2025高考數(shù)學(xué)考二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)-第五講-函數(shù)的概念與性質(zhì)-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)-第五講-函數(shù)的概念與性質(zhì)-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對(duì)函數(shù)的考查，重點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性，需要關(guān)注周期性、對(duì)稱(chēng)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查。2.高考對(duì)函數(shù)的考查重點(diǎn)關(guān)注以基本初等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)為載體，對(duì)函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進(jìn)行考查，考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的表示方法及性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性）、圖像等。冪、指、對(duì)函數(shù)的圖像與性質(zhì)2023·新高考Ⅰ卷，42023·新高考Ⅰ卷，102023·新高考Ⅱ卷，4抽象函數(shù)的性質(zhì)2022·新高考Ⅰ卷，122023·新高考Ⅰ卷，112024·新高考Ⅰ卷，82022·新高考Ⅱ卷，8函數(shù)與不等式結(jié)合2024·新高考Ⅱ卷，8分段函數(shù)、三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2024·新高考Ⅰ卷，62024·新高考Ⅰ卷，102024·新高考Ⅱ卷，11二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了分段函數(shù)、抽象函數(shù)、三次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，難度處于適中及較難。Ⅱ卷考查了三次函數(shù)的性質(zhì)及將函數(shù)與不等式結(jié)合考查，難度是較難的?？傮w來(lái)說(shuō)函數(shù)主要以課程學(xué)習(xí)情景為主，備考應(yīng)以常見(jiàn)的選擇題和填空題為主進(jìn)行訓(xùn)練，難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困難題，而且?？汲Ｐ?。函數(shù)考查應(yīng)關(guān)注：（1）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是基礎(chǔ)，要求考生要在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì)，準(zhǔn)確把握函數(shù)概念和性質(zhì)的本質(zhì)，會(huì)處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，會(huì)識(shí)別函數(shù)圖像的變化。同時(shí)，指對(duì)運(yùn)算也是?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)，考生應(yīng)加強(qiáng)對(duì)公式的理解及應(yīng)用的訓(xùn)練。（2）函數(shù)性質(zhì)、零點(diǎn)、圖像等問(wèn)題是函數(shù)專(zhuān)題的重點(diǎn)考察內(nèi)容，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注重?cái)?shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸思想以及構(gòu)造新函數(shù)的訓(xùn)練，為突破難點(diǎn)作好準(zhǔn)備工作。三：試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·6）已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024新高考Ⅰ卷·8）已知函數(shù)為的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．3．（2024新高考Ⅱ卷·8）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1二、多選題1．（2024新高考Ⅰ卷·10）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，2．（2024新高考Ⅱ卷·11）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱(chēng)軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱(chēng)中心高考真題練一、單選題1．（2023新高考Ⅰ卷·4）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2022新高考Ⅱ卷·8）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．13．（2023新高考Ⅱ卷·4）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1二、多選題1．（2022新高考Ⅰ卷·12）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2023新高考Ⅰ卷·10）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車(chē)10混合動(dòng)力汽車(chē)10電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．3．（2023新高考Ⅰ卷·11）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零：（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；（7）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域．二、基本初等函數(shù)的值域（1）的值域是．（2）的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．三、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間：如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個(gè)自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).四、函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))．五、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．(3)若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)．(4)若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．六、函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)最小整數(shù)叫做的最小正周期.七、常見(jiàn)的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)八、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算1、指數(shù)(1)根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱(chēng)為根指數(shù)，稱(chēng)為根底數(shù)．(2)根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類(lèi)①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①，，；②，，；③，，；④，，．2、指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)九、對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算1、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，讀作以為底的對(duì)數(shù)，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見(jiàn)對(duì)數(shù)：①一般對(duì)數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對(duì)數(shù)；②常用對(duì)數(shù)：以為底，記為；③自然對(duì)數(shù)：以為底，記為；(3)對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對(duì)數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象圖象性質(zhì)定義域：值域：過(guò)定點(diǎn)，即時(shí)，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，十、函數(shù)與方程1、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).2、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).3、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.4、二分法對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.5、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點(diǎn).（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.【函數(shù)性質(zhì)常用結(jié)論】1、單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增(或減)函數(shù)，則在和的公共定義域上為增(或減)函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2、奇偶性技巧(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足.(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式.記，，則.(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如.對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.(8)常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．注意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫(xiě)成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類(lèi)型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對(duì)稱(chēng)軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對(duì)稱(chēng)軸和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5、對(duì)稱(chēng)性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．名校模擬練一、單選題1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）若為偶函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．22．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）地震震級(jí)通常是用來(lái)衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級(jí)最早是由查爾斯?里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為，其中表示某地地震的里氏震級(jí)，表示該地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一次地震中，某地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級(jí)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6.3級(jí) B．6.4級(jí) C．7.4級(jí) D．7.6級(jí)4．（2024·河北·二模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．函數(shù)單調(diào)遞增 B．函數(shù)值域?yàn)镃．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng) D．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)8．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，則（

