特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬、遛馬、造橋模型解讀與訓練（解析版）

專題01特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬、遛馬、造橋模型

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頑《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一

系列非常有趣的數(shù)學問題，通常稱為“將軍飲馬”。

將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對稱衍生而來，同時還需掌握平移型將軍飲馬（即將軍遛馬、造橋

或過橋），主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊

形背景下的將軍飲馬問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

.錄導航I

1例題講模磯......................................................1

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）..................................................1

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）..................................................5

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）....................................................9

模型4.將軍遛馬、造橋（過橋）模型........................................................13

習題練模畫?

.......................................................................................................................................................21

例題講模型

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）

條件：A,5為定點，機為定直線，尸為直線機上的一個動點，求AP+3P的最小值。

模型（1）點4、5在直線，"兩側(cè)：模型（2）點A、5在直線同側(cè)：

A.

■

B

■

Bo-------------------------------------om

模型證明

模型(1)點4、3在直線機兩側(cè):模型(2)點A、5在直線同側(cè):

A

A

BA

圖⑴圖(2)

模型(1)：如圖(1),連結(jié)AB,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A3的長度。

模型(2)：如圖(2),作點A關(guān)于定直線m的對稱點A\連結(jié)AB根據(jù)對稱得到：PA=PA),故

AP+BP=A'P+BP,

再利用“兩點之間線段最短"，得到AP+2尸的最小值即為：線段的長度。

例1.Q024?四川廣安?中考真題)如圖，在口ABC。中，AB=4,AD=5,上ABC=30。，點M為直線

8C上一動點，則的最小值為.

【答案】741

【分析】如圖，作A關(guān)于直線2C的對稱點4(t,連接AS交2C于Art,則AH=A(tH,AH±BC,

AAH=,當重合時，MA+MD最小，最小值為A(t￡>,再進一步結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，作A關(guān)于直線8C的對稱點A<t,連接ACD交BC于,則AH=A帕，AH±BC,

:當重合時，MA+MD最小，最小值為，

A'

-：AB=4,±ABC=30°,在□川(?￡)中，：AH=1AB=2,ADIIBC,:AA(t=2AH=4,AAi±AD,

9

???AD=5,:4。=、廬/=向，故答案為：41

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，求最小值問題，正確理解各性質(zhì)及掌

握各知識點是解題的關(guān)鍵.

變式1.Q3-24八年級下.廣東廣州?期中）如圖，在矩形A8CD中，AB=5,A。=3,點P滿足

B兩點距離之和尸A+PB的最小值為（）

C.5j2D.

【分析】首先由工.=1s矩形.8，得出動點在與平行且與的距離是2的直線上，作點A關(guān)于直線I的對稱

點E,連結(jié)AE,BE,則BE的長就是所求的最短距離，然后勾股定理求得BE的長，即得答案.

11I2

【詳解】設(shè)A5邊上的IWJ是/z,QS”AB=鼻S矩形.CD，:,h——AB.AD,\h——AZ）=2,

:動點P在與A3平行且與A3的距離是2的直線I上，

如圖，作點A關(guān)于直線/的對稱點及連結(jié)AE,BE,則BE的長就是所求的最短距離，

在RfABE中，QA8=5,AE=2+2=4,：帥=心二二亓=療不=、0，

即PA+PB的最小值為百.故選D.

【點睛】本題考查了最短路線問題，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短的性質(zhì),

作點A關(guān)于直線/的對稱點E,并得到BE的長就是所求的最短距離是解題的關(guān)鍵.

變式2.（23-24八年級下?重慶沙坪壩?期中）如圖，菱形A8CD的周長為8,上ft4c=30。，E是AB的中點,

產(chǎn)是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值是.

E

R

【答案】3

【分析】此題考查軸對稱確定最短路線問題，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)。連接2。，DE,根

據(jù)菱形的性質(zhì)可得，AABD是等邊三角形，再證^ADP沿AABP,得PD=PB,從而得PE+PB的最小值為

DE的長，再由E是的中點，可得。￡_1_4反4￡=:8=1,然后根據(jù)勾股定理可得OE=3,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接BO,DE,?四邊形A8C。是菱形，周長為8,上DAC=30。，

:±DAB=2±DAC=60°,±J)AP=上BAP,AB=AZ)=2,是等邊三角形，

在AAOP和AABP中,AP-AP,±JDAP=±BAP,AB=AD,

:^ADP0&ABP,:PD^PB,:PE+PBPE+PD>DE,BPPE+PB的最小值為DE的長，

■：E^AB的中點，：。E_L=^AB=1,.DE=JAD?-AE：=也，

即PE+P8的最小值為劣.故答案為：內(nèi).

