湘教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)解題技巧之平方差公式與完全平方公式的靈活運(yùn)用 壓軸題六種模型（原卷版）

專題07解題技巧專題：平方差公式與完全平方公式的靈活運(yùn)

用壓軸題六種模型全攻略

.【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

尸;I

事【典型例題】.............................................................................1

【考點(diǎn)一項(xiàng)的位置變換】.......................................................................1

【考點(diǎn)二項(xiàng)數(shù)的變換】.........................................................................1

【考點(diǎn)三簡(jiǎn)便運(yùn)算變換】.......................................................................3

【考點(diǎn)四新定義型乘法公式運(yùn)算】...............................................................3

【考點(diǎn)五連續(xù)相乘應(yīng)用】.......................................................................4

【考點(diǎn)六整體代換應(yīng)用】.......................................................................6

Li事【典型例題】

【考點(diǎn)一項(xiàng)的位置變換】

例題：（2023上?福建莆田,八年級(jí)?？计谀┯?jì)算：（2y+x）（x-2y）=

【變式訓(xùn)練】

1.（2022上?八年級(jí)單元測(cè)試）計(jì)算：（-l-2a）（2a-l）.

2.（2023下?湖南婁底?七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：（4a+6）（-6+4a）=.

3.（2022上?上海黃浦?七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：（2a—b）（b+2a）=.

4.（2022上?上海寶山?七年級(jí)校考期中）計(jì)算：L-lV-a-lL；

【考點(diǎn)二項(xiàng)數(shù)的變換】

例題：（2023上?全國(guó)?八年級(jí)課堂例題）利用乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算:

⑴(a+2b+c)z；

(2)(x-2y+3z)(x+2y-3z).

【變式訓(xùn)練】

1.(2023上?河南信陽?八年級(jí)校考階段練習(xí))用乘法公式計(jì)算

(l)(x+y+z)2

⑵(2x-3+y)(2x-y+3)

2.(2023上?天津和平?八年級(jí)天津市第二南開中學(xué)?？奸_學(xué)考試)運(yùn)用乘法公式計(jì)算:

(1)(X+J+1)(X+J-1)

(2)3+26-1)2

3.(2023上?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))計(jì)算：

(l)(a+6+l)(o+6—1)

(2)(m—2"+p)~

4.(2023上?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))計(jì)算題：

(1)(?！?b—3c)-；

(2)(x+2y—z)(x—2y—z)—(x+y—z)2.

【考點(diǎn)三簡(jiǎn)便運(yùn)算變換】

例題：(2024下,全國(guó)?七年級(jí)假期作業(yè))計(jì)算：

(1)298x302；

⑵20032.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022下?湖南郴州?七年級(jí)?？计谥?用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題.

(1)197x203；

(2)9982.

2.(2023上?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)?？计谥?用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

(1)20232-2022x2024

(2)982+4x98+4

3.(2024下?全國(guó)?七年級(jí)假期作業(yè))用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

(1)10.2x9.8；

(2)1992-199x201;

(3)999x1001+1.

【考點(diǎn)四新定義型乘法公式運(yùn)算】

例題：(2023上?甘肅蘭州?七年級(jí)蘭州市第五十五中學(xué)?？奸_學(xué)考試)對(duì)于任意的代數(shù)式a,b,c,d,我們

ab(x-y)2x

規(guī)定一種新運(yùn)算：，="d-be.根據(jù)這一規(guī)定，計(jì)算:、=_____________.

ca-3y(x+刃

【變式訓(xùn)練】

ab

1.（2023下?重慶南岸?七年級(jí)校聯(lián)考期中）對(duì)于實(shí)數(shù)。、b、c、d,規(guī)定一中運(yùn)算jad—bc,那么當(dāng)

ca

x+1x+2

=2023時(shí)，x=.

x-3x-1

2.（2023下廣東揭陽七年級(jí)統(tǒng)考期中）現(xiàn)定義一種運(yùn)算他，對(duì)任意有理數(shù)相，w規(guī)定：m十"=

如：1十2=lx2（l-2）=-2,則（。+3十（。一切的值是.