）A．有一個(gè)極值點(diǎn)B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)（0，1）是曲線的對(duì)稱(chēng)中心D．直線是曲線的切線9．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，，有以下四種說(shuō)法：①②③存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等差數(shù)列④存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等比數(shù)列則其中正確的說(shuō)法有（

）種.A．1 B．2 C．3 D．410．（2024·河北保定·三模）已知的值域?yàn)椋?，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．（2024·河南·三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，若1，則（

）A．1 B． C．0 D．12．（2024·四川·三模）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．13．（2024·四川·三模）定義在R上的函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心是（

）A． B． C． D．二、多選題14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則是的極值點(diǎn)B．，使得C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形15．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）氚，亦稱(chēng)超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)中子組成，并帶有放射性，會(huì)發(fā)生衰變，其半衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量隨時(shí)間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足，其中表示氚原有的質(zhì)量，則（

）(參考數(shù)據(jù):)A．B．經(jīng)過(guò)年后，樣本中的氚元素會(huì)全部消失C．經(jīng)過(guò)年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉?lái)的D．若年后，樣本中氚元素的含量為，則16．（2024·福建廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．在上具有單調(diào)性17．（2024·江西南昌·三模）已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B．的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)C． D．18．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．19．（2024·湖北·二模）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形C．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．若函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)，記為，則20．（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（

