黑龍江省雞西市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

黑龍江省雞西市第一中學(xué)20242025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷時間：120分鐘分值：150分注意事項：1.本試卷分第I卷和第II卷兩部分.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上.2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.雙曲線的焦點坐標(biāo)是（）A.(2，0)，(2，0) B.(0，2)，(0，2)C.(，0)，(，0) D.(0，)，(0，)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程形式，直接求焦點坐標(biāo).【詳解】由雙曲線的方程可知，焦點在軸，并且，，所以，即雙曲線的焦點坐標(biāo)是.故選：B2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率直接求解傾斜角即可.【詳解】設(shè)傾斜角為，則，則.故選：C.3.已知向量，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量的坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】由，可得：，所以.故選：D4.橢圓的焦點在軸上，焦距為2，則的值等于（）A.3 B.5 C.8 D.5或3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓焦距的計算列式得出答案.【詳解】由題意，橢圓的焦點在軸上，焦距為2，則，即，所以，即故選：B.5.若雙曲線的弦被點平分，則此弦所在的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用點差法可得直線斜率，進(jìn)而可得直線方程.【詳解】設(shè)弦端點，，由，在雙曲線上，則，兩式做差可得，即，又弦被點平分，則，代入上式可得，則，即直線方程為，化簡可得，故選：D.6.當(dāng)點在圓上運動時，它與定點相連，則線段PQ的中點的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出M點坐標(biāo)，根據(jù)M是線段PQ中點可表示出P點坐標(biāo)，再根據(jù)P在圓上可建立關(guān)于M橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，即可得出M軌跡方程.【詳解】如圖所示，設(shè)，因為M是線段PQ中點，所以由中點坐標(biāo)公式可得，，所以，又因為P在圓上，所以，于是可得M的軌跡方程為：，故選：B.7.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，函數(shù)的最小值是（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】表示動點到定點A?2,0和的距離之和，作關(guān)于直線的對稱點，，即可求解【詳解】表示動點到定點A?2,0和的距離之和，因為點在直線上運動，作關(guān)于直線的對稱點，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等，故的最小值為故選：C8.已知雙曲線C：分別為雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點.連接交雙曲線C左支于點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率是（）A B.2 C. D.5【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由雙曲線定義表達(dá)各邊，且，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到答案.【詳解】由題意得，設(shè)，因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，故，由雙曲線定義知，，故，，其中，解得，則，，因為，所以，在中，由余弦定理得，解得，故雙曲線C的離心率為.故選：A二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列說法中，正確的是（）A.任何一條直線都有唯一的斜率 B.直線的傾斜角越大，它的斜率就越大C.任何一條直線都有唯一的傾斜角 D.垂直于軸的直線傾斜角為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的定義分別判斷各選項.【詳解】A選項：當(dāng)直線垂直于軸時，斜率不存在，A選項錯誤；B選項：當(dāng)傾斜角為銳角時，斜率為正，且傾斜角越大斜率越大；當(dāng)傾斜角為鈍角時，斜率為負(fù)，且傾斜角越大斜率越大，B選項錯誤；C選項：任何一條直線的傾斜角均存在且，C選項正確；D選項：垂直于軸的直線與軸平行，由傾斜角定義可知該直線傾斜角為，D選項正確；故選：CD.10.在下列命題中，錯誤的有（）A.若共線，則所在的直線平行；B.若所在的直線是異面直線，則一定不共面；C.若三向量兩兩共面，則三向量一定也共面；D.已知三向量不共面，則空間任意一個向量總可以唯一表示為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)向量共線、共面的判定與性質(zhì)逐一判斷正誤.【詳解】對于A，若共線，則有可能在同一條直線上，A錯誤；對于B，即使所在的直線是異面直線，也可以通過平移的方式使得向量共面，B錯誤；對于C，如圖所示，在四面體PABC中，向量兩兩共面，但三個向量并不共面，C錯誤；對于D，由空間向量的基本定理可知D正確；故選：ABC.11.動點分別到兩定點，連線的斜率的乘積為，設(shè)的軌跡為曲線，，分別為曲線的左、右焦點，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.的內(nèi)切圓的面積的最大值為C.到直線的最小距離為D.設(shè)，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用直接法可得點的軌跡方程，可知曲線為橢圓（除去與軸的交點），結(jié)合橢圓的定義及三角形的余弦定理與面積公式可判斷A選項，再結(jié)合內(nèi)切圓性質(zhì)可判斷B選項，利用三角換元法可得距離的最值，判斷C選項，根據(jù)定義可將折線段轉(zhuǎn)化，進(jìn)而可得最值.【詳解】由已知，，化簡可得，即，，，，，如圖所示，A選項：設(shè)，，則，，又，則，即，即，所以，A選項正確；B選項：設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，又，，所以，又，則，即內(nèi)切圓半徑的最大值為，所以內(nèi)切圓面積的最大值為，B選項正確；C選項：設(shè)點，，則點到直線的距離，其中，所以當(dāng)時，取最小值為，C選項錯誤；D選項：由橢圓定義可知，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點在延長線時取等號，即MA+MF1的最小值為故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知為坐標(biāo)原點，在橢圓上，則的最大值為___________.