中考數(shù)學專項復習：古代數(shù)學文化中的二元一次方程組的應用（原卷版）

專題14古代數(shù)學文化中的二元一次方程組的應用（原卷版）

專題解讀：因為中考必考又有趣，所以練練很必要！

一、《算法統(tǒng)宗》里的二元一次方程組的應用

1.（2021秋?招遠市期末）程大位是我國明朝商人，珠算發(fā)明家，他60歲時完成的《直指算法統(tǒng)宗》是東

方古代數(shù)學名著，詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用法，書中有如下問題：一百饅頭一百僧，大僧

三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾丁，意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1

人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，大、小和尚各有多少人？請你解決這個問題.

程大位

2.（2022春?丹陽市期末）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，

一房七客多七客，一房九客一房空.”詩中后兩句的意思是：如果每一間客房都住7人，那么有7人無房

可??；如果每一間客房都住9人，那么就空出一間房.求該店有客房多少間？該批住店房客多少人？

3.（2022春?邦州區(qū)校級月考）我國明代數(shù)學讀本《算法統(tǒng)宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子,

若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩.問銀子共有多少兩？

4.（2020?蜀山區(qū)校級一模）《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“啞子來買肉，難言錢數(shù)目，一斤少三十，八兩多

十八，試問能算者，合與多少肉”，其大意是一個啞子來買肉，說不出錢的數(shù)目，買一斤（16兩）還差

30文錢，買八兩多十八文錢，求肉數(shù)和肉價，則該問題中，肉價是每兩多少文？

5.（2019?潁泉區(qū)模擬）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著之一，其中記載了這樣的數(shù)學問題：“用繩子測水

井深度，繩長的三分之一比井深多4尺；繩長的四分之一比井深多1尺，問繩長、井深各是多少

尺？若設這個問題中的繩長為x尺，求尤的值.

二、《九章算術》里的二元一次方程組的應用

6.（2022春?漂陽市期末）《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，卷七“盈不足中有題譯文如下：今有人合伙

買羊，每人出5錢，會差45錢：每人出7錢，會差3錢.問合伙人數(shù)、羊價各是多少？

7.（2022?安徽模擬）《九章算術》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典北作，書中有這樣一個記載：“今有黃金九枚，白

銀一十一枚，稱之重適等.交易其一，金輕十三兩.問金、銀一枚各重幾何？”意思是“甲袋中裝有黃

金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等.兩袋互相交

換1枚后.甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計）.問黃金、白銀每枚各重多少兩？”試求黃金、

白銀每枚的重量.

8.（2022春?銅山區(qū)期末）《九章算術》記載：“今有牛五、羊二，值金十九兩；牛二、羊五，值金十六

兩.問牛、羊各值金幾何？”譯文如下：“假設有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16

兩銀子.問每頭牛、每只羊分別值多少兩銀子？”

根據(jù)以上譯文，解決下列問題：

（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

（2）某人計劃用17兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），共有幾種不同的購買方

案？請列出所有可能的方案.

9.（2022春?青縣期末）閱讀下列材料:

《張丘建算經(jīng)》是一部數(shù)學問題集，其內容、范圍與《九章算術》相仿.其中提出并解決了一個在數(shù)學

史上非常著名的不定方程問題，通常稱為“百雞問題”：“今有雞母一值錢三，雞翁一值錢五，雞雛三值

錢一.凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何

譯文：每一只母雞值三文錢，每一只公雞值五文錢，每三只小雞值一文錢.現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞,

問這一百只雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？

結合你學過的知識，解決下列問題：

（1）若設母雞有x只，公雞有y只，

①小雞有只，買小雞一共花費文錢；（用含x,y的式子表示）

②根據(jù)題意，列出一個含有x,y的方程：；

（2）若對“百雞問題”增加一個條件母雞數(shù)量是公雞數(shù)量的4倍多2只，求此時公雞、母雞、小雞各

有多少只？

（3）除了問題（2）中的解之外，請你再直接寫出兩組符合“百雞問題”的解.

