2021北京清華附中朝陽學(xué)校高一(上)10月月考數(shù)學(xué)(教師版)

2/22021北京清華附中朝陽學(xué)校高一（上）10月月考數(shù)學(xué)一、選擇題（共12小題，每小題4分，共48分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1．（4分）設(shè)集合，，則下列各式中不正確的是A． B． C． D．，2．（4分）已知命題，，則是A．， B．， C．， D．，3．（4分）設(shè)，，，則A． B． C． D．4．（4分）下列不等式中成立的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則5．（4分）已知全集，1，且，則集合的真子集共有A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)6．（4分）若函數(shù)，則（5）等于A． B．4 C．2 D．7．（4分）下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)相等A． B． C． D．8．（4分）函數(shù)是A．偶函數(shù) B．奇函數(shù) C．既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)9．（4分）已知定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則A．（3） B．（3） C．（3） D．（3）10．（4分）已知且，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

11．（4分）直角梯形中，，，，直線截該梯形所得位于左邊圖形面積為，則函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．12．（4分）對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C．， D．，二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）.13．（4分）函數(shù)的定義域是．14．（4分）已知函數(shù)，若，則．15．（4分）不等式的解集是，則，．16．（4分）已知實(shí)數(shù)，則的最小值是．17．（4分）已知函數(shù)，且在，上恒成立，則的取值范圍是．18．（4分）某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出20種商品，第二天售出14種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有5種，后兩天都售出的商品有4種，則該網(wǎng)店．①第一天售出但第二天未售出的商品有種；②這三天售出的商品最少有種．三、解答題共6小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.19．（13分）已知集合，或，．（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（13分）解下列不等式．（1）；（2）．

21．（13分）已知函數(shù)，且（1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）判斷并證明的奇偶性；（Ⅲ）判斷函數(shù)在，上是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減？并證明．22．（13分）如圖，某學(xué)校準(zhǔn)備修建一個(gè)面積為600平方米的矩形活動(dòng)場(chǎng)地（圖中的圍欄，按照修建要求，中間用圍墻隔開，使得為矩形，為正方形，設(shè)米，已知圍墻（包括的修建費(fèi)用均為每米800元，設(shè)圍墻（包括的修建總費(fèi)用為元．（1）求出關(guān)于的函數(shù)解析式及的取值范圍；（2）當(dāng)為何值時(shí)，圍墻（包括的修建總費(fèi)用最??？并求出的最小值．23．（13分）設(shè)集合，．關(guān)于的不等式的解集為．（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

24．（13分）對(duì)于集合，定義函數(shù)，對(duì)于兩個(gè)集合，，定義集合．已知，2，3，4，5，，，3，9，27，．（Ⅰ）寫出（2）與（2）的值，并用列舉法寫出集合；（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的個(gè)數(shù)，求的最小值；（Ⅲ）有多少個(gè)集合對(duì)，滿足，，且．

