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文檔簡介

一、第二型曲線積分的概念與性質(zhì)二、第二型曲線積分的計(jì)算法

*三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系

第二節(jié)第二型曲線積分

第十一章一、第二型曲線積分的概念與性質(zhì)引例:

變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在xoy平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動到點(diǎn)B,求移“分割”“近似”“求和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.1)“分割”.2)“近似”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,

則有所做的功為F

沿則用有向線段

上任取一點(diǎn)在定義.設(shè)L為xoy平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),

都存在,在有向曲線弧L上則稱此極限為函數(shù)的第二型曲線積分.其中,函數(shù)，L稱為積分弧段

或

積分曲線

.稱為被積在L上定義了一個向量函數(shù)極限記作若

為空間曲線弧,記稱為對x的第二型曲線積分;稱為對y的第二型曲線積分.若記,第二型曲線積分也可寫作類似地,性質(zhì)(1)若L可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二型曲線積分的特例.說明:

第二型曲線積分必須注意積分弧段的方向

!二、第二型曲線積分的計(jì)算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明:

下面先證存在,且有對應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義由于對應(yīng)參數(shù)因?yàn)長為光滑弧,同理可證特別是,如果L的方程為則對空間光滑曲線弧

:類似有例1.

計(jì)算其中L為沿拋物線解法1

取x為參數(shù),則解法2

取y為參數(shù),則從點(diǎn)的一段.

例2.

計(jì)算其中L為(1)半徑為a圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向?yàn)槟鏁r針方向;(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)B(–a,0).解:

(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則例3.

計(jì)算其中L為(1)拋物線

(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式例4.

設(shè)在力場作用下,質(zhì)點(diǎn)由沿

移動到解:

(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場對質(zhì)點(diǎn)所作的功.其中

為例5.

求其中從z軸正向看為順時針方向.解:

取的參數(shù)方程*三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L以弧長為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A在t上的投影為二者夾角為

*例6.

設(shè)曲線段L的長度為s,證明續(xù),證:設(shè)

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