變式3.(23-24八年級下?河南南陽?階段練習)如圖，正方形O48C的邊長為6,點A、C分別在x軸，》

軸的正半軸上，點。(2,0)在04上，尸是08上一動點，則PA+尸。的最小值為()

A.2710B,J10C.4D.6

【答案】A

【分析】本題考查的是最短線路問題、正方形的性質(zhì)及兩點間的距離公式，具有一定的綜合性，但難度適

中.過。點作關(guān)于的對稱點DC,連接DCA交于點P,由兩點之間線段最短可知ZXA即為PA+尸。的

最小值，由正方形的性質(zhì)可求出。，點的坐標，再根據(jù)。4=6可求出A點的坐標，利用兩點間的距離公式即

可求出MA的值.

【詳解】解：過。點作關(guān)于的對稱點。*連接。M交。8于點P,由兩點之間線段最短可知?？诩礊?/p>

%+PD的最小值，

QD(2,0),四邊形OABC是正方形，：。＜t點的坐標為(0,2),A點坐標為(6,0),

:。以=、斤7手=2、后，即PA+PD的最小值為2、而.故選：A

變式4.(23-24九年級下?內(nèi)蒙古?期中)如圖，正方形ABC。的邊長為4,E為8C上的一點，BE=1,F

為A8上的一點，AF-2,P為AC上一個動點，則尸B+PE的最小值為.

【答案】歷

【分析】本題考查正方形性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短，掌握正方形性質(zhì)，

軸對稱性質(zhì)，兩點之間線段最短是解題關(guān)鍵.作點/關(guān)于AC對稱點尸仁根據(jù)正方形ABCD是軸對稱圖形,

AC是一條對稱軸，可得點尸關(guān)于AC的對稱點在線段4。上，連接尸為AC上的一個動點,

PF=PF，,則PF+PE=PF?+PE2EFC,尸尸+PE的最小值為跖的長即可.

【詳解】解：作點/關(guān)于AC對稱點產(chǎn)仁???正方形A8CO是軸對稱圖形，AC是一條對稱軸，

:點F關(guān)于AC的對稱點在線段4。上，連接EFC,

■P為AC上的一個動點，:PF=PF，,則PF+PE^PF<t+PE>EFi,

尸尸+PE的最小值為￡7Y的長，???AB=4,AF=2,:AF<l=AF=2,

過點E作EGJ_A。于點G,則上AGE=90°,?.?四邊形A8CZ）為正方形，：上BAG=JzABE=90。,

:±BAG=±ABE=±AGE=90°,:四邊形ABEG為矩形，：EG=A8=4,AG=BE=1,

:G網(wǎng)=AFC-AG=2-1=1,：EF<1=、后.故答案為：屈.

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）

模型解讀

條件：A,5為定點，m為定直線，尸為直線/上的一個動點，求IAP-5PI的最大值。

圖⑴圖(2)

模型（1）:如圖（1）,延長交直線機于點P,當A、8、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：

\P'A-P'B\<AB,當A、B、尸共線時，有|PA-P8|=48,故|PA-PB|WAB,即|4P-8P|的最大值即為：線段AB的

長度。

模型（2）：如圖（2）,作點8作關(guān)于直線機的對稱點,，連接48'交直線切于點P,此時尸2=?夕。

當4、B、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：\P,A-P,B\=\P,A-P,B'\<AB）,

當A、B、P共線時，有『A-PB|=|PA-P8'|=A8',故|尸4尸即|AP力?|的最大值即為：線段45’的長度。

例1.（2024,陜西西安?二模）如圖，在菱形ABCQ中，AB=8,DB=60°,AE_I_BC于點E,點M在邊A8

上，且AM=2,N是CD的中點，P是AE上的動點，連接尸M、PN.則\PN-PM\的最大值為

【答案】27

【分析】先據(jù)菱形性質(zhì)得出AB=CB=8,結(jié)合直角三角形性質(zhì),得上BAE=90°-上ABE=30°,BE=1AB=4,

7

分析出當M，M,?三點共線，則忸有最大值，且為NF「MPI=MM,再運用勾股定理列式，計

算出,最后把數(shù)值代入=屈不疝/進行計算，即可作答.

