重難點(diǎn)突破之概率與數(shù)列綜合（解析版）

重難點(diǎn)突破02概率與數(shù)列綜合

【例1】投擲一枚均勻的骰子，每次擲得的點(diǎn)數(shù)為1或6時(shí)得2分，擲得的點(diǎn)數(shù)為2,3,4,

5時(shí)得1分；獨(dú)立地重復(fù)擲一枚骰子，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分.

（1）設(shè)投擲2次骰子，最終得分為X,求隨機(jī)變量X的分布與期望；

（2）設(shè)最終得分為"的概率為A，證明：｛5-匕-｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列比』的通項(xiàng)公式.

【解答】解：（1）X的可能取值為2,3,4,

124

尸(X=3)=2x—x—=—,

339

p(X=4)=-x-=-,

339

；.X的分布列為:

X234

P44￡

999

數(shù)學(xué)期望E(X)=2xd+3xd+4xL§.

9993

71

證明：（2）由題意知只只-2（"-3），

月一匕7=-；區(qū)7-只一2），

八1227“2

2333913

｛匕-匕―｝是以g為首項(xiàng)，-g為公比的等比數(shù)列，

?記-加=3（-，"2），

當(dāng)〃..2時(shí)，尺=《+(￡—片)+(月-鳥(niǎo)）+…+區(qū)一只T）

21廠/1、/1、2/I、n-2]

=g+§x[l+(-§)+(_?+-+(--)J

當(dāng)”=1時(shí)，上式也成立，

1

綜上：pn=--—x(--y-.

n4123

【變式訓(xùn)練1】某運(yùn)動(dòng)員多次對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，他第一次射擊擊中目標(biāo)的概率為士，由于受

5

心理因素的影響，每次擊中目標(biāo)的概率會(huì)受前一次是否擊中目標(biāo)而改變，若前一次擊中目標(biāo),

下一次擊中目標(biāo)的概率為士3；若第一次未擊中目標(biāo)，則下一次擊中目標(biāo)的概率為1

42

(1)記該運(yùn)動(dòng)員第〃次擊中目標(biāo)的概率為匕，證明：｛月-力2為等比數(shù)列，并求出｛匕｝的通

項(xiàng)公式；

(2)若該運(yùn)動(dòng)員每擊中一次得2分，未擊中不得分，總共射擊2次，求他總得分X的分布

列與數(shù)學(xué)期望.

3111

【解答】解：(1)由題意知，E陽(yáng)=；只+(1一月=

整理得，*_|=*|),

所以數(shù)列出-力7是以w1為首項(xiàng)，(1為公比的等比數(shù)列,

所以只-,

119

所以"一百%尸

(2)總得分X的所有可能取值為0,2,4,

311

P(X=0)=(l--)x(l--)=-,

33317

p(X=2)=_x(l__)+(1__)x-=—,

545220

339

p(X=4)=-x-=—,

5420

所以總得分X的分布列為

X024

P179

52020

1795

數(shù)學(xué)期望為E(X)=0xL+2x'+4x—=—.

520202

【變式訓(xùn)練2】第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦.在決賽中，

阿根廷隊(duì)通過(guò)點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國(guó)隊(duì)獲得冠軍.

(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大.假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右

三個(gè)方向射門(mén)，門(mén)將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門(mén)將

即使方向判斷正確也有士的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門(mén)將

3

在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；

(2)好成績(jī)的取得離不開(kāi)平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練

中，球從甲腳下開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨

機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住，記第〃次傳球之前

球在甲腳下的概率為P,,,易知口=1,2=0.

①證明：—g；為等比數(shù)歹U；

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,比較Pio與qw的大小.

【解答】解：(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,

在一次撲球中，撲至I點(diǎn)球的概率「=工義工＞＜工義3=1,

3339

所以P(X=0)=%)3=翡，P(X=D=C；?3|)2=券，P(X=2)=C；.(/.|=^

o1,1

P(X=3)=《(一)3=——

39729

所以X的分布列如下:

X0123

P512192241

729729729729

…、192124c1cl

E(X)=-----x1H-------x2H-------x3=-

7297297293

(2)證明：①第"次傳球之前球在甲腳下的概率為p“，

則當(dāng)九.2時(shí)，第1次傳球之前球在甲腳下的概率為Pi,

第"-1次傳球之前球不在甲腳下的概率為1-Pi,

貝IP?=P“—lX0+(1—P“T)X；=—gP,T+；，

Hn11z1、T712

171

所以｛「“-事是以;為首項(xiàng)，公比為-5的等比數(shù)列.

