中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：勾股定理中的最短路徑模型（原卷版+解析）

專題15勾股定理中的最短路徑模型

勾股定理中的最短路線問題通常是以“兩點之間，線段最短”為基本原理推出的。人們在生產(chǎn)、生活

實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。對于數(shù)學(xué)中的最短路線問題可以分為兩

大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對于平面內(nèi)的最短路線問題可先

畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對于幾何題內(nèi)問題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問題求解，

然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。

模型1.圓柱中的最短路徑模型

【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：

B

展開

圓柱

計算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問題時，要注意圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，利用兩點之間線段最短結(jié)合勾股定

理進(jìn)行求解，注意展開后兩個端點的位置，有時候需要用底面圓的周長進(jìn)行計算，有時候需要用底面圓周

長的一半進(jìn)行計算。

注意：1）運用勾股定理計算最短路徑時，按照展開一定點一連線一勾股定理的步驟進(jìn)行計算；

2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數(shù)。

【最值原理】兩點之間線段最短。

例L（2023春?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面周長為32cm,高為24cm,從圓柱底部A處

沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部B處做裝飾（點B在點A的正上方），則這條絲線的最小長度為（）

例2.（2023?重慶?八年級期末）如圖，圓柱形玻璃杯高14cm,底面周長為18cm,在外側(cè)距下底處1cm有一

只蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上端距開口處1cm的外側(cè)點處有一只蒼蠅，蜘蛛捕到蒼蠅的最短路線長

是cm.

s

例3.（2023春?河南新鄉(xiāng)?八年級新鄉(xiāng)市第十中學(xué)?？计谀┤鐖D，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好

從A點繞到正上方的B點，已知知圓柱底面周長是3m,高為16m,則所需彩帶最短是（）m.

A.8B.5C.20D.10

模型2.長方體中的最短路徑模型

【模型解讀】長方體中最短路徑基本模型如下:

長方體

計算跟長方體有關(guān)的最短路徑問題時，要熟悉長方體的側(cè)面展開圖，利用兩點之間線段最短結(jié)合勾股定理

進(jìn)行求解，注意長方體展開圖的多種情況和分類討論。

注意：1）長方體展開圖分類討論時可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；

2）兩個端點中有一個不在定點時討論方法跟第一類相同。

【最值原理】兩點之間線段最短。

例1.（2023?四川樂山?八年級統(tǒng)考期末）如圖，長方體的底面是邊長為1cm的正方形，高為4cm.如果從

點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點5,那么所用細(xì)線最短需要cm.

例2.（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）小南同學(xué)報名參加了學(xué)校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個長方體的兩

個側(cè)面，如圖所示，他根據(jù)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識準(zhǔn)確地判斷出：從點A攀爬到點2的最短路徑為米.

例3.（2023春?廣東八年級課時練習(xí)）棱長分別為5cm,3cm兩個正方體如圖放置，點尸在耳耳上，且

小女￡,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點P,需要爬行的最短距離是.

aG

例4.（2023春?山西大同?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒

有縫腺），一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角G處.若鉆=3,BC=4,CC1=5,則螞蟻爬行的

最短路程是（）

C.789D.12

模型3.階梯中的最短路徑模型

【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下:

階梯問題

注意：展開一定點一連線一勾股定理

【最值原理】兩點之間線段最短。

例1.（2023秋?山東棗莊?八年級?？奸_學(xué)考試）如圖一個三級臺階，它的每一級的長寬高分別是5cm,3cm

和icm,A和5是這個臺階的兩個相對的端點，點A上有一只螞蟻，想到點B去吃可口的食物，則螞蟻沿

著臺階面爬到點8的最短路程長為（）

A.10B.11C.12D.13

例2.（2023春?四川成都,九年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，ABCD是長方形地面，長AB=20m,寬

AT）=10m.中間豎有一堵磚墻高M(jìn)N=2m.一只螞蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它要走

的路程s取值范圍是.

例3.（2023春?重慶八年級課時練習(xí)）在一個長為5米，寬為3米的長方形草地ABCD上，如圖堆放著

一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬AD,木塊的主視圖是邊長為1米的正三角形，一只

螞蟻從點A處到C處需要走的最短路程是米.