）A． B．關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)C．是周期函數(shù) D．的解析式可能為21．（2024·江蘇宿遷·三模）已知定義在上不為常數(shù)的函數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．22．（2024·湖南衡陽(yáng)·三模）已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，若函?shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，且.則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B．函數(shù)為偶函數(shù)C．4是函數(shù)的一個(gè)周期D．23．（2024·河北邢臺(tái)·一模）已知函數(shù)和函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為偶函數(shù)B．C．若在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式為D．參考答案與詳細(xì)解析一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對(duì)函數(shù)的考查，重點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性，需要關(guān)注周期性、對(duì)稱(chēng)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查。2.高考對(duì)函數(shù)的考查重點(diǎn)關(guān)注以基本初等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)為載體，對(duì)函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進(jìn)行考查，考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的表示方法及性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性）、圖像等。冪、指、對(duì)函數(shù)的圖像與性質(zhì)2023·新高考Ⅰ卷，42023·新高考Ⅰ卷，102023·新高考Ⅱ卷，4抽象函數(shù)的性質(zhì)2022·新高考Ⅰ卷，122023·新高考Ⅰ卷，112024·新高考Ⅰ卷，82022·新高考Ⅱ卷，8函數(shù)與不等式結(jié)合2024·新高考Ⅱ卷，8分段函數(shù)、三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2024·新高考Ⅰ卷，62024·新高考Ⅰ卷，102024·新高考Ⅱ卷，11二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了分段函數(shù)、抽象函數(shù)、三次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，難度處于適中及較難。Ⅱ卷考查了三次函數(shù)的性質(zhì)及將函數(shù)與不等式結(jié)合考查，難度是較難的?？傮w來(lái)說(shuō)函數(shù)主要以課程學(xué)習(xí)情景為主，備考應(yīng)以常見(jiàn)的選擇題和填空題為主進(jìn)行訓(xùn)練，難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困難題，而且?？汲Ｐ隆：瘮?shù)考查應(yīng)關(guān)注：（1）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是基礎(chǔ)，要求考生要在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì)，準(zhǔn)確把握函數(shù)概念和性質(zhì)的本質(zhì)，會(huì)處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，會(huì)識(shí)別函數(shù)圖像的變化。同時(shí)，指對(duì)運(yùn)算也是?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)，考生應(yīng)加強(qiáng)對(duì)公式的理解及應(yīng)用的訓(xùn)練。（2）函數(shù)性質(zhì)、零點(diǎn)、圖像等問(wèn)題是函數(shù)專(zhuān)題的重點(diǎn)考察內(nèi)容，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注重?cái)?shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸思想以及構(gòu)造新函數(shù)的訓(xùn)練，為突破難點(diǎn)作好準(zhǔn)備工作。三：試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·6）已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.2．（2024新高考Ⅰ卷·8）已知函數(shù)為的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】代入得到，再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，又因?yàn)?，則，，，，，則依次下去可知，則B正確；且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用，再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)，代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.3．（2024新高考Ⅱ卷·8）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)?，分?lèi)討論與的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的符號(hào)，進(jìn)而可得的符號(hào)，即可得，代入可得最值.【詳解】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)椋罱獾?；令解得；若，?dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；可知若，符合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；綜上所述：，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為；解法二：由題意可知：的定義域?yàn)?，令解得；令解得；則當(dāng)時(shí)，，故，所以；時(shí)，，故，所以；故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求、的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小分類(lèi)討論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.二、多選題1．（2024新高考Ⅰ卷·10）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對(duì)A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，而，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，所以，正確；故選：ACD.2．（2024新高考Ⅱ卷·11）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱(chēng)軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱(chēng)中心【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.【詳解】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開(kāi)式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對(duì)稱(chēng)中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱(chēng)中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，由題意也是對(duì)稱(chēng)中心，故，即存在使得是的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對(duì)稱(chēng)軸為；（2）關(guān)于對(duì)稱(chēng)；（3）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心高考真題練一、單選題1．（2023新高考Ⅰ卷·4）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．（2022新高考Ⅱ卷·8）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)椋?，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問(wèn)題具體化，簡(jiǎn)化推理過(guò)程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.3．（2023新高考Ⅱ卷·4）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，解得或，則其定義域?yàn)榛颍P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).，故此時(shí)為偶函數(shù).故選：B.二、多選題1．（2022新高考Ⅰ卷·12）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對(duì)稱(chēng)性和周期性的關(guān)系研究對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，故C正確；對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱(chēng)，從而周期，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故可設(shè)，則，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因?yàn)?，均為偶函?shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．2．（2023新高考Ⅰ卷·10）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車(chē)10混合動(dòng)力汽車(chē)10電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：，對(duì)于選項(xiàng)A：可得，因?yàn)椋瑒t，即，所以且，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，因?yàn)?，則，即，所以且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，可得，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.3．（2023新高考Ⅰ卷·11）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)【答案】ABC【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項(xiàng)ABC，舉反例即可排除選項(xiàng)D.方法二：選項(xiàng)ABC的判斷與方法一同，對(duì)于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】方法一：因?yàn)?，?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故正確，對(duì)于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時(shí)無(wú)極值，故錯(cuò)誤.方法二：因?yàn)?，?duì)于A，令，，故正確.對(duì)于B，令，，則，故B正確.對(duì)于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，故正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時(shí)是的極大值，故D錯(cuò)誤.故選：.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零：（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；（7）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域．二、基本初等函數(shù)的值域（1）的值域是．（2）的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．三、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間：如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個(gè)自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).四、函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))．五、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．(3)若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)．(4)若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．六、函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)最小整數(shù)叫做的最小正周期.七、常見(jiàn)的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)八、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算1、指數(shù)(1)根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱(chēng)為根指數(shù)，稱(chēng)為根底數(shù)．(2)根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類(lèi)①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①，，；②，，；③，，；④，，．2、指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)九、對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算1、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，讀作以為底的對(duì)數(shù)，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見(jiàn)對(duì)數(shù)：①一般對(duì)數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對(duì)數(shù)；②常用對(duì)數(shù)：以為底，記為；③自然對(duì)數(shù)：以為底，記為；(3)對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對(duì)數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象圖象性質(zhì)定義域：值域：過(guò)定點(diǎn)，即時(shí)，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，十、函數(shù)與方程1、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).2、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).3、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.4、二分法對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.5、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點(diǎn).（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.【函數(shù)性質(zhì)常用結(jié)論】1、單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增(或減)函數(shù)，則在和的公共定義域上為增(或減)函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2、奇偶性技巧(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足.(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式.記，，則.(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如.對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.(8)常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．注意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫(xiě)成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類(lèi)型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對(duì)稱(chēng)軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對(duì)稱(chēng)軸和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5、對(duì)稱(chēng)性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．名校模擬練一、單選題1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）若為偶函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．2【答案】A【分析】由已知為偶函數(shù)，可得，列方程求解即可.【詳解】由，得，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，解得.故選：.2．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】分和兩種情況討論的單調(diào)性，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】若，則的圖象為：可知在上單調(diào)遞增；若，則的圖象為：可知在上單調(diào)遞減；綜上所述：“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的充要條件.故選：C．3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）地震震級(jí)通常是用來(lái)衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級(jí)最早是由查爾斯?里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為，其中表示某地地震的里氏震級(jí)，表示該地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一次地震中，某地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級(jí)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6.3級(jí) B．6.4級(jí) C．7.4級(jí) D．7.6級(jí)【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由題意，某地地震波的最大振幅為，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為，可得.故選：B.4．（2024·河北·二模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)【答案】C【分析】由函數(shù)的平移變化即可求得出答案.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，將函數(shù)向左平移一個(gè)單位可得函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng).故選：C.5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合一次、二次函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】由是上的增函數(shù)，得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B6．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由題設(shè)條件證明，再驗(yàn)證時(shí)條件滿足即可.【詳解】若在上單調(diào)遞增，則必然在處有定義，所以，即；若，則當(dāng)時(shí)，所以在上有定義，再由知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.故選：C.7．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．函數(shù)單調(diào)遞增 B．函數(shù)值域?yàn)镃．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng) D．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)【答案】C【分析】分離常數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對(duì)稱(chēng)性的定義，與的關(guān)系，即可判斷CD.【詳解】，函數(shù)，，則，又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)椋裕瑒t，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔅正確；，，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：C.8．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，則（