【詳解】解：??,在菱形ABC。中，AB=8,:AB=CB=8,

DB=60°,AE_L8C于點E,:在RtZXABE中，上BAE=90°-±ABE=30°,BE=-AB=4,

7

:CE=8-BE=4,則CE=8E作線段。C關(guān)于AE所在直線的對稱線段3功，此時點N的對應(yīng)點為M，

連接并延長交AE于一點，即為P，如圖：

當乂，M,三點共線，則忸N-RW|有最大值，且為

:上。=±ABE=60°,ADt=AD=DXB=8:^ADtB是等邊三角形，±ABD}=60°

過M作N]HJLBM則在RtAN|BH中，上HNf=90°-60°=30°,BM=-BD}=4,BH=2

貝|J"N>=42-22=12HM=AB-BH-AM=4

:N"阿三面^厄而二腳;？將叫呼逑的最大值為2月故答案為：2力

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，三點共線求線段的差最小值，直角三角形的

性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

變式1.Q023春?湖南永州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,AD=6,。為對角線AC的

中點，點尸在AO邊上，且AP=2,點。在2C邊上，連接PQ與OQ,則PQ-。。的最大值為

,PQ+OQ的最小值為

【分析】①連接PO并延長交BC于點°,則這個點。滿足使P。-。。的值最大，最大值為PO的長度，證

明四邊形AP/汨是矩形可得AB=PH=2,AP=BH=QC=2,HQ=2,再利用勾股定理進行計算即可；

②過點O作關(guān)于BC的對稱點。，，連接POC交BC于點。，PQ+OQ的值最小，

PQ+OQ的最小值為PO<t的長度，延長OOC交AD于點G,根據(jù)對稱的性質(zhì)可得GO<t=3G。=3,再根據(jù)

GOCAD,點。是AC的中點，可得AG=L1D=3,從而求得尸G=1,再利用勾股定理進行計算即可.

【詳解】解:①連接尸。并延長交2C于點Q,則這個點。滿足使PQ-0Q的值最大，最大值為尸。的長度，

???四邊形ABCO是矩形，：A。II3C,上4=上8=90。，：上P4。=上QC。，???點。是AC的中點，

■.AO=CO,

又?.?上POA=上QOC,:△APO@/\CQO（ASA）,-.OP=OQ,AP=QC,

???A尸=2,:CQ=2,過點尸作8c于點P,???上4=上8=上/7汨=90°,:四邊形APH8是矩形，

:AB=PH=2,AP=BH=QC=2,=6-2-2=2,:尸Q=M+Z?，:2。=；尸。=VL

②過點0作關(guān)于2C的對稱點。,連接POC交2C于點Q,PQ+OQ的值最小，

PQ+OQ的最小值為PO<t的長度，延長OOC交AD于點G,_LA￡>,點O是AC的中點,

:.AG=-AD=3

7

■.GO=-DC=1,AP=2,:GO<t=3GO=3,PG=3-2=1,

7

?，-PO<C=#77=./io，:EQ+OQ的最小值為：Jio，故答案為：V2;Jio.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及軸對稱-最短路徑，熟練掌握相關(guān)知

識是解題的關(guān)鍵.

變式2.(23-24八年級下?山東聊城?期中)如圖，在正方形4BC。中，AB=8,AC與BO交于點。，N是A。

的中點，點M在BC邊上，且8M=6.P為對角線上一點，貝-PN的最大值為

【答案】2

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，最值問題

等，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.以為對稱軸作N的對稱點NC，連接PNC，根據(jù)對稱

性質(zhì)可知，PN=PN。,由此可得RW-PN&<MN。,當尸,三點共線時，取“=",此時即PM-PN的值

CMCN'1

最大，由正方形的性質(zhì)求出AC的長，繼而可得ON(t=0N=22,ANC=62,再證明——=——=-可

RUAh/'1

得NCMIIAB,上CMN<t=90。，判斷出為等腰直角三角形，求得■長即可得答案.

【詳解】解：如圖，以為對稱軸作N的對稱點NC,連接PNC,

根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，PN=PN6,.?.PM-PNC4MM1：,當三點共線時，取"=〃，

,?,在正方形ABC。中，AB=BC=CD=A￡>=8,ZABC=/BCD=ACDA=ADAC=90°,

AC=JAB=&、5,"O為AC中點，.?.AO=OC=4,

,:N為OA中點，；.ON=2g--=ON=2、歷,--AN^=6、萬，

CMCN'1

=6,;CM=AB-BM=8-6=2,——=-—=一，:，N'MIIAB,.--ZCMNi=ZCBA=90°,

RMAN'3

■.■ZMCN<1=45°,為等腰直角三角形，??.CM=N(tM=2,故答案為：2.