2021北京清華附中朝陽學(xué)校高一（上）10月月考數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（共12小題，每小題4分，共48分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1．【分析】由元素與集合的關(guān)系和集合與集合的關(guān)系可判斷，，由集合元素互異可判斷，由條件可得錯(cuò)誤．【解答】解：由元素與集合的關(guān)系和集合與集合的關(guān)系可得，，正確，，正確，由集合元素互異，可得正確，由題意，，故錯(cuò)誤，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查元素與集合的關(guān)系和集合與集合的關(guān)系，考查集合元素互異性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷．【解答】解：命題是全稱命題，則命題的否定為：，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題是解決本題的關(guān)鍵．3．【分析】欲求兩個(gè)集合的交集，先得求集合，再求它與的交集即可．【解答】解：對(duì)于，因此，故選：．【點(diǎn)評(píng)】這是一個(gè)集合的常見題，屬于基礎(chǔ)題之列．4．【分析】運(yùn)用列舉法和不等式的性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷，即可得到結(jié)論．【解答】解：對(duì)于，若，，則，故不成立；對(duì)于，若，比如，，則，故不成立；對(duì)于，若，比如，，則，故不成立；對(duì)于，若，則，，即有，即，則，故成立．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的性質(zhì)和運(yùn)用，注意運(yùn)用列舉法和不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．【分析】根據(jù)題意，易得，，由集合的元素?cái)?shù)目與集合子集數(shù)目的關(guān)系，可得其子集的數(shù)目，排除其本身這個(gè)子集后可得其真子集的數(shù)目，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，全集，2，，且，則，，的子集有個(gè)，其中真子集有個(gè)；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的元素?cái)?shù)目與集合子集數(shù)目的關(guān)系：若中有個(gè)元素，則有個(gè)子集．6．【分析】把代入函數(shù)，能求出（5）的值．【解答】解：函數(shù)，（5）．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．【分析】已知函數(shù)的定義域是，分別判斷四個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否和已知函數(shù)一致即可．【解答】解：．函數(shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同．．函數(shù)的定義域?yàn)椋瑑蓚€(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)．．函數(shù)的定義域?yàn)?，，?duì)應(yīng)關(guān)系不一致．．函數(shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，判斷的標(biāo)準(zhǔn)是判斷函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否一致，否則不是同一函數(shù)．8．【分析】利用奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了奇函數(shù)與偶函數(shù)定義的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得出，它在上是增函數(shù)，由此得到函數(shù)圖象的變化規(guī)律，由此規(guī)則比較出（3）、、的大小，得出正確選項(xiàng)【解答】解：定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)此函數(shù)在上是增函數(shù)由此知，函數(shù)圖象上的點(diǎn)離軸越近，函數(shù)值越大（3）觀察四個(gè)選項(xiàng)知，選項(xiàng)是正確的故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的奇偶性與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，從而研究出函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，比較出函數(shù)值的大小，本解法巧妙利用函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)圖象的變化規(guī)律，由此得出三個(gè)函數(shù)值的大小，規(guī)律性強(qiáng)，值得借鑒10．【分析】求出不等式的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由得或，由得或，則“”是“”的必要不充分條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．11．【分析】本題考查的是函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中，首先應(yīng)該直線的運(yùn)動(dòng)位置分析面積的表達(dá)形式，進(jìn)而得到分段函數(shù)：然后分情況即可獲得問題的解答．【解答】解：由題意可知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；所以．結(jié)合不同段上函數(shù)的性質(zhì)，可知選項(xiàng)符合．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分段函數(shù)的知識(shí)、分類討論的思想以及函數(shù)圖象的知識(shí)．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．12．【分析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，則有恒成立，故大于或等于的最大值．再利用基本不等式求得得最大值，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，則有，故大于或等于的最大值．由基本不等式可得，，即的最大值為，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應(yīng)用，求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）.13．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分式的分母不為0列式求解的范圍得答案．【解答】解：由題意，，解得．函數(shù)的定義域是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)題．14．【分析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由此能求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍；當(dāng)時(shí)，，解得，不合題意．綜上，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．15．【分析】不等式的解集是，故3，2是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出，可得．【解答】解：由題意不等式的解集是，故3，2是方程的兩個(gè)根，，，故答案為：5；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的解集得出不等式相應(yīng)方程的根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)的值．16．【分析】根據(jù)題中所給的式子進(jìn)行構(gòu)造，然后利用不等式性質(zhì)可求最值．【解答】解：因?yàn)?，可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式，注意合理構(gòu)造，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】由題意可得，，，再運(yùn)用基本不等式即可得到最小值，進(jìn)而得到的范圍．【解答】解：函數(shù)，且在，上恒成立，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，，，即的取值范圍是，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．18．【分析】①由題意畫出圖形得答案；②求出前兩天所受商品的種數(shù)，由特殊情況得到三天售出的商品最少種數(shù)．【解答】解：①設(shè)第一天售出商品的種類集為，第二天售出商品的種類集為，第三天售出商品的種類集為，如圖，則第一天售出但第二天未售出的商品有種；②由①知，前兩天售出的商品種類為種，第三天售出但第二天未售出的商品有種，當(dāng)這14種商品第一天售出但第二天未售出的16種商品中時(shí)，即第三天沒有售出前兩天的商品時(shí)，這三天售出的商品種類最少為29種．故答案為：①15；②29．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的包含關(guān)系及其應(yīng)用，考查了集合中元素的個(gè)數(shù)判斷，考查學(xué)生的邏輯思維能力，是中檔題．三、解答題共6小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.19．【分析】（Ⅰ）先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解（Ⅱ）根據(jù)，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：，或，，（Ⅰ）或，，（Ⅱ），或，，或，或，實(shí)數(shù)的取值范圍，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，子集的應(yīng)用，屬于中檔題．20．【分析】（1）不等式化為，求出解集即可；（2）不等式化為，求出不等式對(duì)應(yīng)方程的兩根并比較大小，從而求出不等式的解集．【解答】解：（1）不等式可化為，解得或，所以不等式的解集為或；（2）不等式可化為，不等式對(duì)應(yīng)方程的兩根為和，時(shí)，，不等式的解集為；時(shí)，，不等式的解集為或；時(shí)，，不等式的解集為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含有字母系數(shù)的一元二次不等式解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．21．【分析】（1）根據(jù)題意，將代入函數(shù)解析式，求解即可；（2）利用奇函數(shù)的定義判斷并證明即可；（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即．【解答】解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)，且（1），則（1），解得；（2）由（1）可知，，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，所以是奇函數(shù)；（3）在上是單調(diào)遞增函數(shù)．證明如下：設(shè)，，因?yàn)?，所以，，則，即，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，注意先求出函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．22．【分析】（1）根據(jù)面積確定的長，利用圍墻（包括的修建費(fèi)用均為每米800元，即可求得函數(shù)的解析式．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)，則由題意可得，，且，故，解得，，故關(guān)于的函數(shù)解析式為，．（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故當(dāng)為20米時(shí)，圍墻（包括的修建總費(fèi)用最小，最小值為96000元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握基本不等式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．23．【分析】（Ⅰ）先求出集合，利用交集的定義可知，，從而求出的值，然后進(jìn)行驗(yàn)證即可；（Ⅱ）由題意可知，然后分，，，，四種情況分別求解即可；（Ⅲ）先確定集合不是空集，然后利用，得到且，列出不等式組求解即可．【解答】解：（Ⅰ）集合，，因?yàn)椋瑒t，，又集合，則，整理可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意．綜上所述，或；（Ⅱ）由題意，，因?yàn)?，則，①當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程無解，所以△，解得；②當(dāng)時(shí)，，無解；③當(dāng)時(shí)，，解得；④當(dāng)，時(shí)，，無解．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．（Ⅲ）關(guān)于的不等式的解集為，因?yàn)椤?，又，所以△，故，因?yàn)椋瑒t且，所以，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的綜合應(yīng)用，涉及了集合交集、并集、子集定義的理解與應(yīng)用，元素與集合關(guān)系的應(yīng)用，空集定義的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．24．【分析】（Ⅰ）直接利用新定義寫出（2）和（2）的值，并用列舉法寫出集合；（Ⅱ）要使的值最小，1，3一定屬于集合，不能含有以外的元素，所以當(dāng)集合為，4，5，6，9，27，的子集與集合，的并集時(shí)，從而得出的最小值；先驗(yàn)