AB

模型4.將軍飲馬與最短路徑模型

【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下:

將軍飲馬問題

解決線段之和最小值問題：對稱+連線，根據(jù)兩點之間線段最短解決。

注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問題需要先作對稱，再運用兩點之間線段最短的原理結(jié)合勾股定

理求解。

【最值原理】兩點之間線段最短。

例L（2023?四川廣安?統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁離

杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點8

處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為cm.（杯壁厚度不計）

例2.（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖，開口玻璃罐長、寬、高分別為16、6和6,在罐內(nèi)點E處有一

小塊餅干碎末，此時一只螞蟻正好在罐外長方形ABCD的中心H處,螞蟻到達(dá)餅干的最短距離是多少（：

A.7145B.^/205C.7277D.17

例3.（2023春?黑龍江齊齊哈爾?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他

正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所

走的最短路程是多少？

_______

I二匕

牧童/1

--A東

I

h-........小屋

課后專項訓(xùn)練

1.（2023春?山東德州?八年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一個圓柱體水晶杯（容器厚度忽略不計），其底面圓的周長

為16cm,高為15cm,在杯子內(nèi)壁離容器底部4.5cm的點8處有一滴蜂蜜，與蜂蜜相對，此時一只螞蟻正好

在杯子外壁，離容器上沿4.5cm的點A處，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為（）

----------

，一一1B

A.17cmB.10cmC.2^/75cmD.16cm

2.（2022秋?福建寧德?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為4cm,A是正方體的一個頂點，8是

側(cè)面正方形對角線的交點，一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點A爬到點2的最短路徑是（）

3.（2023?江西景德鎮(zhèn)?八年級統(tǒng)考期中）如圖，一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20、3、2,A

和B是這個臺階兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬

到B點最短路程是（）

A.20B.15C.25D.27

4.（2023秋?四川成都?八年級統(tǒng)考期末）一個長方體盒子的長、寬、高分別為15cm,10cm,20cm,點、B

離點C的距離是5cm,一只螞蟻想從盒底的點A沿盒的表面爬到點3,螞蟻爬行的最短路程是（）

15cm

A.lO&cmB.25cmC.5\/29cmD.5A/37CHI

5.（2023春?山東德州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱形玻璃容器高18cm,底面圓的周長為48cm,在外側(cè)

底部點A處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)頂端的點8處有一只蒼蠅，則蜘蛛捕獲蒼蠅所

走的最短路線長度（）

u------

s-------------

,

A.52cmB.30cmC.6A/73cmD.60cm

6.（2022秋?河南鶴壁?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在長為3,寬為2,高為1的長方體中，一只螞蟻從頂點A

出發(fā)沿著長方體的表面爬行到頂點B,那么它爬行的最短路程是.

-------------------

7.（2023春,四川綿陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，圓柱的底面半徑為9cm,高為8cm,螞蟻在圓柱側(cè)面爬行,

71

從點A爬到點B的最短路程是cm.

8.（2023春?山東德州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面直徑為一m,高AB=8m,按如圖所示的方式

71

纏繞細(xì)線，纏繞一周（不記接頭）至少需要長的細(xì)線.

9.（2022秋?黑龍江大慶?七年級大慶市第三十六中學(xué)?？计谀┰诘酌嬷睆綖?cm,高為3cm的圓柱體側(cè)

面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為（%取3）

10.（2023?四川成都?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖一只螞蟻從長為4cm,寬為3cm,高為2cm的長方體紙箱

A點沿紙箱爬到B點,那么它爬行的最短路線的長是cm

11.（2023?四川成都?八年級?？茧A段練習(xí)）一個長方體形盒子的長、寬、高分別為8cm,8cm,12cm,一

只螞蟻想從盒底的A點爬到盒頂?shù)?點，螞蟻要爬行的最短行程是cm.

12.（2023?四川成都?八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為8c機，底面周長為24c〃z,在杯內(nèi)

壁離底2cm的點8處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻

從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為cm（杯壁厚度不計）.

13.（2023春?山東青島?八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U形池，該U形池可

以看作是一個長方體去掉一個"半圓柱"而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為4m的半圓，其邊緣

AB=CD=20m,點E在8上，CE=2m,一滑板愛好者從U形池內(nèi)側(cè)的點A滑到點E,則他滑行的最短

距離約為m.（"取3）

14.（2023春?湖南邵陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在圓柱的截面ABCD中，AB=—,BC=32,動點P從

71

A點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到3C的中點S的最短距離為.