【答案】2【解析】【分析】利用兩點距離公式，結(jié)合點在橢圓上，寫出關(guān)于的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最大值，即可得到答案.【詳解】設(shè)點，則有，即.所以，當(dāng)時，取最大值.故答案為：2.13.已知為坐標(biāo)原點，在雙曲線的左支上，是該雙曲線的左焦點.為的中點，則______.【答案】5【解析】【分析】利用雙曲線的定義求解即可.【詳解】設(shè)是雙曲線的右焦點，連接，又在雙曲線的左支上，所以，又，所以，又為的中點，為的中點，所以.故答案為：.14.已知.若存在滿足點使為鈍角，則t的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】求得點軌跡方程，求得以為直徑的圓的方程，由題意可得t的取值范圍.【詳解】設(shè)，因為，，所以，化簡得，配方得，圓心為，半徑為，以為直徑的圓的方程為，若存在滿足的點使為鈍角，則圓與圓有兩個公共點或圓在圓內(nèi)部或圓在圓內(nèi)切，所以，又，所以，解得，所以t的取值范圍是.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵在于求得的軌跡方程與以為直徑的圓，利用圓與圓的位置關(guān)系求解.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在三角形中，.（1）求邊的中線所在直線的一般式方程；（2）求邊上的高所在直線的點斜式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得中點，進(jìn)而可求解；（2）由垂直關(guān)系求得斜率，進(jìn)而可求解.【小問1詳解】由，可得其中點坐標(biāo)為，此時中線斜率為：，所以邊的中線方程為：，即；【小問2詳解】因為，由垂直關(guān)系可知：邊上的高所在直線斜率為，所以方程為：，即.16.已知雙曲線的離心率，實軸長.（1）求C的方程；（2）過C的右焦點且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，求；（3）求與C有相同的漸近線且過點1,2的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知列關(guān)于的方程組，求解與的值，則雙曲線的方程可求；（2）寫出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求解；（3）對于不為0的實數(shù)，共漸近線的雙曲線方程為，將點代入即可解答.【小問1詳解】由已知可得可得：，，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】雙曲線的右焦點為，由點斜式得直線的方程為，由消去得：，所以，，所以【小問3詳解】設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將代入可得，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.17.如圖，在三棱柱中，平面，，點分別在棱和棱上，且為棱的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量垂直的坐標(biāo)表示即可求證；（2）求得平面法向量，代入夾角公式即可；（3）由點到面距離的向量法即可求解.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，，且為棱的中點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，所以，，則，所以，即；【小問2詳解】由（1）知：，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得，則，易知平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，所以；【小問3詳解】易知，所以點到平面的距離為：.18.平面直角坐標(biāo)系中，點，圓與軸正半軸交于點.（1）求過點且斜率為的直線被圓截得的弦長；（2）求過點與圓相切的直線方程；（3）過點的直線與圓交于不同的兩點，判斷直線QA，QB的斜率之和是否為定值，若是則求出該定值，若不是則說明理由.【答案】（1）（2）和（3）定值，【解析】【分析】（1）計算出圓心到直線的距離，然后根據(jù)半徑、圓心到直線的距離、半弦長之間的關(guān)系求解出弦長；（2）先直接分析直線斜率不存在的情況，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求解出切線方程，由此結(jié)果可知；（3）設(shè)Ax1,y1,B【小問1詳解】過點斜率為的直線方程為，圓心到該直線的距離為，所以該直線被圓截得的弦長為.【小問2詳解】圓的圓心為，半徑為2，若過點的直線垂直于軸，則方程為，顯然與圓相切，符合題意；若過點的直線不垂直于軸，設(shè)直線的斜率與，則直線方程為，即，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以切線方程為；綜上所述，切線方程為和.【小問3詳解】由題意知點，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，設(shè)Ax1,且，所以，所以是定值，定值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，再將其與圓的方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，最后代入斜率之和的表達(dá)式化簡即可.19.在①，②過，③這三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知橢圓C：的右焦點為，且___________.（1）求橢圓C方程；（2）過圓D：上任意一點G作橢圓C的兩條切線.求證：；（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點，點.直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與軸交于點，直線AQ與軸交于點，求證：直線經(jīng)過定點，并求此定點.【答案】（1）條件選擇見解析，（2）證明見解析（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）由題意確定a，b的值即可確定橢圓方程；（2）分切線斜率存在和不存在兩種情況討論證明即可；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，進(jìn)而求證即可.【小問1詳解】選①條件，由橢圓：的右焦點為，可得，因為離心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.選②條件，由橢圓：的右焦點為，可得，過，則，∴，所以橢圓的方程為.選③條件，由橢圓：的右焦點為，可得，，又由，則，，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)，若過點的切線斜率都存在，設(shè)其方程為，則聯(lián)立方程組，得，因為直線與橢圓相切，所以，整理得，設(shè)橢圓的兩條切線的斜率分別為，，由韋達(dá)定理，，因為點在圓上，所以，即