中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)模型-費(fèi)馬點(diǎn) 壓軸好題（解析版）

旋轉(zhuǎn)模型一一費(fèi)馬點(diǎn)壓軸好題（解析版）

1.（2023秋?蕭山區(qū)期中）如圖，已知/BAC=60°,AB=4,AC=6,點(diǎn)尸在△ABC內(nèi)，將△APC繞著點(diǎn)A逆時(shí)

針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△AEP.貝！JAE+P3+PC的最小值為（）

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題.

【分析】連接8凡過(guò)點(diǎn)8作BOLAR與AE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，由旋轉(zhuǎn)可知/B4E=/CAF=60°,AP=AE,

PC=EF,AC=AP=6,于是可得△從「￡為等邊三角形，進(jìn)而得至UAE+PB+PC=PE+P3+E尸，利用含30度

的直角三角形性質(zhì)可得AO=-AB=2,BD=\~AD=療，最后利用勾股定理求出8尸的長(zhǎng)即可.

2

【解答】解：如圖，連接8尸，過(guò)點(diǎn)8作BOLAR與AF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，

則乙4。2=90。，

:將△APC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到

：.ZPAE=ZCAF^6Q°,AP^AE,PC=EF,AC=AF=6,

.?.△APE為等邊三角形，

：.AE=PE,

：.AE+PB+PC=PE+PB+EF,

:PB+PE+EF2BF,

當(dāng)點(diǎn)8、P、E在同一條直線上時(shí)，PB+PE+EF取得最小值為8尸，即AE+PB+PC取得最小值為B凡

'：ZBAC=6Q°=ZCAE,

：.ZBAD=6Q°,

AZABD=30°,

：.AD=^AB=2,BD=RAD=e、R,

2

：.DF=AD+AF=2+6=8,

在RtABDF中，BF=JBD2旬產(chǎn)=V（243）2+82=

J.AE+PB+PC取得最小值為2>/19.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形性質(zhì)、勾股定理，熟練

掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.（2023秋?翠屏區(qū)校級(jí)月考）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在AABC內(nèi)存在一點(diǎn)P,使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小.人

們稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)陰+PB+PC的值為費(fèi)馬距離.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角AABC中，費(fèi)馬點(diǎn)尸滿(mǎn)足NAP3

=ZBPC=ZCPA=120°,如圖，點(diǎn)尸為銳角AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且必=3,PC=4,ZABC=60°,則費(fèi)馬距離

【考點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題；數(shù)學(xué)常識(shí).

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解.

VZAPB=ZBPC=ZCE4=120,ZABC=6Q°,

?,.Zl+Z3=60°,Zl+Z2=60°,Z2+Z4=60°,

.\Z1=Z4,Z2=Z3,

:.△BPCs^APB

.PC=PB

*PBPA'

即PB2=12

：.PB=2y/3.

J.PA+PB+PC^+lyp；

故答案為：7+2j§.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定和性質(zhì).

3.(2022秋?大冶市期末)如圖，D是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，連接AO,BD,CD,已知8。=8,CD=3,則當(dāng)

線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，

①NBDC=60°；

②AD的最小值是5.

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【分析】以為邊向外作等邊三角形瓦汨，連接CE,判定△A3。/△C3E,即可得出CE=AD,再根據(jù)C,D,

E三點(diǎn)共線時(shí)，CE有最小值，即可得到的最小值為5,此時(shí)/8OC=60°.

【解答】解：如圖所示，以8。為邊向外作等邊三角形連接CE,

ABDE,△ABC均為等邊三角形，

；.BE=BD,AB=BC,NABC=/DBE=6Q°,AZABD=ZCBE,

rAB=CB

在△AB。和△CBE中，＜ZABD:ZCSE-

BD=BE

:.AABD咨ACBE(SAS),：.CE=AD,

；BE=BD=DE=8,CD=3,

...當(dāng)C,D,E三點(diǎn)共線時(shí)，CE有最小值，

:.CE=DE-CD=8-3=5,

的最小值為5,此時(shí)NBDC=60°.

