浙教版八年級數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：全等三角形壓軸題（七大壓軸母題型歸納）（原卷版）

特訓(xùn)01全等三角形壓軸題(七大壓軸母題型歸納)

目錄：

題型1:垂線模型；

題型2：一線三等角模型；

題型3：手拉手模型；

題型4：旋轉(zhuǎn)模型；

題型5：倍長中線模型；

題型6：截長補短模型；

題型7：作平行線法、作垂線法。

題型1：垂線模型

1.在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且于。，BELMN于E.

(1)當(dāng)直線繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：

①△AD8ACEB；

②DE=AD+BE；

⑵當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，AD=5,BE=2,求線段。E的長.

2.已知，A3C中，ZBAC=90°,AB=AC,直線加過點A,且9_Lm于D,CEJ_〃2于E,當(dāng)直線機

繞點A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，我們可以發(fā)現(xiàn)DE=3D+CE.

(1)當(dāng)直線，"繞點A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，問：BD與DE、CE的關(guān)系如何？請予證明；

(2)直線機在繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BD、DE、CE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？(直接寫出，不必證

明)

3.如圖1,ZDAB=90°,CD,于點。，點E是線段上的一點，若DE=AB,DC=AE.

圖1圖2

⑴判斷CE與BE的關(guān)系是一

(2)如圖2,若點E在線段D4的延長線上，過點。在的另一側(cè)作。_LA。，并保持CD=AE,DE=AB,

連接CB,CE,BE,試說明(1)中結(jié)論是否成立，并說明理由.

題型2：一線三等角模型

4.在直線加上依次取互不重合的三個點RAE,在直線加上方有AB=AC,且滿足

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a.

r

(1)如圖1,當(dāng)&=90。時，猜想線段DE,BACK之間的數(shù)量關(guān)系是;

(2)如圖2,當(dāng)0＜。＜180。時，問題(1)中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明

理由；

(3)應(yīng)用：如圖3,在ABC中，/B4c是鈍角，AB=AC,NBAD＜NCAE,NBDA=NAEC=NBAC,直線加

與CB的延長線交于點/，若BC=3FB,ABC的面積是12,求，EBD與ZXACE的面積之和.

5.感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1,點A在直線DE上，且/8D4=N&4C=NAEC=90。，

像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型.

⑴如圖2,RtZVIBC中，/4方=90°,CB=。，直線ED經(jīng)過點C,過A作AD_LED于點。，過B作班」ED

于點E.求證：BEC―CDA.

(2)如圖3,在.ABC中，。是3C上一點，ACAD=90°,AC=AD,

ADBA=ADAB,AB=2也,求點C到AB邊的距離.

(3)如圖4,在YABCD中，E為邊8C上的一點，尸為邊AB上的一點.若

EF

ADEF=4B,AB=10,BE=6,求——的值.

DE

6.通過對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題:

圖1

［模型呈現(xiàn)］如圖1,NBAD=90°,AB=AD,過點8作BC，AC于點C,過點。作OE1AC于點E.求

證：BC=AE.

［模型應(yīng)用］如圖2,4￡，鉆且的=的，3CLCD且3C=CD,請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所

圍成的圖形的面積為.

［深入探究］如圖3,ZBAD=ZCAE^90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且BCLAF于點F,DE

與直線AF交于點G.若3c=21,AF=12,則aADG的面積為.

題型3：手拉手模型

7.如圖，A,B,E三點在同一直線上，ABC,.CDE都是等邊三角形，連接AD,BE,OC■.下列結(jié)

論中正確的是()

?^ACD^^BCE；

②XCPQ是等邊三角形；

③OC平分/49E；

④XBPOWEDO.

C.①②④D.①②③④

8.如圖，一ABC是一個銳角三角形，分別以A3、AC為邊向外作等邊三角形△AB。、AACE,連接班、

8交于點尸，連接AF.

B

(1)求證：ABE^AADC；

⑵求/EFC的度數(shù)；

(3)求證：■平分/DFE.

9.在.ABC中，?B90?,。為BC延長線上一點，點E為線段AC,CD的垂直平分線的交點，連接E4,

EC,ED.

E

(1)如圖1,當(dāng)ZBAC=40°Bt,則ZAED=°；

(2)當(dāng)NS4c=60。時，

①如圖2,連接AO,判斷△AED的形狀，并證明；

②如圖3,直線C尸與ED交于點尸，滿足NCFD=NC4￡.P為直線CF上一動點.當(dāng)PE-PD的值最大時,

用等式表示PE,PD與之間的數(shù)量關(guān)系為,并證明.

10.點。為一ABC外一點，ZACB=90°,AC=BC.

E

⑴如圖1,ZDCE=90°,CD=CE,求證：/ADC=/BEC；

(2)如圖2,若NCDB=45。，AEBD,CELCD,求證：AE=BD；

(3)如圖3,若NA￡>C=15。，CD坨,BD=n,請直接用含"的式子表示AO的長.