15.（2023春?福建福州?九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點尸，Q的坐標(biāo)分別為（5,0）,2）,

（“+2,2）,則V2PQ周長的最小值為

16.（2023春?湖南永州?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，臺階A處的螞蟻要爬到8處搬運食物，則它爬行的最

短距離為

17.（2023春?安徽六安?八年級?？计谥校┤鐖D，長方體盒子的長、寬、高分別是12cm,8cm,30cm,在A3的

中點C處有一滴蜜糖，一只小蟲從E處沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲爬行的最短路程.

18.（2023秋?浙江?八年級專題練習(xí)）如圖1,一只螞蟻要從圓柱的下底面的點A爬到上底面的點8處，求

它爬行的最短距離.已知圓柱底面半徑為R,高度為.小明同學(xué)在研究這個問題時，提出了兩種可供選擇的

方案，方案1：沿爬行；方案2：沿圓柱側(cè)面展開圖的線段爬行，如圖2.（萬取3）

（1）當(dāng)R=l,/i=4時，哪種方式的爬行距離更近？（2）當(dāng)R=l,為=1時，哪種方式的爬行距離更近？

⑶當(dāng)R與。滿足什么條件時，兩種方式的爬行距離同樣遠(yuǎn)？

圖1圖2

19.（2023春?安徽蚌埠?八年級?？计谥校┤鐖D，A,2兩個村莊在河的同側(cè)，兩村莊的距離為。千米，

"=13,它們到河的距離分別是1千米和3千米.為了解決這兩個村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河

CD邊上修建一水廠向48兩村輸送水.（1）在圖上作出向A,8兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時的水廠位置

M.（只需作圖，不需要證明）；⑵經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬元，鋪設(shè)水管的所有費用平均每千米為3萬

元，其他費用需5萬元，求完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元.

20.（2023春?山東德州?八年級統(tǒng)考期末）如圖1,C為線段30上一動點，分別過點8、。作鉆_L3D,即_L及）,

連接AC、EC.已知AB=2,DE=1,BD=8,設(shè)C￡>=x.

A

2

⑴用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長為.,；（2）求AC+CE的最小值

⑶根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請模仿圖1在網(wǎng)格中（圖2）構(gòu)圖并求代數(shù)式行1+J（3-尤>+4的最小值.

專題15勾股定理中的最短路徑模型

勾股定理中的最短路線問題通常是以“兩點之間，線段最短”為基本原理推出的。人們在生產(chǎn)、生活

實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。對于數(shù)學(xué)中的最短路線問題可以分為兩

大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對于平面內(nèi)的最短路線問題可先

畫出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對于幾何題內(nèi)問題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問題求解，

然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。

模型1.圓柱中的最短路徑模型

【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：

圓柱

計算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問題時，要注意圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，利用兩點之間線段最短結(jié)合勾股定

理進(jìn)行求解，注意展開后兩個端點的位置，有時候需要用底面圓的周長進(jìn)行計算，有時候需要用底面圓周

長的一半進(jìn)行計算。

注意：1）運用勾股定理計算最短路徑時，按照展開一定點一連線一勾股定理的步驟進(jìn)行計算；

2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數(shù)。

【最值原理】兩點之間線段最短。

例1.（2023春?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面周長為32cm,高為24cm,從圓柱底部A處

沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部8處做裝飾（點8在點A的正上方），則這條絲線的最小長度為（）

B

A

A.30cmB.40cmC.50cmD.60cm

【答案】B

【分析】要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)"兩點之間線段最短"得出結(jié)果，在求線段長時，借

助于勾股定理.

【詳解】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形AC9,則從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部2

處做裝飾，這條絲線的最小長度是長方形的對角線AB的長.

,?,圓柱的底面周長是32cm,高是24cm,;.筋2=322+242=1024+576=1600,??.AB=40（cm）.故選B.

【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓柱底面

周長，寬等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，"化曲面為平面”，用勾股定理解決.

例2.（2023?重慶?八年級期末）如圖，圓柱形玻璃杯高14cm,底面周長為18cm,在外側(cè)距下底處1cm有一

只蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上端距開口處1cm的外側(cè)點處有一只蒼蠅，蜘蛛捕到蒼蠅的最短路線長

【答案】15

【分析】展開后連接M，求出SF的長就是捕獲蒼蠅的蜘蛛所走的最短路徑，過S作SELCD于E,求出SE、

EF,根據(jù)勾股定理求出SF即可.

【詳解】解：如圖展開后連接求出SF的長就是捕獲蒼蠅的蜘蛛所走的最短路徑，

過S作SE_LC￡>于￡,貝IISEnBCn/xlgug(cm),￡^=14-1-1=12(cm),

在Rt^FES中，由勾股定理得：SF=\)SE2+EF2=792+122=15(cm),故答案為15.

