望值最大?

5.（2020?山東青島