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）

模型（1）：兩定點+兩動點

條件：A,3為定點，在直線機、〃上分別找兩點P、Q,使PA+PQ+Q3最小。

兩個點都在直線外側(cè)（圖1-1）；內(nèi)外側(cè)各一點（圖1-2）；兩個點都在內(nèi)側(cè)（圖1-3）

圖1-1圖1-1圖1-1

模型（2）：一定點+兩動點

條件：如圖2,A為定點，在直線機、”上分別找兩點P、Q,使三角形AP。的周長（6P+PQ+QA）最小。

圖1-1圖1-1圖1-1

模型（1-1）網(wǎng)點都在直線外側(cè)型）

如圖1-1,連結(jié)A8,根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+Q5的最小值即為：線段的長度。

模型（1-2）直線內(nèi)外側(cè)各一點型）

如圖1-2,作點B關(guān)于定直線”的對稱點B',連結(jié)48；根據(jù)對稱得到：QB=QB：故

PA+PQ+QB=PA+PQ+QB

根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段/夕的長度。

模型（1-3）網(wǎng)點都在直線內(nèi)側(cè)型）

如圖1-3,作點B關(guān)于定直線n的對稱點B作點A關(guān)于定直線m的對稱點/連結(jié)/B,

根據(jù)對稱得至U：QB=QB',PA=PAPA+PQ+QB=PA'+PQ+QB

根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段//，的長度。

模型（2）：如圖2,作點A分別關(guān)于定直線""”的對稱點/'、連結(jié)/區(qū)

根據(jù)對稱得至U：QA=QA',PA=PA",PA+PQ+QA=PA1'+PQ+QA

再利用“兩點之間線段最短"，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段NN”的長度。

模型運用

例1.（2023?四川廣元?一模）如圖，已知正方形ABC。邊長為3,點￡在AB邊上且BE=1,點,P,。分別

是邊BC,CD的動點（均不與頂點重合），當四邊形A&Q的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是

【分析】作￡關(guān)于BC的對稱點創(chuàng)，點A關(guān)于DC的對稱點AC,連接AC砍，四邊形AEPQ的周長最小，根

Q-V.<:

據(jù)S四邊形AEP。-S正方形ABC。"4ADQ24PCQ"ABEP>即可解.

【詳解】解：如圖1所示，作E關(guān)于BC的對稱點或，點A關(guān)于。C的對稱點A5連接對或，四邊形A￡P(guān)Q

的周長最小，

■■-AD=A(tD=3,BE=BE<t=1,:A4,=6,AE1t=4.

-DQ,。是A4（t的中點，：OQ是△AUEC的中位線,

:DQ=-A￡<t=2,CQ=DC-CQ=3-2=1,-.BPIIAA<t,:AB￡(tP^AAE(tA(t,

7

BPBEiRRBP1333

一才二一才，即一=-BP=一，CP=BC-BP=3——二一，

AAdAEd64222

四邊形=正方形公々

SAEPQSABCD-S^ADQ~S^PCQ-SBEP=9--AD.DQ-CQ.CP--BE.BP

=9--x3x2--xlx^--xlx^=故選：B.

222222

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，三角

形面積的計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出四邊形A“。的周長最小時，P、。的位置.

變式1.（23-24八年級下廣西南寧?期中）【問題提出】（1）為了探索代數(shù)式正1+7^一）的最小值,

2

8-%+25

老師進行了如下引導，如圖1,C為線段2D上一動點，分別過點8、￡＞作ED±BD,連接

AC、EC.已知A8=l,DE=5,BD=8,設(shè)BC=x.

①則AC=—,EC=—.（用含x的代數(shù)式表示）.

②如圖2,過點￡作跖J_A8交AB的延長線于足構(gòu)造矩形BDEP,連接AE,此時A、C、E三點共線,

AC+CE的值最小，則AC+CE的最小值=___.

【遷移應(yīng)用】（2）如圖3,正方形45CD中，點E在BC邊上，點G在AD邊上，SAF_\_EG.已知。尸=1,A￡=3,

求AE+FG的最小值.