【點睛】本題考查勾股定理、平面展開-最短路線問題，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，題目比較典型，難度適中.

例3.（2023春?河南新鄉(xiāng)?八年級新鄉(xiāng)市第十中學(xué)?？计谀┤鐖D，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好

從A點繞到正上方的8點，已知知圓柱底面周長是3m,高為16m,則所需彩帶最短是（）m.

A.8B.5C.20D.10

【答案】C

【分析】把曲面展開變?yōu)槠矫?，利用兩點間線段最短，再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，線段即為所需彩帶最短，由圖可知AC=3x4=12,5c=16,

團由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=A/122+162=20>故選C.

【點睛】本題考查兩點間線段最短和勾股定理在生活中的應(yīng)用.將曲面問題變?yōu)槠矫鎲栴}是解答本題關(guān)鍵.

模型2.長方體中的最短路徑模型

【模型解讀】長方體中最短路徑基本模型如下:

長方體

計算跟長方體有關(guān)的最短路徑問題時，要熟悉長方體的側(cè)面展開圖，利用兩點之間線段最短結(jié)合勾股定理

進(jìn)行求解，注意長方體展開圖的多種情況和分類討論。

注意：1）長方體展開圖分類討論時可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；

2）兩個端點中有一個不在定點時討論方法跟第一類相同。

【最值原理】兩點之間線段最短。

例L（2023?四川樂山,八年級統(tǒng)考期末）如圖，長方體的底面是邊長為1cm的正方形，高為4cm.如果從

點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點B,那么所用細(xì)線最短需要cm.

【答案】475

【分析】根據(jù)從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點B,則展開后AC=lx8=8cm,BC=4cm,由勾股

定理計算出A3的長，即可得到答案.

由勾股定理得：AB=y/AC2+BC2=782+42=780=475cm>故答案為：4下.

【點睛】本題考查了平面展開一最短路線問題和勾股定理的應(yīng)用，能正確畫出圖形是此題的關(guān)鍵.

例2.（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）小南同學(xué)報名參加了學(xué)校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個長方體的兩

個側(cè)面，如圖所示，他根據(jù)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識準(zhǔn)確地判斷出：從點A攀爬到點8的最短路徑為米.

【答案】80

【分析】利用立體圖形路徑最小值為展開平面圖的兩點間距離，再根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：平面展開圖為：

AB=7(5+3)2+82=872(米)，故答案為80.

【點睛】本題考查立體圖形中兩點間最短路徑問題，通用辦法是展開為平面圖形，兩點間最短路徑為兩點

線段長度，利用水平距離和豎直距離得到直角三角形，勾股定理求出兩點線段長度.熟悉立體圖形中兩點

間最短路徑問題的計算方法是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023春?廣東八年級課時練習(xí)）棱長分別為5cm,3cm兩個正方體如圖放置，點尸在月月上，且

月尸=；耳居，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點尸，需要爬行的最短距離是

【答案】475cm.

【分析】求出兩種展開圖F4的值，比較即可判斷;

【詳解】解：如圖，有兩種展開方法:

方法一國PA="(5+3)2+(3+iy=4&cm，方法二團PA=7(5+3+1)2+32=3JTUcm.

故需要爬行的最短距離是4指cm.故答案為：4^5cm.

【點睛】本題考查平面展開-最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

例4.（2023春?山西大同?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒

有縫腺），一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處.若AB=3,BC=4,CG=5,則螞蟻爬行的

最短路程是（）

D.12

【答案】A

【分析】求出螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A片到G，以及螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段B瓦到G的距離，再進(jìn)行

比較即可.

【詳解】解：螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段到C一爬過的路徑的長是4=/2+（4+5『=胸,

螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段B片到G,爬過的路徑的長是12="3+4）2+5」=774.

k>l2,最短路徑的長是4=故選A.

【點睛】此題考查了長方體展開圖的對角線長度求法，這種題型經(jīng)常在中考中出現(xiàn)，也是易錯題型，希望

能引起同學(xué)們的注意.

模型3.階梯中的最短路徑模型

【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下:

階梯問題

注意：展開一定點一連線一勾股定理

【最值原理】兩點之間線段最短。

例1.（2023秋?山東棗莊?八年級?？奸_學(xué)考試）如圖一個三級臺階，它的每一級的長寬高分別是5cm,3cm

和lcm,A和8是這個臺階的兩個相對的端點，點A上有一只螞蟻，想到點B去吃可口的食物，則螞蟻沿

著臺階面爬到點6的最短路程長為（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】D

【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進(jìn)行解答.

