2024年中考模擬試卷數(shù)學(xué)（南通卷）

2024年中考第一次模擬考試（南通卷）數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．的倒數(shù)是（

）A． B． C．2024 D．2．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．3．如圖所示放置的正三棱柱的俯視圖是（

） A B C D4．如圖，，直線分別交，于點(diǎn)，，平分，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．某中學(xué)籃球隊(duì)12名隊(duì)員的年齡情況如下表，關(guān)于這12名隊(duì)員的年齡，下列說(shuō)法中正確的是（

）年齡/歲1213141516人數(shù)13422A．眾數(shù)為14 B．極差為3 C．中位數(shù)為13 D．平均數(shù)為146．如圖，函數(shù)和的部分圖像與直線分別交于、兩點(diǎn)，如果的面積是，則的值為（

）A． B． C． D．第6題圖第8題圖第9題圖7．《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著，在中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上有著重要地位．其中有一個(gè)“酒分醇醨”問(wèn)題：務(wù)中聽(tīng)得語(yǔ)吟吟，畝道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通飲了一斗七，一十九客醉醺醺．欲問(wèn)高明能算士，幾何醨酒幾多醇？其大意為：有好酒和薄酒分別裝在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，現(xiàn)在好酒和薄酒一共飲了17升，醉了19位客人，試問(wèn)好酒、薄酒各有多少升？若設(shè)好酒有升，薄酒有升，根據(jù)題意列方程組為（

）A． B． C． D．8．如圖，是的直徑，是的切線，為切點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)，連接，．若，，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．9．如圖1，矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)沿從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)，兩點(diǎn)間的距離為，，圖2是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)隨變化的關(guān)系圖象，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．6 D．710．如圖，在中，，，．現(xiàn)在內(nèi)疊放邊長(zhǎng)為1的小正方形紙片，第一層小紙片的一條邊都在上，首尾兩個(gè)正方形各有一個(gè)頂點(diǎn)，分別在，上，依次這樣疊放上去，則最多能疊放多少？（）A．16個(gè) B．13個(gè) C．14個(gè) D．15個(gè)第Ⅱ卷二、填空題（本大題共8小題，11～12題每小題3分，13～18題每小題4分，共30分．不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把最終結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）11．計(jì)算：的值為．12．世界上最大的沙漠撒哈拉沙漠，位于非洲北部，面積約906萬(wàn)平方千米，該地區(qū)氣候條件非常惡劣，是地球上最不適合生物生存的地方之一．?dāng)?shù)據(jù)906萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為13．分解因式：．14．如圖，，若，，則的大小為．第14題圖第16題圖第17題圖15．點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值等于．16．如圖，菱形中，分別以點(diǎn)，為圓心，，的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)．若，，則圖中陰影部分的；面積為．（結(jié)果不取近似值）17．圖1為手機(jī)支架實(shí)物圖，圖2為它的側(cè)面示意圖，“型”托架用于放置手機(jī)，支架兩端分別與托架和底座（其厚度忽略不計(jì)）相連，支架端可調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度，已知，，支架調(diào)整到圖2位置時(shí)，，．因?qū)嶋H需要，現(xiàn)將支架端角度調(diào)整為，如圖3所示，則點(diǎn)的位置較原來(lái)的位置上升高度為．18．如圖，在中，，，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)、為直角邊向下作直角，且，連接，則的最大值是．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19．（10分）（1）解方程：；（2）解不等式組：