【答案】（1）①，J（8-XT+25；②10;Q）1冢、而

【分析】本題考杳字贏數(shù)式的最值，數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理，關(guān)鍵是通過構(gòu)造直角三角形，利用勾

股定理求解.

（1）①由于AA8C和ACDE都是直角三角形，故AC,CE可由勾股定理求得；

②求出AE的值便是AC+CE的值最??；

（2）過點E作石“_|_A。于點"，通過三角形全等求出GE二Af二,J]+32二而，作點A關(guān)于C3的對稱點

AC,作點/關(guān)于的對稱點網(wǎng)，過網(wǎng)作RfKUB于K,連接屋尸，當即G,4)三點共線時，人怔+尸帽最

小，求出結(jié)論即可.

【詳解】解：(1)①Q(mào)4B_LBD,ED±BD,

由勾股定理得：AC=4+1,EC=J(8-x)?+25:故答案為：VF7T，J(8-x1+25;

②矩形2。所中，BF=DE=5,BD=FE=8,DF=900,

\AE+CE=AE=J(l+5)：+8:=10,故答案為：10；

,?,四邊形ABC。為正方形，：48=A。，DDAB=DB=DD=90O,

EH±AD,:四邊形A8EH為矩形，:EH=AB,:EH=AD,

AF.LEG,GDAF+OEGA=900■.DEGA+QGEH=900,ODAF=DGEH.

ND=NGHE=90°

在ADAF和AfffiG中，</O=EH,:ADAFqAHEG,:GE=AT=、/產(chǎn)+f=、吊j,

ZDAF=NGEH

如圖，作點A關(guān)于CB的對稱點A叫作點F關(guān)于A。的對稱點R<t,過Rt作FCK_LAB于K,連接屋小，

：DF，=DF=1,W=AB=3,-.AE+FG=A(JE+F(tG,

則當gG,A(f三點共線時，ACE+RG最小，:AMd：=〃仁+KF°=V?7??=癇,

:AtfE+MtGuAMaGE=、夙-；而，即AE+FG的最小值為J元--行.

變式2.Q3-24八年級下?安徽淮南?期末)如圖，在口A8CD中，AB=4,BC=30，上D48=45°,對角

線AC、BZ)相交于點。，點、E、尸分別是邊A。、A8上的點，連接OE、OF、EF.

(1)點C到直線AB的距離是;(2)△(?￡尸周長的最小值是

【答案】3岳

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問題；掌握平行四邊形的性質(zhì)，用勾股定理求

邊，利用對稱性求最短距離是解題的關(guān)鍵.Q）過點C作48的垂線，交AB延長線于點在等腰直角三

角形中求CM即可；Q）作點O關(guān)于A。的對稱點G，點0關(guān)于AB的對稱點H，連接GH,AG,

AH-,則GH長為AOEF周長的最小值；在等腰直角三角形AGH中求G8,即可.

【詳解】解：（1）如圖：過點C作AB的垂線，交延長線于點

???四邊形ABCD是平行四邊形，：A。II8C,

QDDAB=45°,：±CBM=±DAB=45°,:/BCM=45°=NCBM

QBC=32,：CM=3,:點C到直線AB的距離是3；故答案為：3；

（2）如圖，作點。關(guān)于AD的對稱點G,點。關(guān)于AB的對稱點//,連接GH,AG,AH,

則GH長為AOEB周長的最小值；由（1）知，在Rtd4CM中，AM=4+3=7,CM=3,

,-.JC=J32+72=J58：.OA=-AC=^->

79

由對稱性可知，AH==AG,ZDAG=ZDAO,ZFAO=ZFAH,：AAHG是等腰三角形,

XQDDAB=45\：±GAH=90°；:GH=6AG=6AO=^、

：A（9￡F周長的最小值=OE+OF+EF=GE+EF+FH=揚,故答案為：、房.