故答案為：①60°；②5.

￡

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)

鍵是以BD為邊向外作等邊三角形BDE,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論.

4.(2023春?沈陽(yáng)期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,點(diǎn)B分別是y軸，x軸正半軸上的點(diǎn)，且。1=08,

△AOC是等邊三角形，且點(diǎn)C在第二象限，M為NAOB平分線上的動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到

ON,連接CMAM,BM.

(1)求證：AAMO當(dāng)ACNO；

(2)若A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4)；

①當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②當(dāng)AM+BM+OM的值最小時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【分析】(1)先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OM=ON,ZNOA=]5°,進(jìn)而可求得/AOM=/CON=45°,再結(jié)合。4

=OC,依據(jù)"SAS''即可判定△AMO和△CN。全等；

(2)首先確定當(dāng)AM+BM為最小時(shí)，點(diǎn)A、M、B在同一條直線上，此時(shí)由04=08=4,平分/A0B即可

得出點(diǎn)M為為的中點(diǎn)，進(jìn)而可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)連接MN,過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)E,作的垂直平分線交x軸于點(diǎn)R由(1)可知：AM=CN,由轉(zhuǎn)

轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△。跖V為等邊三角形，進(jìn)而得AM+8M+0M=CN+2M+MN,因此當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，就

是CN+BM+MN的值最小，此時(shí)點(diǎn)8,M,N,C在同一條直線上，可由/OMB=120°,BOM=45°,求出/

0BM=15°,據(jù)此得N〃PE=30°,設(shè).ME=a,貝。0E=a,MF=BF=2a,EF=Ma，再根據(jù)0B=0E+EF+FB

=4即可求出a的值，從而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo).

【解答】（1）證明：平分NAOB,

ZAOM=45a,

由旋轉(zhuǎn)的意義可知：ZMON=60°,OM=ON,

：.ZNOA=ZMON-ZAOM=60°-45°=15°,

VAAOC為等邊三角形，

：.OA=OC,ZCOA=60°,

AZCON=ZCOA-ZNOA=60°-15°=45°,

ZAOM=ZCON,

在△AMO和△CNO中，

'ON=ON

■/AO%—CON，

OA=OC

.?.△AMO會(huì)"NO（SAS）.

（2）解：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,2）,理由如下：

,:點(diǎn)、M為ZAOB平分線上的動(dòng)點(diǎn)，

.?.當(dāng)為最小時(shí)，點(diǎn)A、M,2在同一條直線上，

當(dāng)點(diǎn)A、M、B在同一條直線上時(shí)，

?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,OA=OB,

：.OA=OB=4,

'JOM^^-ZAOB,

點(diǎn)M為為AB的中點(diǎn)，

...點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,2）.

（3）解：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6-言，立岑￡）,理由如下：

連接MN,過(guò)點(diǎn)M作兒軸于點(diǎn)E,作線段8M的垂直平分線交x軸于點(diǎn)F,

貝ljBF=MF,

由（1）可知：dAMO公ACNO,

：.AM=CN,

由轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OM=ON,NMON=6U°,

為等邊三角形，

OM^MN,

：.AM+BMWM=CN+BM+MN,

當(dāng)AM+BM+OM的值最小時(shí)，就是CN+BM+MN的值為最小，

當(dāng)CN+8M+MN的值為最小時(shí)，點(diǎn)8,M,N,C在同一條直線上，

：.ZOMB^1SO°-60°=120°,

TOM平分NAO3,

：.BOM=45°,

：.ZOBM=180°-45°-120°=15°,

又MF=BF,

AZFMB=ZOBM=15°,

/.ZMFE^ZFMB+ZOBM^30°,

設(shè)則OE=〃，

在/中，ME=a,NMFE=30°,

：.MF=2ME=2a,

22

由勾股定理得：EF=VIF-IE=V(2a)2-a2=V3

:?FB=FM=2a,

；.OB=OE+EF+FB=4,

即：aR3a+Za=4，

解得：6-2百,

QO

...點(diǎn)M的坐標(biāo)為(立2應(yīng)，立士返■).

