山西省晉城市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省晉城市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5毫米的黑色筆跡簽字筆寫(xiě)在答題卡上.4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知點(diǎn)在雙曲線(，)的一條漸近線上，則該雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由題意得，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在一條漸近線上，所以，所以，所以該雙曲線的離心率.故選：D.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)積，則的值為（）A.9 B.5 C. D.【答案】C【解析】數(shù)列前項(xiàng)積，即，則當(dāng)時(shí)，，兩式相除，得，所以.故選：C.3.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則角的大小為（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】由余弦定理可得，所以.由正弦定理可得，則，又，故.故選：B.4.已知圓柱的底面半徑為，高為，如圖，矩形是圓柱的軸截面，點(diǎn)是圓柱下底面圓上一點(diǎn),且滿足，則異面直線與所成角的余弦值為（）A B. C. D.【答案】A【解析】連接，∵為底面圓的直徑，∴，∵，∴，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，即如圖：在圓柱中可得，，∴以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，設(shè)直線與的夾角為，則.故選：A.5.已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且與軸的正半軸交于點(diǎn)，若滿足的點(diǎn)恰好在橢圓上，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，故為的中點(diǎn)，故，故，而，故，其中整理得到：，故，故，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故選：D.6.定義行列式，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】由題意可得，.由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以原式.故選：A.7.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，直線的斜率一定存在，所以設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，顯然，設(shè)Ax1,y1，B由，可得，所以，，所以，所以.所以的面積為.故選：A.8.已知函數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，令，∵，∴是奇函數(shù)，，∵，∴單調(diào)遞減∴是上的增函數(shù).由題可得對(duì)恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立.令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線：，圓：的半徑為2，點(diǎn)在圓上，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.直線與圓相離C.過(guò)圓心且與直線垂直的直線方程為D.到直線的距離等于的點(diǎn)只有1個(gè)【答案】BD【解析】對(duì)于A，圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑，由圓的半徑為2，則，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)橹本€方程為，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)橹本€垂直的直線斜率為，則過(guò)圓心且與直線垂直的直線方程為，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閳A心到直線的距離，由，所以到直線的距離等于的點(diǎn)只有1個(gè)，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的最大值為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象【答案】ABD【解析】A，因?yàn)?，所以函?shù)的最大值為，故A正確；B，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故B正確；C，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是先減后增，故C錯(cuò)誤；D，將函數(shù)圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到的圖象，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，故D正確.故選：ABD.11.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則B.滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.若動(dòng)點(diǎn)滿足，則PM的最小值為D.若點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，且，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由題意得，，，四邊形是矩形，則，在中，，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，在中，，，由余弦定理可得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以AB為直徑的半圓，半徑長(zhǎng)為1，則軌跡長(zhǎng)度為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是以，分別為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為橢圓，是橢圓的中心，則橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心的距離的最小值為短半軸長(zhǎng)，由，，得短半軸長(zhǎng)為，則PM的最小值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，又，則，則，所以，解得，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知首項(xiàng)為2的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為_(kāi)_____.【答案】70【解析】因?yàn)?，所以?shù)列的首項(xiàng)為，故，所以，故數(shù)列的前5項(xiàng)和為.故答案為：7013.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若雙曲線的左支上一點(diǎn)滿足，以為圓心的圓與的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】由正弦定理，可知，又，由雙曲線定義，可知，解得，，又，所以為的靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以，，因?yàn)橐詾閳A心的圓與的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn)，所以，所以.又在中，，所以，所以，得，則，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.14.已知在平面內(nèi)，點(diǎn)Px0,y0到直線（，）的距離.此公式可推廣到空間內(nèi),為求解點(diǎn)到平面的距離多添了一種方法.現(xiàn)在空間直角坐標(biāo)系中,定義：平面的一般方程為(,)，則點(diǎn)到平面的距離.如圖，底面邊長(zhǎng)與高都為2的正四棱錐中，點(diǎn)到側(cè)面的距離等于______.（備注：不在同一條直線上的任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面）【答案】【解析】如圖，以底面的中心為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面PAB的一般方程為（，），因?yàn)椴辉谕粭l直線上的任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，所以將坐標(biāo)代入，得解得，，，由題知不全為0，所以，所以，即，所以點(diǎn)到側(cè)面PAB的距離.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在上.（1）求拋物線的方程；（2）若是拋物線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)線段AF的中點(diǎn)向軸引垂線，垂足為點(diǎn)，且，求四邊形的面積.解：（1）因?yàn)閽佄锞€：過(guò)點(diǎn)，所以，，則拋物線方程為.（2）由題可得，設(shè)Ax0,y0，則，，所以，.因?yàn)椋?，解得或（舍），故，，?又點(diǎn)，，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以四邊形的面積為.16.如圖，三棱柱中，，，，，.（1）求證：平面；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）在中，由余弦定理，可得，則，化簡(jiǎn)得，解得，則有，所以，又，平面ABC，所以平面ABC，又平面ABC，所以，又，，平面，平面，所以平面.（2）由（1）易知，AC，BC兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量為n1=則，可得，所以，令，則，，設(shè)平面的法向量為，則,可得,令，則，，故，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，如圖，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)與左右焦點(diǎn)圍成的陰影部分的面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.解：（1）由題意，得，則，.又陰影部分的面積為，得，即，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)Ax1,y1，B①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，即，，因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，則，即，得，又在橢圓上，所以，解得，，所以.②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為.由，消得，則，，，因?yàn)橐訟B為直徑圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，則，即，故，即，整理得.又，故.又到直線AB的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，即.又，所以面積最大值為.18.已知數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式分別是點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),即點(diǎn),且滿足.（1）若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且是和的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和；（2）若，設(shè)過(guò)兩點(diǎn)，的直線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，，則，①又因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，所以，即，整理得，②由①②解得，所以，又因?yàn)椋?，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故數(shù)列的前10項(xiàng)和為.（2）由，得，則點(diǎn)，點(diǎn).所以，所以直線的方程為，令，可得，所以，所以，所以，故，兩式相減得，所以.19.幾何學(xué)伴隨著人類(lèi)文明而產(chǎn)生，對(duì)人類(lèi)文明進(jìn)步作出了不可磨滅的貢獻(xiàn).在現(xiàn)代數(shù)學(xué)里，幾何學(xué)與代數(shù)、分析、數(shù)論等多個(gè)方向關(guān)系極為密切，幾何的思想成為了數(shù)學(xué)最重要的思想之一，幾何對(duì)物理、化學(xué)、生物、工程等各個(gè)領(lǐng)域也有著極其重要的作用.目前，幾何學(xué)大致包含了歐式幾何、射影幾何、解析幾何等幾類(lèi)不同思路的研究方法.其中，射影幾何學(xué)中的極點(diǎn)與極線理論對(duì)于研究圓錐曲線提供了新的思考方式.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)（不是坐標(biāo)原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為：.已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，對(duì)于橢圓，