【考點(diǎn)五連續(xù)相乘應(yīng)用】

例題：（2023下?湖南常德?七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：211+［。+/1+31+^|+擊=

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上,天津和平?八年級(jí)天津市第二南開中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在邊長(zhǎng)為。的正方形上裁去邊長(zhǎng)為

（1）圖1,陰影面積是;

（2）圖2是將圖1中的陰影部分裁開，重新拼成梯形，根據(jù)圖形可以得到乘法公式

（3）運(yùn)用得至ij的公式，計(jì)算：

2.（2023上?河南新鄉(xiāng)?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下面解題過程，解答問題：

題目：化簡(jiǎn)（2+1）X（22+1）X（24+1）

解：原式=（2—1）X（2+1）X（22+1）X（24+1）

=（22-1）X（22+1）X（24+1）

=（24-1）X（24+1）

=28-1

問題：化簡(jiǎn)（3+l）x（32+1）x04+1）x08+l）x…xF+l）.

3.(2023上?福建泉州,八年級(jí)?？茧A段練習(xí))乘法公式的探究及應(yīng)用.

⑴如圖1,可以求出陰影部分的面積是(寫成兩數(shù)平方差的形式)；

⑵如圖2,若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，它的寬是,長(zhǎng)是,面積是

.(寫成多項(xiàng)式乘法的形式)

(3)比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式.(用式子表達(dá))

⑷運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題：

①10.3x9.7；

②(2m+n-p)(2m-n+p).

③計(jì)算卜卜

4.(2023上?四川內(nèi)江?八年級(jí)四川省內(nèi)江市第二中學(xué)校考階段練習(xí))對(duì)于一些較為復(fù)雜的問題，可以先從簡(jiǎn)

單的情形入手，然后歸納出一些方法，再解決復(fù)雜問題.

【簡(jiǎn)單情形】化簡(jiǎn)

(1)(x-l)(x+l)=；

(2)(X-1)(%2+x+l)=；

(3)(兀-1)(%3+%2+%+])=.

【復(fù)雜問題】化簡(jiǎn)

(4)(x-l)(^2023+x2022+^2021++x+l)=；

【總結(jié)規(guī)律】

(5)觀察以上各式，可以得到：(無一1乂尤"一+尤T+L+尤+1)=；

【方法應(yīng)用】

(6)利用上述規(guī)律，計(jì)算223+22儂+22。。++2+1，并求出該結(jié)果個(gè)位上的數(shù)字.

【考點(diǎn)六整體代換應(yīng)用】

例題：(2023上?甘肅平?jīng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末)閱讀理解:

已知a+Z?=5,ab=3,求標(biāo)+/的值.

解:團(tuán)a+〃=5,

團(tuán)(Q+Z?)2=25,BPa2+2ab+b2=25，

ab=3,

^\a2+b2=(a+Z?)2—2ab=19,

參考上述過程解答：

⑴若無7=-3,xy=-2.

@x2+y2=；

②求(尤+丫)？的值；

(2)已知x+y=7,x2+y2=25,求(x-y)2的值.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023上?四川內(nèi)江?八年級(jí)?？计谥?已知：(2a+26+l)(2a+26—1)=99,則。+〃的值為

2.(2023上?山東臨沂?八年級(jí)校考階段練習(xí))如果(/+〃+2)(標(biāo)+廿—2)=45,貝。?+/的值為.

3

3.(2023上?甘肅天水?八年級(jí)校聯(lián)考期中)(1)已知a-b=5,ab=],求的值.

(2)已知(a+6)2=36,3-6)2=4求:1+力,和曲的值.

4.(2023上?上海浦東新?七年級(jí)統(tǒng)考期中)已知x-y=-5,孫=3,求下列各式的值：

⑴?+:/；

⑵(3x+2)(3y-2)；

(3)(x+y)2.

5.(2023上?湖北武漢?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))(1)計(jì)算：(a