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段的

性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，理解兩點(diǎn)之間線段最短.

5.(2023秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中)如圖1,ZkABC為等腰直角三角形，/ABC=90°,點(diǎn)。為△ABC外一點(diǎn)，連接

AD,過(guò)點(diǎn)A作交BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作垂足為X,HD=BC.

(1)求證：AE=ADi

(2)如圖2,延長(zhǎng)到點(diǎn)G,連接G。，使得NHGD=NADH,尸為AC上一點(diǎn)，連接PG、FE,FE±AE.求

證：EF+GF=GD；

(3)如圖3,點(diǎn)K在△GHD內(nèi)，連接KG、KH、KD,當(dāng)KG+KH+KD的值最小時(shí)，直接寫(xiě)出NKG/f+NK。//的

值.

c

【考點(diǎn)】三角形綜合題.

【分析】⑴根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證得△EAB絲AWH(ASA),即可推出AE=A。；

(2)在OG上截取DN=ER連接⑷V,FN,FN與AG交手M,利用SAS可證得△A￡7名△的＞%,得出NEAP

=/DAN,AF=AN,進(jìn)而可得△AFN是等腰直角三角形，再證得AM平分/項(xiàng)N,利用等腰三角形的性質(zhì)可得

AM±FN,FM=MN,即AG垂直平分推出GF=GN,即可證得結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)GK交HD于S,延長(zhǎng)DK交GH于T,根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)模型可知：當(dāng)點(diǎn)K在△GH。內(nèi)，KG+KH+KD的值

最小時(shí)，ZGKD=ZDKH=ZGKH=120°,再運(yùn)用三角形外角性質(zhì)即可求得答案.

【解答】(1)證明：如圖1,

?.?△A2C為等腰直角三角形，ZABC=90°,；.AB=BC,

"：HD=BC,：.HD=AB,

\'AE±AD,AZ￡AD=90°,：.ZEAB+ZBAD^90°,

'：DH±AB,：.ZDHA=90°,：.ZBAD+ZHDA=90°,：.ZEAB=ZHDA,

rZABE=ZDHA

在△EA3和△AD8中，＜AB=HD，：./\EAB^/\ADH(ASA),J.AE^AD；

ZEAB=ZHDA

(2)證明：如圖2,在。G上截取DN=ER連接⑷V,FN,FN與AG交于M,

'：DH±AB,：.ZAHD=ZDHG=90°,:./HGD+/HDG=90°,

"?ZHGD=ZADH,：.ZADH+ZHDG=9Q°,即NAZ)G=90°,

'：FE±AE,：.ZAEF=90°,：.ZAEF=ZADH,

'AE=AD

在AAEF和△ADN中，ZAEF=ZADN，

EF=DN

/.AAEF^AADN(SAS),

/.ZEAF=ZDAN,AF=AN,

'：AE±AD,

：.ZEAD=90°,

即/及皿+/94可=90°,

：.ZEAN+ZEAF=9Q°,

即/超N=90°,

AAFN是等腰直角三角形，

?.?△ABC為等腰直角三角形，ZABC=90°,

：.ZBAC=ZBCA=45°,

即NE4M=45°,

ZNAM=45°=ZFAM,

平分NMN,

：.AM±FN,FM=MN,即AG垂直平分FN,

：.GF=GN,

,：DN+GN=GD,

：.EF+GF=GD；

(3)解：如圖3,延長(zhǎng)GK交”。于S,延長(zhǎng)OK交G”于T,

CK

；?NGKD=NDKH=/GKH=120°,

AZKGH+ZKHG=ZHKS=60°,/KHD+/KDH=NHKT=60°,

：?NTKS=NHKS+/HKT=12U°,

VZKHG+ZKHD=ZDHG=90°,

???/KGH+/KHG+/KHD+/KDH=120°,

:?/KGH+/KDH=120°-QKHG+NKHD)=120°-90°=30°.

