湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，所以.故選：B.2.若集合，則集合的子集的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】，所以集合A子集的個數(shù)為4．故選：C.3.設(shè)為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，則【答案】D【解析】A選項(xiàng)，如圖1，滿足，，但不平行，A錯誤；B錯誤，如圖2，滿足，，，但不平行，B錯誤；C選項(xiàng)，如圖3，滿足，，，但不平行，C錯誤；D選項(xiàng)，若，由線面平行的判斷定理可得，D正確.故選：D4.在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，若，則等于（）A.10 B.100 C.110 D.120【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，則，又因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.5.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學(xué)依次選一個作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個吉祥物都喜歡，如果讓三位同學(xué)選取禮物都滿意，則選法有()A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】若同學(xué)甲選牛，那么同學(xué)乙只能選狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種任意選，所以共有若同學(xué)甲選馬，那么同學(xué)乙能選牛、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種任意選，所以共有所以共有種故選B6.已知圓，直線，l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)弦長最短時，直線l的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑，直線，可知直線過定點(diǎn)，斜率為，因?yàn)?，則點(diǎn)在圓內(nèi)，可知當(dāng)時，弦長最短，又因?yàn)?，可知直線的斜率，即，所以直線l的方程為，即.故選：C.7.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，則在上恒成立，可知在上單調(diào)遞增，則，可得，即.故選：C.8.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過左焦點(diǎn)作直線與圓切于點(diǎn)，與雙曲線右支交于點(diǎn),且滿足,，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】∵為圓上的點(diǎn)，，，∴是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，，且，又，，是圓的切線，，在中，又有，，，故雙曲線的離心率為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某校1500名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的競賽成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則（）A.頻率分布直方圖中a的值為0.005 B.估計這40名學(xué)生的競賽成績的第60百分位數(shù)為75C.估計這40名學(xué)生的競賽成績的眾數(shù)為80 D.估計總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為225【答案】AD【解析】由，可得，故A正確；前三個矩形的面積和為，所以這名學(xué)生的競賽成績的第百分位數(shù)為，故B錯誤；由成績的頻率分布直方圖易知，這名學(xué)生的競賽成績的眾數(shù)為，故C錯誤；總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故D正確.故選：AD10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)有最大值【答案】BC【解析】由題意可知：當(dāng)時，（不恒為0）；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.可知：A錯誤；B正確；且函數(shù)在處取得極大值，故C正確；雖然確定的單調(diào)性，但沒有的解析式，故無法確定的最值，故D錯誤；故選：BC.11.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列命題正確的是（）A.若為等差數(shù)列，則，，仍為等差數(shù)列B.若為等比數(shù)列，則，，仍為等比數(shù)列C.若為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列D.若為正項(xiàng)等比數(shù)列，則為等差數(shù)列【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)AC：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，同理可得，所以，所以仍為等差數(shù)列，故A正確；因?yàn)椋瑒t，所以為等差數(shù)列，故C正確；對于選項(xiàng)B：取數(shù)列為，當(dāng)為偶數(shù)時，，則不能成等比數(shù)列，故B錯誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則（定值），所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D正確.故選：ACD.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于P，Q，與C相交于M，N，的中點(diǎn)為G，的中點(diǎn)為H，則（）A. B.C.的最大值為16 D.當(dāng)最小時，直線的斜率不存在【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，若一條直線的斜率不存在時，則另一條直線斜率為0，此時與拋物線只有1個交點(diǎn)，不合要求，故兩直線斜率均存在且不為0，由題意得，設(shè)直線方程為，聯(lián)立與得，，易知，設(shè)，則，則，，則，A正確；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到，由于兩直線均過焦點(diǎn)且垂直，可得，故，B錯誤；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為16，C錯誤；D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故，所以，由于兩直線均過焦點(diǎn)且垂直，可得，則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，當(dāng)時，取得最小值，此時，故當(dāng)最小時，直線的斜率不存在，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以切線斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：.故答案為：14.已知，則__________.【答案】【解析】由得，所以，兩邊平方得，解得.故答案為：15.某高中計劃2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名學(xué)生志愿者到A、B、C三個社區(qū)協(xié)助反詐宣傳工作，每個社區(qū)至少安排1名志愿者，每個志愿者只能安排到1個社區(qū)，則所有排法的總數(shù)為________．【答案】150【解析】先將學(xué)生安排出去，共有種排法，若5名學(xué)生都去同一個社區(qū)，共有種排法；若5名學(xué)生去2個社區(qū)（每個社區(qū)至少安排1名志愿者），共有種排法；所以符合題意的所有排法的總數(shù)為.故答案為：150.16.若函數(shù)有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】，令，，顯然函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)有2個零點(diǎn)，等價于有兩個根，即有兩個根，設(shè)過原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為，切點(diǎn)為，因，所以，解得，，得切線方程為，如下圖，作出函數(shù)的圖像及其過原點(diǎn)的切線，可知當(dāng)，即時有兩個交點(diǎn)，即有兩個根．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù).（1）求的極值；（2）當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時，曲線與軸僅有一個交點(diǎn)？解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，則x＝－或x＝1.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－)－(－，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)的極大值是f(－)＝＋a，極小值是f(1)＝a－1.(2)函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足夠大的正數(shù)時，有f(x)＞0，x取足夠小負(fù)數(shù)時，有f(x)＜0，曲線y＝f(x)與x軸至少有一個交點(diǎn)．由(1)知f(x)極大值＝f(－)＝＋a，f(x)極小值＝f(1)＝a－1.∵曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點(diǎn)，∴f(x)極大值＜0或f(x)極小值＞0，即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，∴當(dāng)a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)時，曲線y＝f(x)與x軸僅有一個交點(diǎn)．18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）底面，底面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為．19.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（1）求B；（2）若的中線長為，求面積的最大值．解：（1）在中，由正弦定理得：，而，所以，化簡得，因?yàn)?，則，，即，所以，又因?yàn)?，所以，?（2）由是的中線，可知，所以，即，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以三角形面積，即的面積的最大值為.20.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對任意正整數(shù)n，有，且．（1）求和的值，并猜想的通項(xiàng)公式；（2）證明第（1）問猜想的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．解：（1）由題意對任意正整數(shù)n，有，令時，，即，可得；令時，，即，可得；由、、猜想：.（2）由（1）可知：；當(dāng)時，，則，即，即，故時，，且也適合上式，所以.（3）由（2）可得，故，則，可得，所以，由于，可知，所以.21.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)滿足.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).設(shè)直線和直線相交于點(diǎn)，直線和直線相交于點(diǎn)，直線與軸交于.證明：是定值.解：（1）由題，，所以，解得.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，直線的方程為.聯(lián)立直線與橢圓的方程，消得，從而由韋達(dá)定理得.由(1)知，所以直線和的方程分別為聯(lián)立直線和，可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足，解得，即點(diǎn)總在直線上.同理可得點(diǎn)也在直線上，所以直線的方程為.因?yàn)?，所以，其中分別為點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo).聯(lián)立直線和直線，得;聯(lián)立直線和直線