【詳解】解：如圖所示,

團三級臺階平面展開圖為長方形，寬為5,長為（3+l）x3=12,

國螞蟻沿臺階面爬行到3點最短路程是此長方形的對角線長，由勾股定理得.=后1運=13，

則螞蟻沿著臺階面爬到5點最短路程是13.故選：D.

【點睛】本題考查了平面展開圖中的最短路徑問題，熟練掌握平面展開圖及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

例2.（2023春?四川成都?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是長方形地面，長AB=20m,寬

AD=10m.中間豎有一堵磚墻高M(jìn)N=2m.一只螞蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它要走

的路程s取值范圍是

【答案】s226m

【分析】連接AC,利用勾股定理求出AC的長，再把中間的墻平面展開，使原來的長方形長度增加而寬度

不變，求出新長方形的對角線長即可得到范圍.

【詳解】解：如圖所示，將圖展開，圖形長度增加4m,

原圖長度增加4m,則AB=20+4=24m,連接AC,

??,四邊形ABC。是長方形，AB=24m,寬A￡）=10m,AC=^AB2+BC2=7242+102=26m?

螞蚱從A點爬到C點，它要走的路程s226m.故答案為：s16m.

【點睛】本題考查的是平面展開最短路線問題及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關(guān)鍵.

例3.（2023春?重慶八年級課時練習(xí)）在一個長為5米，寬為3米的長方形草地ABCD上，如圖堆放著

一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場地寬AD,木塊的主視圖是邊長為1米的正三角形，一只

螞蟻從點A處到C處需要走的最短路程是米.

【答案】375

【分析】如圖，將木塊展開，相當(dāng)于長方形草地的長多了正三角形的一個邊長，長方形的長為5+1=6米，

因為長方形的寬為3米,一只螞蟻從點A處到C處需要走的最短路程是對角線AC,利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，將木塊展開，相當(dāng)于長方形草地的長多了正三角形的一個邊長，

，長方形的長為5+1=6米，

長方形的寬為3米，，一只螞蟻從點A處到C處需要走的最短路程是對角線AC,

AC=VAB2+BC2=[G+3?=34米,故答案為3君-

【點睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意將木塊展開，再利用兩點之間線段最短是解題關(guān)鍵.

模型4.將軍飲馬與最短路徑模型

【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下:

將軍飲馬問題

解決線段之和最小值問題：對稱+連線，根據(jù)兩點之間線段最短解決。

注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問題需要先作對稱，再運用兩點之間線段最短的原理結(jié)合勾股定

理求解。

【最值原理】兩點之間線段最短。

例1.（2023?四川廣安,統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁離

杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點8

處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為cm.（杯壁厚度不計）

/---------、

X

、

、

A

【答案】10

【分析】如圖（見解析），將玻璃杯側(cè)面展開，作B關(guān)于所的對稱點根據(jù)兩點之間線段最短可知A9

的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】解：如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作8關(guān)于防的對稱點？，作交AE延長線于點￡）,

連接A8）

由題意得：DE=^BB'=lcm,AE=9-4=5（cm）,AD=AE+DE=6cm,

回底面周長為16cm,，8'￡>=；xl6=8（cm）,-1^B'=yjAD2+B'D~=10cm>

由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁8處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為AB'=10cm,故答案為：10.

【點睛】本題考查了平面展開一一最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計算是解

題的關(guān)鍵.同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

例2.（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖，開口玻璃罐長、寬、高分別為16、6和6,在罐內(nèi)點E處有一

小塊餅干碎末，此時一只螞蟻正好在罐外長方形ABC。的中心H處,螞蟻到達(dá)餅干的最短距離是多少（）

C.V277D.17

【答案】C

【分析】做此題要把這個長方體中螞蟻所走的路線放到一個平面內(nèi)，在平面內(nèi)線段最短，根據(jù)勾股定理即

可計算.

【詳解】解：①若螞蟻從平面A3CD和平面CDFE經(jīng)過,

螞蟻到達(dá)餅干的最短距離如圖1：H'E=J(8+6)2+(6+3)2=傷y,

圖1圖2

②若螞蟻從平面ABCD和下底面平面經(jīng)過，則螞蟻到達(dá)餅干的最短距離如圖2：HE=782+(3+6+6)2=17

團17＞厲7回螞蟻到達(dá)餅干的最短距離是后7,故選：C.