②由①可知=U"T+；'所以％=|(-1)9+；<；,

所以io=1o-A())=|[|-|(-|)9]>|>

故Ao<Qio■

【變式訓(xùn)練3】深圳中學(xué)足球社團(tuán)是一個(gè)受學(xué)生歡迎的社團(tuán).

(1)現(xiàn)社團(tuán)招新，需對(duì)報(bào)名者進(jìn)行“點(diǎn)球測(cè)試”來(lái)決定是否錄取，規(guī)則如下：踢點(diǎn)球一次，

若踢進(jìn)，則被錄?。蝗魶](méi)踢進(jìn)，則繼續(xù)踢，直到踢進(jìn)為止，但是每人最多踢點(diǎn)球3次.某同

學(xué)進(jìn)行“點(diǎn)球測(cè)試”，依據(jù)平時(shí)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，獲得其單次點(diǎn)球踢進(jìn)的概率為士，該同學(xué)每次

5

點(diǎn)球是否踢進(jìn)相互獨(dú)立.他在測(cè)試中所踢的點(diǎn)球次數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開(kāi)始隨機(jī)地將球傳給其他兩人中

的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定

每次傳球都能被接到.記開(kāi)始傳球的人為第1次觸球者，第"次觸球者是甲的概率記為只，

即￡=1.

⑴證明：數(shù)列｛月-g｝為等比數(shù)列:

5)判斷第19次還是第20次觸球者是甲的概率大.

【解答】解：(1)由題意，X可能取1,2,3,

則尸(X=1)=0.6,尸(X=2)=0.4x0.6=0.24,

3)=0.4x0.4=0.16,

X的分布列為：

X123

P0.60.240.16

即E（X）=1x0.6+2x0.24+3x0.16=1.56；

（2）證明：⑺第〃次觸球者是甲的概率記為匕，則當(dāng)”..2時(shí)，第"-1次觸球者是甲的概率

為匕7,第〃-1次觸球者不是甲的概率為1-匕7,

貝1《=￡一「0+（1-加）二=。（1-小

從而尺又用T=|，

二是以g為首項(xiàng)，公比為-;的等比數(shù)列；

（萬(wàn)⑶=|（j尸+/9=|（-3+*，

片9＞鳥(niǎo)。，故第19次觸球者是甲的概率大.

【變式訓(xùn)練4】隨著疫情的有效控制，某校學(xué)生開(kāi)始返校復(fù)課學(xué)習(xí).為了減少學(xué)生就餐時(shí)的

聚集排隊(duì)時(shí)間，學(xué)校食堂從復(fù)課之日起，每天中午都會(huì)提供A、B兩種套餐（每人每次只能

選擇其中一種），經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A類(lèi)套餐的概率為士、選擇8類(lèi)套餐

3

的概率為1而前一天選擇了A類(lèi)套餐第二天選擇A類(lèi)套餐的概率為1上、選擇8套餐的概率

34

為三3；前一天選擇B類(lèi)套餐第二天選擇A類(lèi)套餐的概率為1七、選擇B類(lèi)套餐的概率也是1上，

422

如此往復(fù).記某同學(xué)第"天選擇A類(lèi)套餐的概率為匕.

（1）記高三某宿舍的3名同學(xué)在復(fù)課第二天選擇A類(lèi)套餐的人數(shù)為X,求X的分布列并求

E（X）；

（2）證明數(shù)列［勺-|1是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛月｝的通項(xiàng)公式；

（3）為了貫徹五育并舉的教育方針，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)意識(shí)，一個(gè)月后學(xué)校組織學(xué)生利用課

余時(shí)間參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，其中有20位學(xué)生負(fù)責(zé)為全體同學(xué)分發(fā)套餐.如果你是組長(zhǎng)，

如何安排分發(fā)4、3套餐的同學(xué)的人數(shù)呢，說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）第二天選擇A類(lèi)套餐的概率？=2x!+Lx1=L,

34323

第二天選擇B類(lèi)套餐的概率用=±x±+LxL=4,

34323

故3人在第二天的有X個(gè)人選擇A套餐，則X的可能取值為0、1、2、3,

17

根據(jù)尸(X=Q=C；(Y(?3/(A=O,1,2,3),

則尸(X=0)=C；(g)°x(1)3=],

尸(X=l)="xg)2=；

17?