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全

等三角形的判定和性質(zhì)，費(fèi)馬點(diǎn)模型，正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

6.(2024?銅梁區(qū)校級(jí)模擬)已知△A3C中A3=3C,點(diǎn)。和點(diǎn)E是平面內(nèi)兩點(diǎn)，連接AD,DE^WBE,/BED=

90°.

(1)如圖1,若BD=BA,NABC=2NO,BE=2,求AC的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,連接AO和CD,點(diǎn)方為AO中點(diǎn)，點(diǎn)G為。0中點(diǎn)，連接所和BG,若EF=BG,求證：ZBAC

=ZDBE；

(3)若/ABC=60°,AB=2,當(dāng)_LADW_BDWD取得最小值，且AE取得最大值時(shí)，直接寫(xiě)出的面積.

22

【考點(diǎn)】三角形綜合題.

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)8作瓦交AC于點(diǎn)X,證明(AAS)即可求解；

(2)取8。的中點(diǎn)T,連接TE,TF,TG,根據(jù)中位線的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，得

出ATFEmATBGCSSS),再證明得出/EBT=/GFT,進(jìn)而即可得證；

(3)將△BOC繞點(diǎn)8順時(shí)針轉(zhuǎn)60°得到△B。'A,將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAD,連接4V,

根據(jù)■^?加二^書(shū)0七口d1r*中+＜力＞60當(dāng)G，尸、D、c四點(diǎn)共線時(shí)，GC最小，進(jìn)而確定￡的位置，根據(jù)點(diǎn)E在

。為圓心，費(fèi)BD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)到圓上的距離關(guān)系，得出當(dāng)AE取得最大值時(shí)，E在A。的延長(zhǎng)線上，連

接OR過(guò)點(diǎn)E作ESL8。于點(diǎn)S,進(jìn)而解直角三角形，求得跖的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式，即可求解.

【解答】(1)解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作交AC于點(diǎn)H,

B

「△ABC中，AB=BC,

：.ZAHB=90°,ZABC=2ZABH,AC=2AH,

VZB￡D=90°,ZABC=2ZD,

：.ZAHB=ZBED,ZABH=ZD,

又<BD=BA,

：.(A4S),

：.AH=BE=2,

：.AC=2AH=4；

(2)解：如圖所示，取瓦)的中點(diǎn)T,連接ZE、TF、TG、FG,

又,：F,G是A。，DC,

TG卷BC,FG//AC,FT//AB,

?：AB^BC,

：.FT=TG,

:/BED=90°,T為8。的中點(diǎn)，

：.TE=BT,

在△7FE和△TBG中，

rTF=TG

TE二TB，

EF=BG

:.ATFE咨LTBGCSSS),

:./FTE=/GTB,

：.ZFTE-ZGTE=ZGTB-ZGTE,即ZFTG=ZETB,

又"：FT=TG,TE=EB,即=L-21,

TFTG

:ATBEsATFG,

/EBT=ZGFT,

"：FG//AC,FT//AB,

：.ZTFB=ZBAC,

：.ZBAC=ZDBE；

(3)解：:△ABC中，AB=BC,ZABC=60°,

：.AABC是等邊三角形，

如圖所示，將△BOC繞點(diǎn)B順時(shí)針轉(zhuǎn)60°得到△8。，/,將△A3。繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAD,連接

AA',

：.BD=BD',ZDBD'=60°,AB=A'B,AB//AC,則△DB。'是等邊三角形，△AAB是等邊三角形,

'：CD=AD',AA'=AC,

取瓦7,84的中點(diǎn)RG,則FG=^A77=1A「,

22"