．20．（10分）、、、四名選手參加賽跑，賽場(chǎng)共設(shè)1，2，3，4四條跑道，選手以隨機(jī)抽簽方式?jīng)Q定各自的跑道，請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求、兩位選手抽中相鄰跑道的概率．21．（10分）根據(jù)我市體育中考“3+1+1+1”模式，“跳繩”作為中考體育必考項(xiàng)目之一．我校為了了解今年九年級(jí)學(xué)生跳繩的水平，隨機(jī)抽取部分九年級(jí)學(xué)生的測(cè)試成績(jī)按、、四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)所給信息，解答下列問(wèn)題(1)求隨機(jī)抽取的總?cè)藬?shù)；(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中等級(jí)所在扇形的圓心角度數(shù)，并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3)若我校九年級(jí)共有學(xué)生人，請(qǐng)求出取得等級(jí)的學(xué)生人數(shù)．22．（10分）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，且，，求四邊形的面積．23．（11分）某賓館有50個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間定價(jià)120元時(shí)，房間會(huì)全部住滿，當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑．如果游客居住房間，賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用，設(shè)每個(gè)房間定價(jià)增加元（x為整數(shù)）．(1)直接寫出每天游客居住的房間數(shù)量y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)某日，賓館了解當(dāng)天的住宿的情況，發(fā)現(xiàn)當(dāng)日所獲利潤(rùn)為8000元，每個(gè)房間剛好住滿2人，且當(dāng)天房間支出不少于500元，問(wèn)這天賓館入住的游客有多少人？(3)設(shè)賓館每天的利潤(rùn)為w元，當(dāng)每間房?jī)r(jià)定價(jià)為多少元時(shí)，賓館每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？24．（12分）如圖，是的直徑，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，且，與交于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，若，求的半徑．25．（13分）【概念認(rèn)識(shí)】定義：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)E，若，，，則的長(zhǎng)度＝______cm．【數(shù)學(xué)理解】（2）在探究如何畫“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動(dòng)中，小李想到可以利用八年級(jí)的所學(xué)三角形全等．如圖2，在中，已知是弦，是半徑，求作：的內(nèi)接垂等四邊形．（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）【問(wèn)題解決】（3）如圖3，已知A是上一定點(diǎn)，B為上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作出的內(nèi)接垂等四邊形（A、B不重合且A、B、O三點(diǎn)不共線），對(duì)角線與交于點(diǎn)E，的半徑為，當(dāng)點(diǎn)E到的距離為時(shí)，求弦的長(zhǎng)度．26．（14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)A，B，與軸交于點(diǎn)C，其中，拋物線的對(duì)稱軸是直線．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)．若，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)另有拋物線的頂點(diǎn)在線段上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將拋物線平移得到新的拋物線，點(diǎn)，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)，連接．若軸，點(diǎn)在軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)的坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．

2024年中考第一次模擬考試（南通卷）數(shù)學(xué)·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1．的倒數(shù)是（

）A． B． C．2024 D．【答案】B【解析】解：∵，∴的倒數(shù)是，故選：B．2．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：A、與不能合并，不符合題意；B、，不符合題意；C、，符合題意；D．，符合題意．故選：C．3．如圖所示放置的正三棱柱的俯視圖是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如圖所示的正三棱柱的俯視圖是故選：A．4．如圖，，直線分別交，于點(diǎn)，，平分，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，平分，∴，∴，∵，∴，故選：C．5．某中學(xué)籃球隊(duì)12名隊(duì)員的年齡情況如下表，關(guān)于這12名隊(duì)員的年齡，下列說(shuō)法中正確的是（

）年齡/歲1213141516人數(shù)13422A．眾數(shù)為14 B．極差為3 C．中位數(shù)為13 D．平均數(shù)為14【答案】A【解析】解：A、14歲的人數(shù)最多，故眾數(shù)為14，選項(xiàng)正確；B、極差為：，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、第6個(gè)和第7個(gè)數(shù)據(jù)均為14，故中位數(shù)為14，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、平均數(shù)為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A．6．如圖，函數(shù)和的部分圖像與直線分別交于、兩點(diǎn)，如果的面積是，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：記交軸于點(diǎn)，如圖所示：由知，,的面積是，,，，故選：B．7．《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著，在中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上有著重要地位．其中有一個(gè)“酒分醇醨”問(wèn)題：務(wù)中聽(tīng)得語(yǔ)吟吟，畝道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通飲了一斗七，一十九客醉醺醺．欲問(wèn)高明能算士，幾何醨酒幾多醇？其大意為：有好酒和薄酒分別裝在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，現(xiàn)在好酒和薄酒一共飲了17升，醉了19位客人，試問(wèn)好酒、薄酒各有多少升？若設(shè)好酒有升，薄酒有升，根據(jù)題意列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：根據(jù)好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，現(xiàn)在好酒和薄酒一共飲了17升，醉了19位客人，列出方程組得：故選：D．8．如圖，是的直徑，是的切線，為切點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)，連接，．若，，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：連接，∵是的切線，為切點(diǎn)，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∵∴，∴，，∴，∴．故選：A9．如圖1，矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)沿從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)，兩點(diǎn)間的距離為，，圖2是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)隨變化的關(guān)系圖象，則的長(zhǎng)為（