P(X=2)=C^X(-)2X-=-)

171

P(X=3)=C：x(-)3x(-)°=—,

則X的分布列為

X0123

P8421

279927

QJ?1

故石(X)=0x——+lx—+2x—+3x——=l.

279927

ii912

(2)依題意，Pn+]=PnX-+(X-Pn)x_,則只+「二=一4(只

94

當(dāng)〃=1時(shí)，可得4----=—，

1515

數(shù)列:匕V是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.P

（3）由（1）知：月,=|一［,（-:）、

???月0。*，即第30次以后購(gòu)買(mǎi)A套餐的概率約為*.

3055

2

貝lj20x—=8,20-8=12,

5

負(fù)責(zé)A套餐的8人，負(fù)責(zé)8套餐的12人.

【變式訓(xùn)練5】安慶市某學(xué)校高三年級(jí)開(kāi)學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯?jiān)谛Ｊ程镁筒腿藬?shù)增多，

為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個(gè)餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳

乙，經(jīng)過(guò)一周左右統(tǒng)計(jì)調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是

25%、選擇餐廳乙就餐的概率為75%,前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概

率是50%、選擇餐廳甲就餐的概率也為50%,如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐

的概率是:，擇餐廳乙就餐的概率是（，記某同學(xué)第〃天選擇甲餐廳就餐的概率為匕.

（1）記某班級(jí)的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X,求X的分布列，并求E（X）；

（2）請(qǐng)寫(xiě)出匕M與弓（〃eN*）的遞推關(guān)系；

（3）求數(shù)列｛QJ的通項(xiàng)公式并幫助學(xué)校解決以下問(wèn)題：為提高學(xué)生服務(wù)意識(shí)和團(tuán)隊(duì)合作精

神，學(xué)校每天從20個(gè)班級(jí)中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服務(wù)工作，根據(jù)

上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：（1）第二天選擇A類(lèi)套餐的概率+=

a34323

第二天選擇3類(lèi)套餐的概率用=4x±+LxL='，

34323

記3人在第二天的有X個(gè)人選擇A套餐，X的所有可能取值為0,1,2,3,

12

則P（X=口=C；（?氣§）3*（k=0,1,2,3）,

故X的分布列為：

X0123

P8421

279927

Q421

故￡(X)=0x——+lx—+2x—+3x——=l.

279927

（2）依題意，只M=^x；+（1-尺）xg,即月M=_:勺+g（“eN*）.

二月+1_:=_；（q一,"?」，"€?/*）,

,，?4

當(dāng)71=1時(shí)，可得［=—，

1515

數(shù)列［匕-2｝是首項(xiàng)為3公比為_(kāi)1的等比數(shù)列勺=2一史.（一3”.

I511545154

.?.月0。*,即第30次以后購(gòu)頭A套餐的概率約為*,

3055

，負(fù)責(zé)A套餐的8人，負(fù)責(zé)6套餐的12人.

【變式訓(xùn)練6】某超市開(kāi)展購(gòu)物抽獎(jiǎng)送積分活動(dòng)，每位顧客可以參加“（〃€"*,"..2）次抽獎(jiǎng),

每次中獎(jiǎng)的概率為工，不中獎(jiǎng)的概率為4，且各次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立.規(guī)定第1次抽獎(jiǎng)時(shí)，若中

33

獎(jiǎng)則得10分，否則得5分.第2次抽獎(jiǎng)，從以下兩個(gè)方案中任選一個(gè)：

方案①：若中獎(jiǎng)則得30分，否則得。分；

方案②：若中獎(jiǎng)則獲得上一次抽獎(jiǎng)得分的兩倍，否則得5分.

第3次開(kāi)始執(zhí)行第2次抽獎(jiǎng)所選方案，直到抽獎(jiǎng)結(jié)束.

(1)如果〃=2,以抽獎(jiǎng)的累計(jì)積分的期望值為決策依據(jù)，顧客甲應(yīng)該選擇哪一個(gè)方案？并

說(shuō)明理由.

(2)記顧客甲第，次獲得的分?jǐn)?shù)為Xg=l,2,…，”)，并且選擇方案②.請(qǐng)直接寫(xiě)出E(XR)

與頤X,)的遞推關(guān)系式，并求E(Xs)的值.(精確到0.1)參考數(shù)據(jù)：(1)7?0.059.

【解答】解：(1)若甲第2次抽獎(jiǎng)選方案①，兩次抽獎(jiǎng)累計(jì)積分為

則J的可能取值為40,35,10,5.

p(^=40)=-x-=l,

3