?.?尸是8。的中點(diǎn),

:.DF±BD,Df=BDsin60*1

；?加號(hào)BD*CD=GF.FD+CDAg

???當(dāng)G,F,D,。四點(diǎn)共線時(shí)，GC最小，此時(shí)如圖所示,

工GC±BD\

*：A'D'//GF,

：.AD'LB'D,

???△A778是直角三角形，

???△ABO是直角三角形，

：.AD.LBD,

VZB￡>Z)'=60°,

AZ￡>'DA=30°,

W=yAD=DC>

設(shè)C￡)=〃，則A￡>'=〃，AD—2a,

在RtZkA。。中，DD'=eos30*XAD?/2a>

,..△BDO是等邊三角形，

???BD=DD'=V3a-

在RtZXAB。中，AB=2,

:.AB2=AD2+BD2,

A22=(V3a)2+(2a)2,

解得：a?Z，

7

??BDSan2^,AD=2a=-^>

取BD的中點(diǎn)O,連接A。，OE,

?：/BED=90°,

.?.點(diǎn)E在。為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

?-OE*1BD=^>

當(dāng)AE取得最大值時(shí)，E在AO的延長(zhǎng)線上，連接OF,過(guò)點(diǎn)E作ESL8D于點(diǎn)S,

在RtzXA。。中，OD=OE=QP-，

；.AD=VAD2-K)D2=J(呼、2,而、2_vn§

)(7)-7

477

AD-7"

??.m/AODRq^廠

7

：.SE=cosZSOEXOE=cosZAODXQE=,

133

ABDE的面積為加DXSE=y

/?XUS

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形中

位線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，相似三角形的性質(zhì)與判定，加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)

問(wèn)題，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角是直角；熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.(2023春?渠縣校級(jí)期末)如圖1,D、E、尸是等邊三角形ABC中不共線三點(diǎn)，連接A。、BE、CF,三條線段

兩兩分別相交于。、E、F.已知A尸=3。，NEDF=60；

(1)證明：EF=DF-,

(2)如圖2,點(diǎn)M是ED上一點(diǎn)，連接CM,以CM為邊向右作連接EG.若EG=EC+EM,CM=GM,

ZGMC=ZGEC,證明：CG=CM.

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)/與點(diǎn)。重合時(shí)，若CZJLAZ),GO=4,請(qǐng)問(wèn)在△ACD內(nèi)部是否存在點(diǎn)

P使得P到△AC。三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出距離之和的最小值；若不存在，試說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】三角形綜合題.

【分析】(1)可先推出再證△ACP也△A4。，即可得出結(jié)論；

(2)在EF上截取EN=EM,連接MN,可推出△EMN是等邊三角形，可證△NCMg/XEGAf,然后推出△CMG

是等邊三角形，從而問(wèn)題得證；

(3)先求得人。=當(dāng)且，將△。尸。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△DQG,連接AG,可得△POQ是等邊三角形，

3

于是AP+PD+CP=AP+PQ+QG,故當(dāng)A、P、Q、G共線時(shí)，AP+PD+CP最小=AG,最后解斜三角形ADG,從

而求得.

