山東省百校大聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期12月學(xué)情診斷數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省百校大聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期12月學(xué)情診斷數(shù)學(xué)試題2024.12注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置.2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，的共軛復(fù)數(shù)是.故選：A.2.已知，，若，則實數(shù)的取值構(gòu)成的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得.當(dāng)時，，滿足；當(dāng)時，因為，所以或，解得或.故選：C.3.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，為函數(shù)的兩個極值點，則（）A.1 B.3 C. D.【答案】B【解析】由得，，令，得，且不是該方程的根.易知判別式大于0，因為為函數(shù)的兩個極值點，是方程的兩正根，由韋達定理可得，，因為為等差數(shù)列，所以.故選：B.4.已知點為外接圓的圓心，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，，即，即為的中點，所以是圓的直徑.又因為，所以是以為直角的等腰直角三角形.所以，，所以在上的投影向量為.故選：B.5.已知為兩個不同的平面，為兩條不同的直線，則的一個充分不必要條件可以是（）A.與內(nèi)所有的直線都垂直 B.，，C.與內(nèi)無數(shù)條直線垂直 D.，，【答案】D【解析】A項，由直線與平面垂直的定義可知與內(nèi)所有的直線都垂直是的充要條件，選項A錯；B項，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，缺少條件，如圖長方體中，設(shè)平面為平面，設(shè)平面為平面，直線為，則，滿足，，，但，不與平面垂直，故不能推出，故條件“，，”也不是的充分不必要條件，選項B錯；C項，如圖長方體中，設(shè)平面為平面，直線為，則直線與平面內(nèi)無數(shù)條與垂直的直線都垂直，但，不與平面垂直，故由與內(nèi)無數(shù)條直線垂直不能推出，所以不是的充分不必要條件，選項C錯；D項，由，，得，又因為，所以；反之，由推不出，，，所以，，是的一個充分不必要條件，選項D正確.故選：D.6.把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則函數(shù)的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于選項A，若，則把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到，由，故圖象不關(guān)于點中心對稱，故A錯；對于選項B，若，則把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到，由，故圖象不關(guān)于點中心對稱，故B錯；對于選項C，若，則把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到，由，可知圖象關(guān)于點中心對稱，故C正確；對于選項D，若，則把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到，由，故圖象不關(guān)于點中心對稱，故D錯.故選：C.7.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.253【答案】A【解析】因為，所以，則，，，所以.故選：A.8.已知函數(shù)的定義域是，其導(dǎo)函數(shù)滿足，且有，，則（）A.1022 B.1024 C.2046 D.2048【答案】C【解析】由可得，其中為常數(shù)，令得，又已知，，則有，即，故，令，則，.故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.所以，故.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，為實數(shù)，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】A項，由單調(diào)遞增，知，故選項A正確；B項，時選項B不正確；C項，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因為，所以等號不成立，故選項C正確；D項，構(gòu)造函數(shù)，，所以單調(diào)遞增，又，得，故選項D不正確.故選：AC.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是周期函數(shù)C.關(guān)于直線對稱 D.當(dāng)時，【答案】BCD【解析】A項，，，得，所以不是偶函數(shù)，故選項A錯誤；B項，，所以是以為周期的周期函數(shù)，故選項B正確；C項，，所以關(guān)于直線對稱，故選項C正確；D項，由關(guān)于直線對稱，只需看當(dāng)時，是否成立.當(dāng)時，，所以，即；又因為，所以，所以，即，所以，故選項D正確.故選：BCD.11.如圖，在三棱錐中，兩兩垂直且，分別為線段上異于端點的動點，滿足，，下列說法正確的是（）A.三棱錐的外接球的表面積是B.當(dāng)時，線段的最小值是C.當(dāng)時，三棱錐的體積是定值D.