模型4.將軍遛馬、造橋（過橋）模型

模型（1）：將軍遛馬模型：已知A、8是兩個定點，P、。是直線機上的兩個動點，P在。的左側(cè)，且PQ

間長度恒定，在直線機上要求P、。兩點，使得E4+PQ+Q8的值最小。

點A、3在直線機異側(cè)（圖1-1）；點A、8在直線機同側(cè)（圖1-2）；

圖2

模型（2）：將軍造橋（過橋）模型

已知，如圖2,將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往8點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處

能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最?。?/p>

將軍遛馬模型（異側(cè)型）：如圖1-1,過A點作ACII肛且AC=P。，連接BC,交直線機于。，。向左平移P。

長，即為尸點，此時尸、。即為所求的點。

：PQ為定值，.?.求PA+PQ+Q2的最小值，即求PA+QB的最小值+P。。

■：AC\\m,AC=PQ,得到四邊形APQC為平行四邊形，故”=QC。.?.尸4+。2=。。+。8,

再利用“兩點之間線段最短”，可得PA+Q2的最小值為CB,故力+PQ+Q2的最小值=2。+。區(qū)

圖1-1圖1-2圖2

將軍遛馬模型（同側(cè)型）：如圖1-2,過A點作AEW,且AE=PQ,作8關(guān)于機的對稱點方，連接夕E,交直

線機于。，。向左平移P。長，即為尸點，此時P、。即為所求的點。

：產(chǎn)。為定值，，求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+Q8的最小值+P。。

\,AE\\m,AE=PQ,得到四邊形APQE為平行四邊形，^LAP=QEo：.PA+QB=QE+QB,

根據(jù)對稱，可得?！?QB,BPQE+QB=QE+QB,,

再利用“兩點之間線段最短”，可得QE+Q夕的最小值為EB，，故PA+PQ+紗的最小值=尸。+班1

將軍造橋（過橋）模型：如圖2,過人點作ATIIMN,且A4MVW,連接48,

'."AA'WMN,且，四邊形APQC為平行四邊形，故AM=AW,

為定值，，求AM+MN+NB的最小值，即求AA/+NB的最小值+MN。

再利用“兩點之間線段最短”，可得AM+NB的最小值為42,故AM+MN+NB的最小值=A\B+AW。

例1.（23-24八年級下?湖北武漢?期中）如圖，在矩形ABCD中，A8=6,AD=10］為CD的中點，若P、Q

為BC邊上的兩個動點，且尸Q=2,則線段AP+QE的最小值為一.

【答案】、標

【分析】在4。上截取線段4尸=尸。=2，作廠點關(guān)于BC的對稱點G,連接EG與BC交于一點即為。點,

過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為尸點，則此時AP+EQ=EG最小，據(jù)此求解即可.

【詳解】在A。上截取線段AF=PQ=2,作F點關(guān)于BC的對稱點G,連接EG與BC交于一點即為。點,

連接FQ,過A點作FQ的平行線交8C于一點，即為P點，過G點作8c的平行線交DC的延長線于H點.

Q4尸=P。=2,AFIIPQ,：四邊形AP。尸是平行四邊形，：尸A=FQ=GQ,

,?,￡為CD邊的中點，：。E=EC=1CD=LW=3,

99

<2尸點與點6關(guān)于8（7對稱，：8（7垂直平分尸6,：?！?匕7尸=48=6,

9

：GH=DF=AD-AF=10-2=8,EH=EC+CH=3+6=99±H=90°,

：EG7EH、GM=卮，:線段AP+QE的最小值為■、廂，故答案為：■、廊?

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，題

目具有一定的代表性，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?陜西?模擬預測）如圖，菱形ABC。的邊長為3,ZBAD=60°,點、E、/在對角線AC上（點E

在點尸的左側(cè)），且EF=1,則OE+8尸最小值為

DC

【答案】10

【分析】作DMIIAC,使得DM=EF=L連接8M交AC于R由四邊形是平行四邊形，推出

DE=FM,推出DE+B代BM+尸根據(jù)兩點之間線段最短可知，此時。E+用最短，由四邊形A2CD是菱

形，在中，根據(jù)勾股定理計算即可.

【詳解】解：如圖，作。MIIAC,使得DM=EF=1,連接交AC于尸,

"DM=EF,DM11EF,:四邊形。EFM是平行四邊形，\DE=FM,:DE+BF=FM+FB=BM,

根據(jù)兩點之間線段最短可知，此時。E+FB最短，"四邊形ABCD是菱形，AB=3,匕&4。=60。

：A￡)=AB,aARD是等邊三角形，：2￡)=AB=3,

22

"BD1AC,DM,AC,：BD_LDM,在RfABDM中，BM=71+3=JT5

：DE+BF的最小值為?、麗.故答案為?瓦.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、兩點之間線段最短、勾股定理等知識，解題的

關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短解決，屬于中考填空題中的壓軸題.