圖I

???AABC是等邊三角形，

：.AC=AB,

NAC3=60°,

???NCA尸+NDA8=60°,

VZE￡>F=60°,

AZDAB+ZABD=60°,

AZCAF=/ABD,

9：AF=BD,

：.AACF^ABAD(SAS),

：.CF=AD,

?；EF=DF,

：.EF=DF；

EF=DF,/EDF=6U°,

???△￡)￡尸是等邊三角形，

AZDEF=60°,

在EF上截取EN=EM,連接MN,

???CN=CE+EN=CE+EM=EG,

???△EMN是等邊三角形，

；?NCNM=60°,

?：/GMC=/GEC,Za=Zp,

NNCM=ZEGM,

■:CM=GM,

:?叢NCM沿叢EGM(SAS),

AZMEG=ZCNM=60°,

AZCEG=180°-/MEG-NFED=60：

:?/GME=NGEC=6U°,

■:CM=GM,

???△CMG是等邊三角形，

：.CG=CM；

(3)解：如圖3,

由(1)(2)知，

LDEF和△CDG是等邊三角形，

???NC尸。=60°,CD=GD=4,

9：CD±AD,

：.ZCDF=90°,

：.AD=CF=—工—=私且，

sin6O03

將△OPC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△OQG,連接AG,

：.AD^DQ,CP=QG,

：.APDQ是等邊三角形，

:?PD=PQ,

：.AP+PD+CP=AP+PQ+QG,

.,.當(dāng)A、尸、Q、G共線時(shí)，AP+PO+CP最小=AG,

作GH±AD于H,

在RtADGH中，

GH=1DG=2,

2

DH=^LDG=2?,

2

：.AH^AD+DH=幽+2加二獨(dú)巨,

33

?'-AG=VGH2+AH2

=^(-^-)2+2^

J.AP+PD+CP的最小值是.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和應(yīng)用等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵

是掌握“費(fèi)馬點(diǎn)”模型及“截長(zhǎng)補(bǔ)短”等題型.

8.定義：在一個(gè)等腰三角形底邊的高線上所有點(diǎn)中，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)等

腰三角形的“近點(diǎn)”，“近點(diǎn)”到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和叫做這個(gè)等腰三角形的“最近值”.

【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1,在等腰Rt^ABC中，/BAC=90°,AD為BC邊上的高，已知AD上一點(diǎn)E滿(mǎn)足NDEC=60°,

AC=4J6,求AE+BE+CE=；

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖2,等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為4V3,E為高線AD上的點(diǎn)，將三角形AEC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

得到三角形AFG,連接EF,請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究求出等邊三角形ABC的“最近值”；

【拓展提高】

(3)如圖3,在菱形ABCD中，過(guò)AB的中點(diǎn)E作AB垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AC、DB,已知

/BDA=75°,AB=6,求三角形AFB“最近值”的平方.

【分析】(1)4CDE為含30°角直角三角形，可求出DE、CE的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出結(jié)果.

(2)Z\AEF為等邊三角形，可得AE+BE+CE=EF+BE+GF,故當(dāng)B、E、F、G四點(diǎn)共線時(shí)，EF+BE+GF最小,

進(jìn)而可得NAEB=NAEC=NBEC=120°,即可求出結(jié)果.

(3)作DM_LAB于點(diǎn)M,可知EF=DM=1/2AB,進(jìn)而可推出4ABF為等腰直角三角形，結(jié)合(2)中的結(jié)論,

當(dāng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：ZAPF=ZBPF=ZAPB=120°時(shí)，PA+PB+PF最小，進(jìn)而結(jié)合(1)中方法求出結(jié)果.

ft?：(1)\'AB=AC,ZBAC=90°,AC=4vz6,

：.BD=CD=AD=4^3,

VZDEC=60",

：.DE=-^=4,

，3

：.AE=AD-DE=4VT-4,CE=BE=2DE=Q,

：.AE+BE+CE=4v/3-4+8x2=12+4^3;

