蘇科版七年級數(shù)學(xué)下冊同步訓(xùn)練：認(rèn)識三角形（5大考點(diǎn)+5種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）（解析版）

第04講認(rèn)識三角形

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、了解三角形的概念；了解三角形的穩(wěn)定性；

2、理解三角形的分類；理解三角形及與三角形有關(guān)的線段的概念;

3、掌握并證明三角形兩邊的和大于第三邊；

4、掌握三角形面積的方法

思維導(dǎo)圖

知識清單

三角形的概念

（1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

組成三角形的線段叫做三角形的邊.

相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).

相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.

（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三

角形即等邊三角形）.

二.三角形的角平分線、中線和高

（1）從三角形的一個頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高.

（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三

角形的角平分線.

（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線.

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一

條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三

條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn).

三.三角形的面積

（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即&=2X底X高.

2

（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

四.三角形的穩(wěn)定性

當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.這一特性主要

應(yīng)用在實(shí)際生活中.

五.三角形三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的

線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形.

（3）三角形的兩邊差小于第三邊.

（4）在涉及三角形的邊長或周長的計(jì)算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個隱藏的定時炸彈，容

易忽略.

題型精講

一.三角形的概念（共4小題）

1.（2023春?江都區(qū)月考）圖中的三角形被木板遮住了一部分，這個三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.以上都有可能

【分析】三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.有一個角是直角的三角形是直

角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；三個角都是銳角的三角形是銳角三角形.

【解答】解：從圖中，只能看到一個角是銳角，其它的兩個角中，可以都是銳角或有一個鈍角或有一個直角.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題考查了三角形的分類.

2.（2023春?建鄴區(qū)期中）如圖，圖中以3C為邊的三角形的個數(shù)為4

A

【分析】根據(jù)三角形的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：,以BC為公共邊的三角形有ABCD,NBCE,NBCF,AA5C,

以3c為公共邊的三角形的個數(shù)是4個.

故答案為：4.

【點(diǎn)評】此題考查了學(xué)生對三角形的認(rèn)識.注意要審清題意，按題目要求解題.

3.（2023春?建鄴區(qū)校級期中）如圖，以為邊的三角形的個數(shù)是上一個.

【分析】根據(jù)三角形的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解：?.?以3c為公共邊的三角形有ABCD,NBCE,NBCF,AABC,

：.以3c為公共邊的三角形的個數(shù)是4個.

故答案為：4.

【點(diǎn)評】此題考查了學(xué)生對三角形的認(rèn)識.注意要審清題意，按題目要求解題是關(guān)鍵.

4.（2023春?秦淮區(qū)校級月考）如圖，平面內(nèi)有五個點(diǎn)，以其中任意三個點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，最多可以畫10

個三角形.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，以A,3為頂點(diǎn)，得AABC,AADB,AABE,

以A,C為頂點(diǎn)，得AACD,AACE,

以A,。為頂點(diǎn)，得AADE,以3,C為頂點(diǎn)，得ABCE,ABCD,

以B,。為頂點(diǎn)，得ABDE,以C,。為頂點(diǎn)，得ACDE,

故以其中任意三個點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，最多可以畫10個三角形，

故答案為：10.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

二.三角形的角平分線、中線和高（共6小題）

5.（2023春?錫山區(qū)校級月考）下列各組圖形中，AD是AABC的高的圖形是（）

【分析】根據(jù)過三角形的頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答.

【解答】解：AABC的高是過頂點(diǎn)A與3c垂直的線段，只有。選項(xiàng)符合.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的高線，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵.

6.（2023春?秦淮區(qū)期中）如圖，ZACB>90°,AD1BC,BE±AC,CFYAB,垂足分別為點(diǎn)。、點(diǎn)E、

點(diǎn)尸，AABC中AC邊上的高是（）

【分析】從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊引垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高.根據(jù)此概念求解即

可.

【解答】解：AABC中，畫AC邊上的高，是線段3E.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的高線的定義，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識圖并熟記高線的定義是解題的關(guān)鍵.

7.（2023春?秦淮區(qū)期中）如圖，已知為AABC的中線，AB=10cm,AC=7cm,AACD的周長為20a”，

則AABD的周長為23cm.

【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得班＞=CD,再表示出AABD和AACD的周長的差就是AB、AC的差,

然后計(jì)算即可.

【解答】解:?.?AD是3c邊上的中線，

:.BD=CD,

:.AABD^AACD周長的差=（AB+3O+AD）-（AC+An+Cr））=A5—AC=10—7=3（cm）,

AACD的周長為20cm,他比AC長3cm,

.?.A4BD周長為：20+3=23（?！保?

故答案為23.

【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的中線的定義，把三角形的周長的差轉(zhuǎn)化為己知兩邊A3、AC的長度的差

是解題的關(guān)鍵.

8.（2023春?吳江區(qū)期中）如圖，4）是AABC的高，CE是AAC3的角平分線，尸是AC中點(diǎn)，ZACB=50°,

ZBAD=65°.

（1）求ZAEC的度數(shù)；

（2）若ABCF與AE4F的周長差為3,AB=7,則3C=10.