變式2.Q024?河北甘B單B?三模)如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，上4BC=60。，將△A8O沿射線8。的

方向平移得到△ACMZM,分別連接MC,A<tD,B<tC,則MC+MC的最小值為()

A.1B.J2C..、萬D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=l,±ABD=30°,根據(jù)平移的性質(zhì)得到A(tB(t=AB=1,AiB^//AB,推出

四邊形屋加CD是平行四邊形，得到AS=B<tc,于是得至以CC+B<ic的最小值=A<iC+A<tD的最小值，根據(jù)平

移的性質(zhì)得到點AC在過點A且平行于的定直線上，作點。關(guān)于定直線的對稱點E,連接CE交定直線于

AC,則CE的長度即為ACC+BCC的最小值，求得DE=CD,得到上E=上DCE=30°,于是得到結(jié)論

【詳解】解：在邊長為1的菱形ABCD中，上ABC=60°,：AB=CD=1,±ABD=30°,

Q將△ABD沿射線2。的方向平移得到△AdBCZM,：A<tB（t=AB=1,AlB<tIIAB,

Q四邊形A8CZ）是菱形，：AB=CD,ABPCD,:±BAD=120°,

=CD,A<lB<l//CD,：四邊形A嶗'CD是平行四邊形,

：A<tD=B^C,：A0：C+B<tC的最小值=A<lC+A<tD的最小值,

Q點A<t在過點A且平行于BO的定直線上，

:作點。關(guān)于定直線的對稱點E,連接CE交定直線于A<t,貝IJCE的長度即為ACC+B<lC的最小值,

在RtzMHD中，Q±A<tAD=±ADB=30°,AD-1,

：JzADE=60°,DH-EH--AD=—,DE=1,'.DE-CD,

77

Q上CDE=±￡DB<1+1_CDB=900+30°=120°：±E=JzDCE=30°,作。G_LEC,

;DE=CD=1；.CE=2CG過點。作。G_LEC垂足為G

在Rt^CGD中，上￡(CE=30。CD=\,：CG=0.CE=2CG=2X?=6故選：C.

77

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，求得ACC+BCC

的最小值=A<tC+A<lD的最小值是解題的關(guān)鍵.

變式3.Q024?陜西西安?模擬預測）如圖，在正方形ABC。中，E,尸是對角線AC上兩點（點E靠近點

A）,且所=2萬，當8E+B尸的最小值為2,而時，AB的長為

AD

【答案】4

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，線段和的最值問題，勾股定理；平移BF至

GE,則BP=GE,連接得出四邊形GEFB是平行四邊形，則8GIIAC,BG=EF=22,根據(jù)

題意可得G0=2J記，在RfGB。中，勾股定理求得2。，進而即可求解.

【詳解】解：如圖所示，平移至GE,則8F=GE,連接

.?.四邊形GEFB是平行四邊形，；.8GIIAC,BG=EF=2、B,<AC”BD±BG

,?,在正方形ABC。中，E,尸是對角線AC上兩點BE=ED：.BE+BF=BE+GE=BE+DE>GO=210

在RtAGBD中，80=xjGD2-GB2=J(2呵'-(20『=40AB=-^BD=4故答案為：4.

例2.(2023?陜西西安?校考模擬預測)如圖，口ABC。中，AB=3,AD=2,上。4B=60°,DF上AB,

BE.LCD；垂足分別為點尸和E.點G和”分別是。尸和BE上的動點，GH//AB,那么AG+G//+CH的

最小值為.

【答案】7+2

【分析】過點E作E/HAD交AB于點/,連接H/.易求出4尸=1,DF=3,DE=GH=BF=2.易證四

邊形AGH/為平行四邊形，得出AG=H7,即說明當m+CH最小時，AG+GH+C”最小.由當點/,H,

C三點共線時，仆S最小.結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)和勾股定理求出小手，即得出C/=7,

即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點E作E/HAD交A8于點/,連接H/.

DF±AB,-.±ADF=30°,,AF=-AD=1

■.BF=AB-AF=2,DF=』AD2-護=6--DF±AB,BE±CD,-.GFIIBH.

???GH//AB,:四邊形GH3F為平行四邊形，：GH=2.同理可得出8尸=OE=2.

ABIIDE,ADII￡7,:四邊形ADE/為平行四邊形，

-AI=DE=2=GH,:四邊形AGH/為平行四邊形，

:AG=HI,:AG+GH+CHHI+2+CH,:當HI+CH最小時，AG+GH+CH最小.