）

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】解：由圖2可知，當(dāng)P點(diǎn)位于B點(diǎn)時(shí)，，即，當(dāng)P點(diǎn)位于E點(diǎn)時(shí)，，即，則，∵，∴，即，∵∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，故選：C．10．如圖，在中，，，．現(xiàn)在內(nèi)疊放邊長(zhǎng)為1的小正方形紙片，第一層小紙片的一條邊都在上，首尾兩個(gè)正方形各有一個(gè)頂點(diǎn)，分別在，上，依次這樣疊放上去，則最多能疊放多少？（）A．16個(gè) B．13個(gè) C．14個(gè) D．15個(gè)【答案】A【解析】解：作于點(diǎn)．在中，，，，則由勾股定理，得．．則小正方形可以排4排．最下邊的一排小正方形的上邊的邊所在的直線與的邊交于、．∵，，則，解得：整數(shù)部分是7．則最下邊一排是7個(gè)正方形．第二排正方形的上邊的邊所在的直線與的邊交于、．則，解得，整數(shù)部分是5，則第二排是5個(gè)正方形；同理：第三排是：3個(gè)；第四排是：1個(gè)．則正方形的個(gè)數(shù)是：．故選：A．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共8小題，11～12題每小題3分，13～18題每小題4分，共30分．不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把最終結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）11．計(jì)算：的值為．【答案】/【解析】解：，故答案為：．12．世界上最大的沙漠撒哈拉沙漠，位于非洲北部，面積約906萬(wàn)平方千米，該地區(qū)氣候條件非常惡劣，是地球上最不適合生物生存的地方之一．?dāng)?shù)據(jù)906萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為【答案】【解析】906萬(wàn)．故答案為：．13．分解因式：．【答案】【解析】解：．14．如圖，，若，，則的大小為．【答案】/40度【解析】解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：．15．點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值等于．【答案】【解析】∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，即，∴，故答案為：．16．如圖，菱形中，分別以點(diǎn)，為圓心，，的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)．若，，則圖中陰影部分的；面積為．（結(jié)果不取近似值）【答案】【解析】解：連接，四邊形是菱形，，，、都是等邊三角形，，，，故答案為：17．圖1為手機(jī)支架實(shí)物圖，圖2為它的側(cè)面示意圖，“型”托架用于放置手機(jī)，支架兩端分別與托架和底座（其厚度忽略不計(jì)）相連，支架端可調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度，已知，，支架調(diào)整到圖2位置時(shí)，，．因?qū)嶋H需要，現(xiàn)將支架端角度調(diào)整為，如圖3所示，則點(diǎn)的位置較原來(lái)的位置上升高度為．【答案】【解析】解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖3，延長(zhǎng)交于點(diǎn)旋轉(zhuǎn)前如圖3：∵，，，∴，∵,，∴，∵，∴在和中，，，故點(diǎn)到的距離為：，旋轉(zhuǎn)后如圖3：∵，∴，∵，∴，在中，，故，點(diǎn)的位置較原來(lái)的位置上升高度為:，故答案為：18．如圖，在中，，，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)、為直角邊向下作直角，且，連接，則的最大值是．