?

【分析】（1）根據(jù)三角形的高的概念得到Z4DB=90。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出根據(jù)角平分線

的定義求出NECB,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可；

（2）根據(jù)三角形的中線的概念得到/F=RC,根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：（1）是AABC的高，

:.ZADB=90°,

■.-ABAD=65°,

,ZABD=90°—65°=25°,

?.?CE是AACB的角平分線，ZACB=50°,

:.ZECB=-ZACB=25°,

2

ZAEC=ZABD+ZECB=25。+25。=50。；

(2)?.?萬是AC中點(diǎn)，

/.AF=FC,

???ABCF與ABAF的周長差為3,

/.(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3,

/.BC—AB=3,

?.?AB=7,

..BC=10,

故答案為：10.

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的三角形的角平分線、中線和高，從三角形的一個頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與

頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高；三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個內(nèi)角的頂點(diǎn)

與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線；三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線.

9.(2023春?旺胎縣期中)如圖，已知AE是AABC的邊3c上的中線，若AC=6,AAEC的周長比的

周長多1,則AB=5.

【分析】根據(jù)三角形中線的概念得到CE=3E,根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：是A4BC的邊BC上的中線，

/.CE=BE,

,jAACE的周長比AAEB的周長多1,

:.(AC+AE+CE)-(AB+BE+AE)=1,即AC-AB=1,

-.-AC=6,

AB=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線.

10.(2023春?高新區(qū)期中)如圖，在AABC中，A￡>_L3C于。，AE1平分N?4c.

(1)若NC=70。，ZB=40°,求NZME的度數(shù)

(2)若NC—ZB=30°,則ZZME=_15。—.

(3)^ZC-ZB=?(ZC>ZB),求m歸的度數(shù)(用含1的代數(shù)式表示).

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義和互余進(jìn)行計(jì)算；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義得出ZDAE的度數(shù)等于與NC差的一半解答即可;

(3)根據(jù)(2)中所得解答即可.

【解答】解：(1)由已知可得，Nfi4c=180。-40。-70。=70。，

.?.NC4D=20°,

,NO4E=NC4E—NC4T>=35°—20°=15。；

(2)?.?ZB+ZC+Zfi4C=180o,

,ZS4C=180°—ZB-NC,

AE1平分NBAC,

NBAE=|ABAC=1(180°-ZB-ZC)=90°-1(ZB+ZC),

?：ADLBC,

:.ZADE^90°,

ZADE=ZB+ZBAD,

:.ZBAD^90°-ZB,

ZDAE=ABAD-NBAE=(90°-NB)-[90°-1(ZB+ZC)]=1(ZC-ZB),

■.■ZC-ZB=30°,

ZDAE=-x30°=15°,

2

故答案為：15°；

(3)■.■ZC-ZB=a,

/.ZDAE=—xa=—a.

22

【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和是180。和三角形外角性質(zhì)解答.

三.三角形的面積（共8小題）

11.（2023春?海州區(qū)期中）如圖，AABC中，AD是邊上的中線，仍是AMD中AD邊上的中線，若

A4BC的面積是24,則AABE的面積是（）

A.4B.6C.8D.10

【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)，得AABE的面積是的面積的一半，AABD的面積是AABC的面積

的一半，由此即可解決問題；

【解答】解：:AD是AABC的中線，

SAAB。=5^AABC=12?

?.,BE1是AABD的中線，

S/UBE=2S/sABD=6-

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查三角形的面積，三角形的中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線把三角形的

面積分成了相等的兩部分.

12.（2023春?泗洪縣期中）如圖，A4BC中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，EC=2班T，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，若AABC

的面積&ABC=12，則入小一5AB跖=（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】本題需先分別求出SMBD,SMBE再根據(jù)5AA加-5As跖=5AAM，-%砥即可求出結(jié)果.

【解答】解：?.?兒?=12,

EC=2BE,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

SMBE==4，

SAAB。=1=6，

.c_c

一^^ABD'

二^^ADF-S^EF，

=6—4,

=2.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的面積計(jì)算，在解題時要能根據(jù)已知條件求出三角形的面積并對要求的兩個

三角形的面積之差進(jìn)行變化是本題的關(guān)鍵.

13.（2023春?儀征市月考）如圖，在AABC中，AC=8,BC=6,AD,3E分別是邊3C,AC上的高,

且A￡>=6.5,則BE的長為

【分析】根據(jù)三角形面積公式得到工3c=然后把AC=8,BC=6,AD=6.5代入計(jì)算即可.

22

【解答】W：-：AD,BE分別是邊3C,AC上的高，

S..?^-BCAD^-ACBE,

ZVIDrL22

八廠6x6.539

BE=--------=—.

88

故答案為：—.

8

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即5=工、底x高.

2

14.（2023春?興化市月考）如圖，AABC中，D、E分別是3C,AD的中點(diǎn)，AABC的面積是16,則陰影

部分的面積是4.