10.（2022?安徽一模）《九章算術》中有這樣一道題，原文如下：今有上禾六秉，損實一斗八升，當下禾一

十秉.下禾十五秉，損實五升，當上禾五秉.問：上、下禾實一秉各幾何？

大意為：今有上禾6束，減損其中之“實”1斗8升，與下禾10束之“實”相當；下禾15束，減損其

中之“實”5升，與上禾5束之“實”相當.問上、下禾每1束之實各為多少？

11.（2022?包河區(qū)校級一模）《九章算術》中記載這樣一道問題.

原文“今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕.一雀一燕交而處，衡適平.并燕、雀重一斤.問燕、

雀各重幾何？”

譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕.將1只雀、1只燕交

換位置而放，重量相等.5只雀、6只燕的總重量為1斤，問雀、燕每只各重多少斤？”

請解答上述問題.

12.（2022?安徽二模）我國古代的優(yōu)秀數(shù)學著作《九章算術》有一道“竹九節(jié)”問題，大意是說：現(xiàn)有一

根上細下粗共九節(jié)的竹子，自上而下從第2節(jié)開始，每一節(jié)與前一節(jié)的容積之差都相等，且最上面三節(jié)

的容積共9升，最下面三節(jié)的容積共45升，求第五節(jié)的容積，及每一節(jié)與前一節(jié)的容積之差.

請解答上述問題.

13.（2021春?同安區(qū)月考）我國古代數(shù)學名著《九章算術》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、

羊五，直金十六兩.”意思是：“5頭牛、2只羊，共值19兩銀子；2頭牛、5只羊，共值16兩銀子.

（1）求1頭牛、1只羊共值多少兩銀子？

以下是小慧同學的解答（請你補充完整）：

分析：設1頭牛值x兩銀子，1只羊值y兩銀子，根據(jù)題意，可列表分析：

品種單價個數(shù)總價合計所付銀兩

第一次牛X55x5x+2y19

羊y22y

第二次牛X216

羊y5

從而列出方程組:

產(chǎn)+2rI。①，則①+②，得____,所以，無+尸—.

\電一

小慧仔細觀察兩個方程未知數(shù)系數(shù)之間的關系，通過適當變形整體求得代數(shù)式的值，這種解題思想就是

我們通常所說的“整體思想”.

（2）運用“整體思想”嘗試解決以下問題；

對于實數(shù)x,y,定義新運算：x&y=ax+力-1,其中a,6是常數(shù).已知2笆）5=4,2便）3=2,求1（8）2的

值.

三、《孫子算經(jīng)》里的二元一次方程組的應用

14.（2022春?滑縣期末）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五

寸；屈繩量之，不足一尺，繩木各長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還余4.5尺，將

繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，問繩子、長木各長多少尺？請你算一算.

15.（2022?藍田縣二模）《孫子算經(jīng)》是我國古代重要的數(shù)學著作，其中有如下問題：今有人盜庫絹，不知

所失幾何，但聞草中分絹，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹.問人、絹各幾何？大意是：有幾

個盜賊偷了倉庫里的絹，不知道具體偷盜了多少匹絹，只聽盜賊在草叢中分絹時說“每人分6匹，會剩

下6匹；每人分7匹，還差7匹.”問有多少盜賊？多少匹絹？

16.（2021?安徽二模）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，一車空：二人共車，九人步，問

人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余1輛車：若每2人共乘一車，最

終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？

17.（2021?義安區(qū)二模）《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知一匹大

馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦.問有多少匹大馬、多少匹小馬？

18.（2021?雙陽區(qū)二模）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙兩人

2

各有若干錢.如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢48文；如果乙得到甲所有錢的『那么乙也共

有錢48文.甲、乙兩人原來各有多少錢?

19.（2020春?武川縣期中）“雞兔同籠”是我國古代著名的數(shù)學趣題之一.大約在1500年前成書的《孫子

算經(jīng)》中，就有關于“雞兔同籠”的記載“今有雉兔同籠，上有二十五頭，下有七十六足，問雉兔各幾

何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔關在一個籠子里，從上面數(shù)，有25個頭；從下面數(shù)，有76條

腿，問籠中各有幾只雞和兔？

20.（2018?利辛縣模擬）我國民間流傳著許多趣味算題，它們多以順口溜的形式表達，其中《孫子算經(jīng)》

中記載