若空間中的點滿足且，則滿足條件的點所形成的軌跡長度為【答案】ACD【解析】A項，三棱錐的外接球即邊長為1的正方體的外接球，其直徑，所以表面積為，故A正確；B項，在三棱錐中，因為兩兩垂直，平面，且，所以平面.如圖1所示，在線段上取一點D，使得，即得且，再由平面可得平面，而平面，故.又因為，所以且，所以可得，故B錯誤；C項，因為，所以，即，又因為，所以，再由可得，點N到平面的距離等于點D到平面的距離，故有，因為平面，所以即為三棱錐的高，從而，故三棱錐的體積是定值，故C正確；D項，由可知動點在以為直徑的球上，由可知動點也在以為直徑的球上，故點的軌跡是分別以為直徑的兩球相交所得的圓，設(shè)圓心為.取中點，中點，則即為兩球球心.則垂直于相交圓所在的平面，由球的對稱性可知，垂足為.如圖2，如圖在過兩球心的軸截面中，兩圓相交弦即為相交圓的直徑，則.其中，，如圖3，連接，由平面，平面，則，即.中，，所以，則，所以，如圖2在中，，即相交圓半徑為.所以點P所形成的軌跡長度即圓周長為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_____.【答案】【解析】因為，所以，所以.故答案為：.13.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為_____.【答案】【解析】設(shè)圓錐底面圓半徑為，母線長為，高為.如圖，由側(cè)面展開圖是一個半圓可知，，得，即，又圓錐的表面積為，則得，故高，所以圓錐體積.故答案為：.14.已知外接圓的半徑為2，是的面積，分別是三個內(nèi)角的對邊，若不等式恒成立，則的最大值為_____；點為外接圓上的任意一點，當(dāng)取得最大值時，的取值范圍是_____.【答案】①.②.【解析】由題意要使不等式恒成立，則，由外接圓半徑為，可知當(dāng)為等邊三角形時，，且，則有.下面證明對于任意的三角形都有.證明過程如下：由余弦定理與，則，即.當(dāng)且時等號成立，即為等邊三角形時等號成立，故.所以，當(dāng)取得最大值，為等邊三角形.如圖所示，取AB的中點D，且，則有，由圖可得，所以的取值范圍是.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列為正項數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.解：（1）解法一（構(gòu)造常數(shù)列）：由，且，可得，故數(shù)列是恒為的常數(shù)列，所以，又因為數(shù)列為正項數(shù)列，所以.解法二（累加法）：由題意得：且，有，，，，將以上各式相加，得，將代入上式即得，且當(dāng)時也成立，所以，又因為數(shù)列為正項數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，令，其前項和為，對任意的，，則，又因為，所以.16.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.解：（1）根據(jù)正弦定理，可化為，由.因，所以，故有，即有，因為，所以，故有，所以.（2）因為為銳角三角形，由（1）已得，則有，解得.由正弦定理可得，所以有，所以，因為，所以，所以，所以面積的取值范圍是.17.如圖，在正四棱柱中，底面邊長是1，點，，分別在側(cè)棱，，上，且，，，四點共面.設(shè)直線、與平面所成的角分別為、.（1）設(shè)平面與平面相交于直線，求證：當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，求平面與平面所成角的余弦值的最大值.（1）證明：由，平面，平面可得，平面，再由平面，平面平面，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以.在正四棱柱中，，均垂直于平面，所以直線、與平面所成的角分別為，，即，，又因為，，所以，從而；（2）解：以為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，所以，，設(shè)平面的法向量，則有，令，則有，，所以，平面的法向量，平面與平面所成角為，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即平面與平面所成角的余弦值的最大值為.18.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的圖象經(jīng)過的所有的定點坐標(biāo)，并寫出函數(shù)的一條以上述一個定點為切點的切線；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，證明：.（1）解：因為，，其他函數(shù)值均與a有關(guān)，所以的圖象經(jīng)過的所有定點的坐標(biāo)為和，又因為，若以為切點，則切線斜率為，切線方程為；若以為切點，則切線斜率為，切線為；所以切線方程為（或）.（2）解：因為，①當(dāng)時，恒成立，所以當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由，得或.當(dāng)，即時，恒成立，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，即時，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，即時，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（3）證明：當(dāng)時，.令，則令，，則在上單調(diào)遞增.又因為，，所以存在，使得，即，即.當(dāng)時，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，單調(diào)遞增.所以.所以也即.19.一般地，對于無窮數(shù)列，我們稱冪級數(shù)即為無窮數(shù)列的母函數(shù)，例如：數(shù)列的母函數(shù)為.附公式：，其中.（1