11.(1)如圖①，已知；ABC,以AB、AC為邊向AABC外分別作等邊和等邊“。石，連接CD,

8E.試探究CO與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

問題探究：

(2)如圖②，四邊形A3CD中，ZABC=45°,ZC4D=90°,AC=AD,AS=2BC=80,求8。的長.

問題解決：

(3)如圖③，ABC中，AC=2,BC=3,ZACB是一個變化的角，以A3為邊向/ABC外作等邊△ABD,

連接8,試探究，隨著ZACB的變化，CO的長是否存在最大值？若存在，求出CO長的最大值及此時ZACB

的大??；若不存在，請說明理由.

圖①圖②

12.如圖1,B、C、。三點在一條直線上，與BE交于點。，AABC和△ECD是等邊三角形.

A

AE

(1)求證：4ACD咨ABCE；

(2)求/B。。的度數(shù)；

(3)如圖2,若B、C、。三點不在一條直線上，的度數(shù)是否發(fā)生改變？(填“改變”或“不改變”)

題型4：旋轉(zhuǎn)模型

13.如圖1,在等腰中，ZA=90°,點。、E分別在邊AB、AC±,AD=AE,連接，點/、P、

N分別為。石、DC、BC的中點.

圖1圖2

(1)觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

⑵探究證明：把VADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,判斷PAW的形狀，并說明

理由；

(3)拓展延伸：把VADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若位＞=4,AS=10,求PMN面積的最大值.

14.在RdABC中，ZACB=90°,CA=CB,點。是直線AB上的一點，連接C。，將線段。繞點C逆時

針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段CE,連接E8.

(1)操作發(fā)現(xiàn)

如圖1,當(dāng)點。在線段AB上時，請你直接寫出A8與8E的位置關(guān)系為；線段8Q、AB、的數(shù)量關(guān)

系為;

(2)猜想論證

當(dāng)點。在直線AB上運動時，如圖2,是點。在射線上，如圖3,是點O在射線54上，請你寫出這兩

種情況下，線段8。、AB、即的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進行證明；

(3)拓展延伸

若A8=5,BD=7,請你直接寫出△AOE的面積.

15.如圖，等邊,ABC中，DE/ABA分別交BC、AC于點。、E.

(1)求證：.CDE是等邊三角形；

(2)將CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)。(0°<6><360°),設(shè)直線AE與直線8。相交于點尸.

①如圖，當(dāng)0。<。<180。時，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由;

②若AB=7,CD=3,當(dāng)8,D,E三點共線時，求8。的長.

16.四邊形ABCD是由等邊A4BC和頂角為120。的等腰AABD排成，將一個60。角頂點放在。處，將60。角

繞。點旋轉(zhuǎn)，該60。交兩邊分別交直線3C、AC于M、N,交直線于E、尸兩點.

(1)當(dāng)E、尸都在線段AB上時(如圖1),請證明：BM+AN=MN；

D

El圖2備用圖

(2)當(dāng)點E在邊54的延長線上時(如圖2),請你寫出線段MB,AN和MV之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的結(jié)論；

(3)在(1)的條件下，若AC=7,AE=2.1,請直接寫出MB的長為一.

題型5：倍長中線模型

17.小明遇到這樣一個問題，如圖1,ABC中，AB=7,AC=5,點。為8C的中點，求AO的取值范圍.小

明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便

構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2,延長AD到

E,使連接BE,構(gòu)造43即三△C4。，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決.請回答：

⑴小明證明ABED=ACAD用到的判定定理是：_(用字母表示)；

(2)AD的取值范圍是二

(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造.參考小明思考

問題的方法，解決問題：如圖3,在ABC中，AO為BC邊上的中線，且AD平分NBAC,求證：AB=AC.

18.(1)閱讀理解：如圖1,在ABC中，若AB=3,AC=5.求邊上的中線AD的取值范圍，小聰同

學(xué)是這樣思考的：延長AD至E,使DE=AD,連接8E.利用全等將邊AC轉(zhuǎn)化到BE,在.54E中利用三

角形三邊關(guān)系即可求出中線AZ)的取值范圍，在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是

,中線AD的取值范圍是；

(2)問題解決：如圖2,在ABC中，點。是8C的中點，DMLDN.DN交A2于點ON交AC于

點N.求證：BM+CN>MN；

(3)問題拓展：如圖3,在一ABC中，點。是3C的中點，分別以AB,AC為直角邊向JLBC外作Rt_

和Rt"CN,其中N54A/=NN4C=90。，AB=AM,AC=AN,連接MN,請你探索AD與MN的數(shù)量

與位置關(guān)系，并直接寫出AT>與兒W的關(guān)系.

19.【閱讀理解】

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:

如圖1,ABC中，若AB=8,AC=6,求BC邊上的中線的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2,延長AD到點E,使=連接BE.請

根據(jù)小明的方法思考：

(1)如圖2,由已知和作圖能得到AADCdEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

(2)如圖2,長的取值范圍是.