【點睛】考查了平面展開-最短路徑問題，此題的關(guān)鍵是明確兩點之間線段最短這一知識點，然后把立體的

長方體放到一個平面內(nèi)，求出最短的線段.

例3.(2023春?黑龍江齊齊哈爾?八年級校考階段練習(xí))如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他

正位于他的小屋2的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所

走的最短路程是多少？

小河

二匕

牧童八A

----A東

U----------小屋

【答案】17km

【分析】如圖(見詳解)，將小河看成直線MN,由題意先作A關(guān)于的對稱點A，，連接A3,構(gòu)建直角

三角形，則A'8就是最短路線；在RtZ\AZ>8中，ZA,Z)B=90°,BD=8km,AD=AD+AA,利用勾股定理

即可求出A3.

【詳解】如圖，做出點A關(guān)于小河的對稱點A,連接A'B交MN于點P,則AB就是牧童要完成這件事

情所走的最短路程長度.

A'

k

由題意知：A7)=4+4+7=15km,BD=8km,?D90?,

在RtZkA￡>3中，由勾股定理求得4:8=，4萬+3/)2=17km，

則他要完成這件事情所走的最短路程是17km.

【點睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，掌握軸對稱的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

課后專項訓(xùn)練

1.（2023春?山東德州?八年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一個圓柱體水晶杯（容器厚度忽略不計），其底面圓的周長

為16cm,高為15cm,在杯子內(nèi)壁離容器底部4.5cm的點8處有一滴蜂蜜，與蜂蜜相對，此時一只螞蟻正好

在杯子外壁，離容器上沿4.5cm的點A處，則螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為（）

<--------X

A.17cmB.10cmC.2^/75cmD.16cm

【答案】A

【分析】將圓柱體水晶杯側(cè)面展開，作A關(guān)于EG的對稱點A,根據(jù)兩點之間線段最短可知A'B的長度即為

所求.

【詳解】解：如圖是柱體水晶杯側(cè)面展開圖的一半，

作A關(guān)于EG的對稱點A,連接43,交EG于點尸，連接AF,則AE=AE=4.5cm,A^F=AF.

作A'DJ_BG交BG的延長線于點￡),則四邊形A'EGD是矩形，回DG=AE=4.5cm,AD=EG.

SAF+BF=AF+BF=AB,團A3即為最短距離，13底面周長為16cm,團AO=EG=^xl6=8(cm)

2

團高為15cm,在容器內(nèi)壁離容器底部4.5cm的點2處有一滴蜂蜜，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿

4.5cm與一滴蜂蜜相對的點A處，0BD=15-4.5+4.5=15（cm）,

0AB=yjA'D2+BD2=A/82+152=17（cm）.故選：A.

【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計算是解題

的關(guān)鍵.

2.（2022秋?福建寧德?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為4cm,A是正方體的一個頂點，B是

側(cè)面正方形對角線的交點，一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點A爬到點B的最短路徑是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)題意畫出相鄰的兩個展開圖，過8作于C,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

在Rt^ABC中，BC=2cm,AC=4+2=6cm,二AB=JBC?+AC」=6+6〉=2M（cm）,

從點A爬到點B的最短路徑是2Mcm,故選：A.

【點睛】本題考查了最短路線問題，勾股定理，將平面展開，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?江西景德鎮(zhèn)?八年級統(tǒng)考期中）如圖，一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20、3、2,A

和B是這個臺階兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬

到B點最短路程是（）

B

A.20B.15C.25D.27

【答案】C

【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進(jìn)行解答.

【詳解】解：如圖所示，

團三級臺階平面展開圖為長方形，長為20,寬為（2+3）x3=15,

團螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長，

由勾股定理得：AB=7152+202=25-則螞蟻沿著臺階面爬到8點最短路程是25.故選：C.

【點睛】本題考查了平面展開中的最短路徑問題，熟練掌握平面展開圖及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵.

4.（2023秋?四川成都?八年級統(tǒng)考期末）一個長方體盒子的長、寬、高分別為15cm,10cm,20cm,點、B

離點C的距離是5cm,一只螞蟻想從盒底的點A沿盒的表面爬到點5,螞蟻爬行的最短路程是（）

A.10&cmB.25cmC.5A/29CHID.5A/37CHI

【答案】B

【分析】將長方形的盒子按不同方式展開，得到不同矩形，求出不同矩形的對角線，最短者即為正確答案.