【答案】【解析】解：如圖，作，使，連接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)A，點(diǎn)E共線時(shí)，有最大值，∴的最大值為．故答案為：．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19．（1）解方程：

（2）解不等式組：

【解析】解：（1）去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的解；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為.20．、、、四名選手參加賽跑，賽場(chǎng)共設(shè)1，2，3，4四條跑道，選手以隨機(jī)抽簽方式?jīng)Q定各自的跑道，請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求、兩位選手抽中相鄰跑道的概率．【解析】畫樹(shù)狀圖表示兩位選手抽中賽道的情況如下：由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩位選手抽中相鄰跑道的結(jié)果有，共6種，∴兩位選手抽中相鄰跑道的概率為．21．根據(jù)我市體育中考“3+1+1+1”模式，“跳繩”作為中考體育必考項(xiàng)目之一．我校為了了解今年九年級(jí)學(xué)生跳繩的水平，隨機(jī)抽取部分九年級(jí)學(xué)生的測(cè)試成績(jī)按、、四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)所給信息，解答下列問(wèn)題(1)求隨機(jī)抽取的總?cè)藬?shù)；(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中等級(jí)所在扇形的圓心角度數(shù)，并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；(3)若我校九年級(jí)共有學(xué)生人，請(qǐng)求出取得等級(jí)的學(xué)生人數(shù)．【解析】（1）根據(jù)題意，得（人）．（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中等級(jí)所在扇形的圓心角度數(shù)為，等級(jí)人數(shù)為（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：（3）（人）答：全校有達(dá)到A等級(jí)的學(xué)生有144人．22．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，，．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，且，，求四邊形的面積．【解析】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，即，∵，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形．（2）解：四邊形是矩形，，，，在中，由勾股定理得：，，四邊形為菱形．，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，，，．23．某賓館有50個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間定價(jià)120元時(shí)，房間會(huì)全部住滿，當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑．如果游客居住房間，賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用，設(shè)每個(gè)房間定價(jià)增加元（x為整數(shù)）．(1)直接寫出每天游客居住的房間數(shù)量y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)某日，賓館了解當(dāng)天的住宿的情況，發(fā)現(xiàn)當(dāng)日所獲利潤(rùn)為8000元，每個(gè)房間剛好住滿2人，且當(dāng)天房間支出不少于500元，問(wèn)這天賓館入住的游客有多少人？(3)設(shè)賓館每天的利潤(rùn)為w元，當(dāng)每間房?jī)r(jià)定價(jià)為多少元時(shí)，賓館每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？【解析】（1）解：（且為整數(shù)）（2）設(shè)每個(gè)房間房?jī)r(jià)增加元，根據(jù)題意，得：，化簡(jiǎn)，得；解得：．∵，解得：，∴這天賓館入住的游客有人．答：這天賓館入住的游客有人．（3）設(shè)每天所獲利潤(rùn)為元，根據(jù)題意可知，．∵二次項(xiàng)系數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，即．此時(shí)每間房間定價(jià)為（元）．答：當(dāng)每間房間定價(jià)為320元時(shí)，賓館每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為9000元．24．如圖，是的直徑，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，且，與交于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，若，求的半徑．【解析】（1）證明：∵為直徑，點(diǎn)C在圓上，∴，∴，又，∵，∴，∴，∴，即，又點(diǎn)A在上∴是的切線；（2）連接，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴，∵為直徑，點(diǎn)D在圓上，∴，而，∴，在中，，∴；（3）連接，∵，又∵，∴，又∵，∴，∴，而，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，又∵，∴，，，而，∴．25．【概念認(rèn)識(shí)】定義：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)E，若，，，則的長(zhǎng)度＝______cm．【數(shù)學(xué)理解】（2）在探究如何畫“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動(dòng)中，小李想到可以利用八年級(jí)的所學(xué)三角形全等．如圖2，在中，已知是弦，是半徑，求作：的內(nèi)接垂等四邊形．（要求：