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AD<1D.1<AD<7

【感悟】

解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求

證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中.

【問題解決】

(3)如圖3,是的中線，BE交AC于點、E,交AD于F,且AE=EF.求證：AC^BF.

20.(1)如圖1,在AA8C中，AB=4,AC=6,是8c邊上的中線，延長AO到點E使。E=A。，連接

CE,把AB,AC,2A。集中在AACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AO的取值范圍是；

(2)如圖2,在AABC中，是BC邊上的中線，點E,F分別在AB,AC上，MDELDF,求證：BE+

CF>EF-,

(3)如圖3,在四邊形A8C7)中，NA為鈍角，/C為銳角，ZB+ZA￡)C=180°,D4=QC,點E,尸分別

在BC,AB上，且/=gNAZ)C,連接斯，試探索線段AB,EF,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

21.如圖，在銳角AABC中，ZA=60。，點。，E分別是邊上一動點，連接BE交直線CD于點尺

(2)如圖2,若鉆=AC,且,在平面內(nèi)將線段AC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段CM,連接板,

點N是M尸的中點，連接CN.在點。，E運動過程中，猜想線段BECGCN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明

你的猜想.

題型6：截長補短模型

22.把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，組成一個四邊形ACBD以。為頂點作N/如N,交邊AC、8c于

M、N.

⑴若ZACD=30。，ZMDN=60°,ZMDN兩邊分別交AC、8C于點M、N,AM,MN、BN三條線段之

間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

⑵當(dāng)NACD+4?N=90。時，AM.MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

(3)如圖③，在(2)的條件下，若將/、N改在C4、BC的延長線上，完成圖3,其余條件不變，則AM、

MN、BN之間有何數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)論，不必證明)

23.如圖1,在等邊三角形A3C中，AD4BC于0,CE_L于與CE相交于點。.

圖1

(1)求證：04=200；

(2)如圖2,若點G是線段AO上一點，CG平分NBCE,ZBGF=60°,GF交CE所在直線于點F.求證:

GB=GF.

(3)如圖3,若點G是線段Q4上一點(不與點。重合)，連接BG,在BG下方作NBGF=60。，邊GF交CE

所在直線于點E猜想：OGOEOA三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

24.課堂上，老師提出了這樣一個問題:

A

圖

圖12

圖3圖4

如圖1,在—ABC中，AO平分/54C交BC于點。，S.AB+BD=AC,求證：ZABC=2ZACB,小明的方

法是：如圖2,在AC上截取AE,使AE=AB,連接￡>E,構(gòu)造全等三角形來證明.

(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補短法”通過延長線段A3構(gòu)造全等三角形進

行證明.輔助線的畫法是：延長A5至居使防=,連接。尸請補全小天提出的輔助線的畫法，并在

圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；

(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：

如圖3,點。在一ABC的內(nèi)部，AD,BD,CD分別平分ZBAC,ZABC,ZACB,S.AB+BD=AC.求證：

.請你解答小蕓提出的這個問題(書寫證明過程)；

(3)小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進行交換，得到的命題如下：

如果在，中，NABC=2NACB,點。在邊BC上，AB+BD=AC,那么平分/BAC小東判斷這個

命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的.請你利用圖4對這個命題進行證明.

25.(1)如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、尸分別是邊8C、CD上的點，且/E4尸

=1ABAD,線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是「(不需要證明)

(2)如圖2,在四邊形4BC。中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E、F分別是邊BC、CD上的點，且NEAF

=^ZBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明.若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

(3)如圖3,在四邊形45CD中，AB=AD,ZB+ZD=180o,E、尸分別是邊8C、延長線上的點，且

ZEAF=^ZBAD,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明.若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)

系，并證明.

圖1圖2圖3

26.(1)閱讀理解：問題：如圖1,在四邊形ABCD中，對角線3D平分/ABC,ZA+ZC=180°.求證：

DA=DC.

思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題.

方法1：在8c上截取3M=54,連接DM,得到全等三角形，進而解決問題；

方法2：延長54到點N,使得3N=BC,連接。N,得到全等三角形，進而解決問題.

結(jié)合圖1,在方法1和方法2中住施丁種，添加輔助線并完成證明.

(2)問題解決：如圖2,在(1)的條件下，連接AC,當(dāng)ND4C=60。時，探究線段AB,BC,3D之間

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)問題拓展：如圖3,在四邊形ABCD中，ZA+ZC=180°,DA=DC,過點。作垂足為點

E,請直接寫出線段A3、CE、BC之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

題型7：作平行線法、作垂線法

27.閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明.

已知：如圖，點E是的中點，點A在。E上，且/BAE=NCDE.

求證：AB=CD.

分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明

的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB=CD,必

須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形.

(1)現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明.

①如圖1,延長QE到點凡使EF=DE,連接BE；

②如圖2,分別過點8、C作BFLQE,CG±DE,垂足分別為點凡G.

(2)請你在圖3中添加不