【詳解】解：①只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成個長方形，如圖1：

BSCD

Si

長方體的寬為10cm,高為20cm點8離點C的距離是5cm,

:.BD=CD+BC=10+5=15cm,AD=20cm,

，在直角三角形抽。中，根據(jù)勾股定理得：AB=+AD。=J15?+202=25;

②只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖2:

長方體的寬為10cm,高為20cm點3離點C的距離是5cm,/.BD=CD+BC=20+5=25cm,A￡）=10cm,

在直角三角形抽￡）中，根據(jù)勾股定理得：AB=^BDr+AD2=7252+102=5后cm；

③只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖3：

長方體的寬為10cm,高為20cm點B離點C的距離是5cm,AC=CD+AD=20+10=30cm,

在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得:AB=VAC2+BC2=73O2+52=5歷cm，

;25<5后<5j方.，螞蟻爬行的最短距離是25cm.故選：B.

【點睛】本題考查的是平面展開-最短路徑問題，根據(jù)題意畫出長方體的側(cè)面展開圖，解答時要進(jìn)行分類討

論，利用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?山東德州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱形玻璃容器高18cm,底面圓的周長為48cm,在外側(cè)

底部點A處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)頂端的點2處有一只蒼蠅，則蜘蛛捕獲蒼蠅所

走的最短路線長度（）

A.52cmB.30cmC.6773cmD.60cm

【答案】B

【分析】先把圓柱沿過8點的母線剪開，然后展開如圖，N點為點A展開后的對應(yīng)點，根據(jù)兩點之間線段

最短得到最短路線長度為的長度，然后根據(jù)勾股定理計算N3的長即可.

【詳解】解：把圓柱沿過2點的母線剪開，然后展開如圖，N點為點A展開后的對應(yīng)點，

<——、BM

------N

BM=1x48=24(cm),MN=18cm,[3BN=^BM2+MN2=A/242+182=30(cm),

El蜘蛛捕獲蒼蠅所走的最短路線長度為30cm,故選：B.

【點睛】此題考查了平面展開中的最短路徑問題，畫出正確的平面展開圖，在直角三角形中利用勾股定理

求解是解題的關(guān)鍵.

6.(2022秋?河南鶴壁?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在長為3,寬為2,高為1的長方體中，一只螞蟻從頂點A

出發(fā)沿著長方體的表面爬行到頂點B,那么它爬行的最短路程是.

【答案】3亞

【分析】把此長方體的一面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點A和8點間的線段長，即可得到螞蟻

爬行的最短距離.應(yīng)該是前面和上面展開，利用勾股定理可求得.

【詳解】解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進(jìn)行大、小比較，再從各個路線中確定最短的

路線.(1)展開前面上面，由勾股定理得A5?=(2+1)2+3?=18；

(2)展開前面右面，由勾股定理得AB?=(2+3)2+F=26；

(3)展開前面和左面，由勾股定理得AB?=(3+iy+22=20.

所以最短路徑的長為A2==故答案為：3后.

【點睛】本題考查了平面展開-最短路線問題，勾股定理應(yīng)用."化曲面為平面"是解決"怎樣爬行最近"這類

問題的關(guān)鍵.

7.（2023春?四川綿陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，圓柱的底面半徑為9cm,高為8c〃z,螞蟻在圓柱側(cè)面爬行,

71

從點A爬到點B的最短路程是cm.

【分析】將圓柱側(cè)面展開，由圖形可知螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點A爬到點8的最短路程即為A3的長，再

由勾股定理求出.

【詳解】解：根據(jù)圓柱側(cè)面展開圖，

圓柱的底面半徑為9cm,高為8cm，，底面圓的周長為2><9x%=12cm,.,.BCn8cm,AC=—xl2=6cm,

Tt712

由圖形可知螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點A爬到點8的最短路程即為AB的長，AB=VAC2+BC2=10cm，

故答案為：10.

【點睛】本題考查了平面展開最短路線問題，勾股定理，將立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形求解是解題的關(guān)鍵.

19

8.（2023春?山東德州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，圓柱的底面直徑為一m,高AB=8m,按如圖所示的方式

71

纏繞細(xì)線，纏繞一周（不記接頭）至少需要長的細(xì)線.

【分析】將圓柱體的側(cè)面展開，根據(jù)勾股定理求出AC=AC=&2+8?=10（m）,即可得出答案.