）A．有一個(gè)極值點(diǎn)B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)（0，1）是曲線的對(duì)稱(chēng)中心D．直線是曲線的切線【答案】C【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱(chēng)中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：C.9．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，，有以下四種說(shuō)法：①②③存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等差數(shù)列④存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等比數(shù)列則其中正確的說(shuō)法有（

）種.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題意設(shè)，根據(jù)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合分析，根據(jù)可判斷①，根據(jù)函數(shù)的極大值可判斷②，根據(jù)三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判斷③，舉例可判斷④.【詳解】由，得，設(shè)，則，則的極小值為，極大值為．對(duì)①，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以，①正確．對(duì)②，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，所以未必成立，②錯(cuò)誤．對(duì)③，設(shè)，令有，則有，故圖象存在對(duì)稱(chēng)中心，所以存在實(shí)數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，③正確．對(duì)④，因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，④正確．故選：C.10．（2024·河北保定·三模）已知的值域?yàn)?，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分段函數(shù)在兩段上分別根據(jù)自變量范圍求函數(shù)值的范圍，跟值域?qū)Ρ惹髮?shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】①若，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又函數(shù)的值域D滿足，則解得；②若，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又函數(shù)的值域D滿足，不合題意；③當(dāng)時(shí)，，若，有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）符合題意，綜上所述：.故選：D.11．（2024·河南·三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，若1，則（