故答靠為：12+4-T；

(2)由題意可得：AE=AF,ZEAF=60°,

.?.△EAF為等邊三角形，

.'.AE=EF=AF,

：.AE-^-BE+CE=EF+BE+GF,

VB,G兩點(diǎn)均為定點(diǎn)，

.?.當(dāng)B、E、F、G四點(diǎn)共線時(shí)，EF+BE+GF最＜h,

/.ZAEB=120°,ZAEC=ZAFG=120°,

/.ZBEC=120°,

二此時(shí)E點(diǎn)為等邊△ABC的中心，

：.AE+BE+CE=3AE=3X-^-=12,

，3

故等邊三角形ABC的“最近值”為12；

(3)如圖.過(guò)點(diǎn)D作。乂，48于點(diǎn)跖

VZBDA=75°,AB=AD,

.\ZDAB=30",

.\2DM=AD=AB,

,/ABHCD,

：.EF=DM,

：.2EF=AB,

.'.AE=BE=EF=3,

.?.△AEF與ABEF均為等腰直角三角形，

.?.△ABF為等腰直角三角形，

設(shè)P為EF上一點(diǎn)，由(2)得：NAPF=/BPF=NAPB=120°時(shí)，PA+PB+PF最小，

此時(shí)：EP=-^r=V3,

，3

：.AP=BP=2EP=2vT,FP=EF-EP=3-4

：.AP+BP+FP=2，可+2,彳+3—，言=3+3/言，

/.(AP+BP+FP)2=(3+3)2=36+18小

...三角形AFB“最近值”的平方為36+18、句.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形與四邊形綜合問(wèn)題，掌握費(fèi)馬點(diǎn)模型可幫助快速解題.

9.如圖①，P為aABC所在平面上一點(diǎn)，＜ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,則點(diǎn)P叫做AABC的費(fèi)馬點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)P為銳角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且/ABC=60。.

①求證：ZkABPs^BCP；

②若PA=3,PC=4,求PB的長(zhǎng).

(2)已知銳角三角形ABC,分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形ACD,CE和BD相

交于P點(diǎn)，連結(jié)AP,如圖②.

①求/CPD的度數(shù)；

②求證：P點(diǎn)為aABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【分析】(1)①由三角形內(nèi)角和定理可求NPBA+NPAB=60°,可證NPBC=NBAP,可得結(jié)論；

②由相似三角形的性質(zhì)可得器=器，即可求解；

(2)①由“SAS”可證可得N1=N2,即可求解；

4FDFc

②通過(guò)證明△ADFs/XCFP,可得可證△AFPs/\CDF,可得NAPF=NACD=60",可得結(jié)論.

CrrV

(1)①證明：?.?點(diǎn)P為銳角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn),

.-.ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,

.\ZPBA+ZPAB=60°,

VZABC=60",

.\ZABP+ZPBC=60°,

：.^PBC=ABAP,

又?.?/APB=NBPC,

/.△ABPooABCP,

②解：:?△ABPsZ^BCP,

.PA_PB

,""PB_~_PF,

又PC=4,

?3_PB

"~PB4",

：.PB=2V3;

②證明：VZ1=Z2,Z5=Z6,

如圖，:△ABE與△ACD都為等邊三角形，.,.△ADFooACFP,

二NBAE=NCAD=60°,AE=AB,AC=AD,.AF_DF

*'~CP"一~PF_*

.,.ZBAE+ZBAC=ZCAD+ZBAC,即NEAC=/BAD,

：.AF-PF=DF-CP,

在△ACE和AADB中，

\-^AFP=^CFD,

AC=AD

.,.△AFPooACDF,

NEAC=/BAD，

,EA=AB/.ZAPF=ZACD=60°,

：.^ACE^^ADB(SAS),.?.NAPC=NCPD+NAPF=120",

.'.Z1=Z2,/.ZBPC=120°,

o

VZ3=Z4,.,.ZAPB=360°-ZBPC-Z?4PC=120,

.-.ZCPD=Z6=Z5=600;；.P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，費(fèi)馬點(diǎn)的定義，以及

等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

10.［問(wèn)題情境】如圖1,在4ABC中，ZA=120°,AB=AC,BC=5V3,則4ABC的外接圓的半徑值為5.

【問(wèn)題解決】如圖2,點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且/BPC=90°,若AB=4,求AP的最小值.

【問(wèn)題解決】如圖3,正方形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為3J3cm的隔離區(qū)域設(shè)計(jì)圖，CE為大門(mén)，點(diǎn)E在邊

BC±,CE=V3cm,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)設(shè)立的一個(gè)活動(dòng)崗哨，到B、E的張角為120°,即ZBPE=120°,

點(diǎn)A、D為另兩個(gè)固