團圓柱的底面直徑為一m,團35'予x—=12（m）,^\BC=B'C=6m,

71p

0ZB=ZB,=9O°,AB=A3'=8m,ElAC=AC=762+82=10（m）,

團按如圖所示的方式纏繞細(xì)線，纏繞一周（不記接頭）至少需要繩子長度為10+10=20（m）.故答案為：20m.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將圓柱體的側(cè)面展開，找出最短距離.

9.（2022秋?黑龍江大慶?七年級大慶市第三十六中學(xué)?？计谀┰诘酌嬷睆綖?cm,高為3cm的圓柱體側(cè)

面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為（支取3）

【答案】3A/10cm

【分析】將圓柱體側(cè)面展開后利用兩點之間線段最短得到最短長度時的線段，最后利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：由題意得，絲帶繞圓柱一圈半，側(cè)面展開后如圖所示：

得到的矩形的長為圓柱底面周長的L5倍，即A瓦=1.5義2萬=L5x2x3=9

22

BtC=3AC=JAB；+BQ=V9+3=3回回絲帶的最短長度為3Mcm.

4Bi

【點睛】本題主要考查兩點間最短距離的計算，熟練掌握勾股定理及兩點之間最短距離的判斷是解決本題

的關(guān)鍵.

10.(2023?四川成都?八年級?？茧A段練習(xí))如圖一只螞蟻從長為4cm,寬為3cm,高為2cm的長方體紙箱

A點沿紙箱爬到B點，那么它爬行的最短路線的長是cm

【答案】屈

【分析】先將圖形展開，再根據(jù)兩點之間線段最短，再由勾股定理求解即可.

【詳解】解：當(dāng)如圖1所示時，AB=^/(3+4)2+22=753(cm),

當(dāng)如圖2所示時，AB=^(2+3)2+42=741(cm),

當(dāng)如圖3所示時，AB=^(2+4)2+32=745(cm),團屈＜后(屈，

回它所行走的最短路徑的長是GTcm.故答案為：741-

【點睛】本題考查的是平面展開-最短路徑問題，此類問題應(yīng)先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再

確定兩點之間的最短路徑.一般情況是兩點之間，線段最短.在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題是解

題的關(guān)鍵.

11.(2023?四川成都?八年級?？茧A段練習(xí))一個長方體形盒子的長、寬、高分別為8cm,8cm,12cm,一

只螞蟻想從盒底的A點爬到盒頂?shù)?點，螞蟻要爬行的最短行程是cm.

【答案】20

【分析】如圖所示，將長方體各個頂點標(biāo)上字母，然后可分①情況一：經(jīng)過前側(cè)和右側(cè)，②情況二：經(jīng)過

前側(cè)和上側(cè)，然后根據(jù)長方體展開圖及勾股定理可求解路線長，最后進(jìn)行比較即可.

【詳解】解：如圖所示,將長方體各個頂點標(biāo)上字母,

①情況一：經(jīng)過前側(cè)和右側(cè)，如圖所示，0A5=V122+162=20cm：

②情況二：經(jīng)過前側(cè)和上側(cè)，如圖所示，0AB=V82+2O2=4729cm，020<4729,

故螞蟻爬行的最短路程為20cm；故答案為20.

【點睛】本題主要考查立體幾何展開圖、實數(shù)的大小比較及勾股定理，熟練掌握立體幾何展開圖、實數(shù)的

大小比較及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

12.（2023,四川成都?八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為8cm,底面周長為24c〃z,在杯內(nèi)

壁離底2aw的點8處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻

從外壁A處到內(nèi)壁5處的最短距離為cm（杯壁厚度不計）.

【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A，，根據(jù)兩點之間線段最短可知A，B的長度即為所求.

【詳解】解：由題意得，如圖為圓柱體展開圖，

A'

a

4\、

E---------

則作A關(guān)于CO的對稱點A,則螞蟻爬行最短路程為A3的長度，A'C=AC=3cm,

過B作BELAC于E點，在RAA'BE中由勾股定理得：A'B=y/BE2+A'E2>

t.tBE=—x24=12cm,AE=8-2+3=9cm,AB=\5cm,即螞蟻爬行最短距離為15c〃?.

2

【點睛】本題考查了平面展開一最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計算是解題

的關(guān)鍵.同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

13.（2023春?山東青島?八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U形池，該U形池可

以看作是一個長方體去掉一個"半圓柱"而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為4m的半圓，其邊緣

AB=CD=20m,點E在。。上，CE=2m,一滑板愛好者從U形池內(nèi)側(cè)的點A滑到點E