）A．1 B． C．0 D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)且關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而得的周期為4，即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng).由，得，所以，則，則的周期為4，，則.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性常有以下結(jié)論（1）關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，（2）關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，（3）的一個(gè)周期為，（4）的一個(gè)周期為.可以類(lèi)比三角函數(shù)的性質(zhì)記憶以上結(jié)論.12．（2024·四川·三模）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)可確定關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，從而可確定其周期性，再結(jié)合單調(diào)性可得函數(shù)的大致圖象，結(jié)合周期性、對(duì)稱(chēng)性、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，所以得，則，故函數(shù)的周期為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的大致圖象如下圖：令，由，所以，且，令，由，由得，所以，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，在單調(diào)遞減，而，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以，故A不正確；對(duì)于B，由于，，在單調(diào)遞減，所以，所以，故B不正確；對(duì)于C，又，，根據(jù)圖象在上單調(diào)遞增，所以，故C不正確；對(duì)于C，，且，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的圖象，從而可確定函數(shù)值的大小關(guān)系、對(duì)稱(chēng)關(guān)系.13．（2024·四川·三模）定義在R上的函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)條件得到的對(duì)稱(chēng)中心，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)得到的對(duì)稱(chēng)中心.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，故的對(duì)稱(chēng)中心為，即，由于函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，故的對(duì)稱(chēng)中心為.故選：D二、多選題14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則是的極值點(diǎn)B．，使得C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形【答案】BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有兩解，列表表示出導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)以及函數(shù)的單調(diào)情況，當(dāng)時(shí)，，即可判斷A，B，C；證明等式成立即可判斷D.【詳解】A：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增，不是極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A的分析知，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，使得，故B正確；C：由選項(xiàng)A的分析知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以若為的極小值點(diǎn)時(shí)，在上先遞增再遞減，故C錯(cuò)誤；D：，而，則，所以點(diǎn)為的對(duì)稱(chēng)中心，即函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故D正確.故選：BD．15．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）氚，亦稱(chēng)超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)中子組成，并帶有放射性，會(huì)發(fā)生衰變，其半衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量隨時(shí)間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足，其中表示氚原有的質(zhì)量，則（

）(參考數(shù)據(jù):)A．B．經(jīng)過(guò)年后，樣本中的氚元素會(huì)全部消失C．經(jīng)過(guò)年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉?lái)的D．若年后，樣本中氚元素的含量為，則【答案】CD【分析】利用給定式子進(jìn)行化簡(jiǎn)判斷A，代入求值判斷B，C，解方程求出，再判斷D即可.【詳解】由題意得，故有，左右同時(shí)取對(duì)數(shù)得，故得，故A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，而當(dāng)時(shí)，，得到經(jīng)過(guò)年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉?lái)的，故C正確，由題意得，化簡(jiǎn)得，，將代入其中，可得，故D正確.故選：CD16．（2024·福建廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．在上具有單調(diào)性【答案】AC【分析】根據(jù)題意，令即可判斷A，令，，即可判斷B，令結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷C，令即可判斷D【詳解】對(duì)A：令，則有，即，故A正確；對(duì)B：，，則有，即，由，，故，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：令，則有，即，即，又函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?，故函?shù)為奇函數(shù)，故C正確；對(duì)D：令，則有，即，即有，則當(dāng)時(shí)，有，即，故在上不具有單調(diào)性，故D錯(cuò)誤.故選：AC17．（2024·江西南昌·三模）已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) B．的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可得，，由此分析可得由此分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，，所以或，當(dāng)時(shí)，，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，此時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，,∴，∴，又∵是一個(gè)定值，而隨的不同而不同，∴此等式不成立，即不成立,∴，即，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，B正確；∴，，即，C正確.與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，即，即，∴，D正確，又，則，即，，而，若A選項(xiàng)成立，則時(shí)，，所以但此時(shí)，，所以由可得，但這與已知矛盾，所以的圖象不可能關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，A錯(cuò)誤.故選：BCD.18．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)可確定關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，從而可確定其周期性，再結(jié)合單調(diào)性可得函數(shù)的大致圖象，結(jié)合周期性、對(duì)稱(chēng)性、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于函數(shù)有，，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，所以得，則，故函數(shù)的周期為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的大致圖象如下圖：由對(duì)稱(chēng)性可得，所以，故A不正確；由于，，所以，故B正確；又，，所以，故C正確；，且，因?yàn)?，所以，故，所以，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性，解決本題