???當點/,H,C三點共線時，H/+CH最小，：此時AG+G//+CH最小，如圖，

■.■ADILEI,:BCIIEI.；CEII":四邊形BCE/為平行四邊形，：BH=L8E=Lz)E=也，CI=2HI,

777

?；4B=3,⑷=2,=^HI=y/BH2+BI2=—,.-.C/=V7,

:AG+G8+CH的最小值為C/+GH=./7+2.故答案為：、方+2.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行線的判定，兩點之

間線段最短等知識.正確作出輔助線，理解當點/,H,C三點共線時，HI+CH最小,即此時

AG+GH+CH

最小是解題關(guān)鍵.

變式1.C2023春?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期中)如圖，在口A2CD中，AB=2,AD=5,M、N分別是AO、

BC

邊上的動點，且上A8C=JzMNB=60°,則8M+MN+ND的最小值是

【分析】由上60°可知MV為定長，在A。、BC間滑動，故由造橋選址模型進行平移，轉(zhuǎn)化為兩點間

距離加上定長，再利用特殊角構(gòu)造直角三角形，使用勾股定理求出兩點間距離.

【詳解】作MEHAB交BC于點E,在AD取。尸=MN,連接跖，延長A3至點BC,使=ME,連接

B<lF,作網(wǎng)于點H,如下圖：

QABIIME，:上MEN=±ABC=上MEN=60°,

:AMEN為等邊三角形，：ME=EN=MN,

QYABCD,:ADIIBC,:四邊形ABEM為平行四邊形,

同理得四邊形BBCEM與四邊形尸為平行四邊形，

'.ME=EN=MN=AB=2,B<tE-BM,EF-ND,

：BM+MN+ND=B<tE+EN+ND=B<tE+EF+22B<tF+2,

Rt^B<iHA中期=-B'A=2,BtH=JB'A2-B'H2=2宕

R2B4HF中=>JB'H2+HF2=yj\2+(AH+AD-FD)2=J12+5,=歷，

■,BM+MN+ND2、可+2,BM+MN+ND的最小值是■歷+2.

【點睛】本題考查平移類最短路徑，為造橋選址模型，即沿一個方向平移的定長線段兩端到兩個定點距離

和最小，解題時需要理清楚是否含有定長平移線段，且利用平移求出最短路徑位置.求解長度時若有特殊

角，通常采用構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解的方法.

變式2.Q024?陜西西安?二模)如圖1,正方形ABC。的邊長為4,點￡、尸是對角線8。上兩動點，且

EF=2,將點C沿EF的方向平移2個單位得到點H,連接CH、FH.

⑴①四邊形￡CW的形狀為;

②連接AC>AF,當點A,F,H共線時，CE+CF的值為

⑵自古以來，黃河就享有"母親河"的美譽，是中華文明的發(fā)源地之一，也是中華民族生生不息、賴以生存

的搖籃.如圖2,某地黃河的一段出現(xiàn)了分叉，形成了"丫"字型支流，分叉口有一片三角形地帶的濕地，在

支流1的左上方有一村莊A,支流2的右下方有一開發(fā)區(qū)B,為促進當?shù)氐慕?jīng)濟發(fā)展，經(jīng)政府決定在支流1

和支流2上分別修建一座橋梁PQ、MN(支流1的兩岸互相平行，支流2的兩岸也互相平行，橋梁均與河

岸垂直)，你能幫助政府計算一下由村莊A到開發(fā)區(qū)B理論上的最短路程嗎？(即AP+PQ+QM+MV+NB和

的最小值).經(jīng)測量，A、B兩地的直線距離為2000米，支流1、支流2的寬度分別為150JT米、250米，

且與線段A8所夾的銳角分別為60°、30°.

【答案】⑴①平行四邊形；②6.(2)(100273+1503+250)米

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，平移的性質(zhì)：

(1)①根據(jù)平行的性質(zhì)得到CH=EF=2,據(jù)此可證明四邊形EC毋■是平行四邊形；②由正方

形的性質(zhì)得到上AC。=上BDC=45°,AD=CD=4,上ADC=90°,由勾股定理得AC=42，由平行線的性

質(zhì)得到/￡>“=/BDC=45°,則上ACH=90°,由勾股定理得到A”=6,再由正方形的性質(zhì)和平行四邊形

的性質(zhì)得到AF=CF,CE=FH,貝UCE+CF=