【分析】根據(jù)三角形中線將三角形分成面積相等的兩部分可知：AADC是陰影部分的面積的2倍，AABC的

面積是AADC的面積的2倍，由此可解.

【解答】解：?.■點(diǎn)。、E分別是3C,AD的中點(diǎn)，

一^AAEC=JSAA0c>S1sA0c——S4ABe，

SAAEC=卜16=4，

故答案為：4.

【點(diǎn)評】本題考查根據(jù)三角形中線求面積，掌握“三角形中線將三角形分成面積相等的兩部分”是解題的關(guān)

鍵.

15.(2023春?灌南縣期中)如圖，在AABC中，AD為邊3c上的高，點(diǎn)E為邊3c上的一點(diǎn)，連接AE.

(1)當(dāng)AE為邊3c上的中線時，若AD=6,AABC的面積為24,求CE的長；

(2)當(dāng)AE為NBAC的平分線時，若NC=66。，ZB=36°,求NZMEr的度數(shù).

【分析】(1)先根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出BC=8,然后根據(jù)初為邊3C上的中線得到CE的長；

(2)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出44c=78。，再利用角平分線的定義得到NC4E=39。，接著計(jì)算出

ACAD,然后計(jì)算NC4E-NC4D即可.

【解答】解：(1)為邊3c上的高，AABC的面積為24,

-BCAD=24,

2

?.?AE為邊BC上的中線，

:.CE=-BC=4；

2

(2)-.-ZC=66°,ZB=36°,

ZK4c=180°—NC-ZB=180°-66°-36°=78°,

.?.AE為N54C的平分線，

ZCAE=-ABAC=39°,

2

?.,ZAT>C=90°,NC=66°,

ACAD=90°-66°=24°,

■.ZDAE=ZCAE-ZCAD=39O-24°=15°.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即5=工乂底x高.

2

16.(2023春?工業(yè)園區(qū)校級月考)已知：如圖所示，AABC中，D、E分別在邊AC、AB上，CD=3AD,

BE\AE=3:2,求止:FB的值.

AEB

【分析】先利用線段之比得出面積之比，得至|墾k=0=3和鼠叱=空=工，再求出“皿=6〃，則可

S.FDAD1S四BE3

得出答案.

【解答】解：連接AF,

\-CD=3AD,

.S^CDF_CD_3,

S^FDA01

設(shè)SACDF=3。,則S^FD=a,

又?.?5石:AE=3:2,

.S^EF_AE_2,

..二一『"

設(shè)S^AEF=2x，貝|JS^BEF=3x，

又..SAGAE_AE_2

SMJBEBE3

??■sACfl￡=|sACA￡,

33

-S^cFB=S^CEB-S^BF=/^AACE—+〃+2x)X——3x=6。，

DF_S^CDF__]

~BF~'S^~6^~2

故答案為：

2

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積，利用三角形的邊長之比轉(zhuǎn)換成面積之比是解題的關(guān)鍵.

17.（2023春?靖江市校級月考）如圖，AABC中，AB=6cm,BC=10cm,CE±AB,AD±BC,AD和

CE交于點(diǎn)P,ZB=55。.

（1）求ZAFC的度數(shù)；

(2)^AD=4cm,求C￡的長.

【分析】(1)ZAFC=ZFDC+ZFCD,求出NRCD即可.

(2)利用面積法求解即可.

【解答】解：(1):CELAB,

ZCEB=90°,

;ZB=55°,

:.ZCBE=35°,

■：AD^BC,

ZFDC=90°,

ZAFC=ZFDC+ZFCD=900+35°=125°.

(2)-.-CELAB,AD±BC,

■.S.=-BCAD=-ABCE,

AABRCr22

AB=6cmfBC=10cm?AD=4cm?

一ADBC4x1020、

CE=-----------=--------=——(zcm).

AB63

【點(diǎn)評】本題考查三角形的面積，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求高，屬于中

考常考題型.

18.（2023春?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，在三角形ABC中，AB=10cm,AC=6cm,。是3c的中點(diǎn)，點(diǎn)

E在邊AB上，三角形瓦宏與四邊形ACDE的周長相等.

(1)求線段他的長;

(2)圖中共有8條線段;

若圖中所有線段長度的和是530〃，求2。+工。石的值;

2

(4)若四邊形ACD石的面積為〃，則點(diǎn)。到直線AB的距離為一.（用〃的代數(shù)式表示）

BD

【分析】(I)根據(jù)線段中點(diǎn)的概念得到m=CD,根據(jù)三角形的周長公式、四邊形的周長公式計(jì)算即可;

(2)根據(jù)線段的概念寫出圖中線段；

(3)根據(jù)題意列式計(jì)算求出23C+DE的值，進(jìn)而求出+的值；

2

(4)連接AD,根據(jù)面積之比等于同高的底邊之比，得出5.：5她姓=1：4,再根據(jù)三角形的中線將三角形

分成面積相等的兩部分，設(shè)則邑48=5彳，求出用〃表示三角形的面積，再根據(jù)三角形的面積等

于底邊長與高線乘積的一半，求出點(diǎn)D到直線AB的距離

【解答】解：(1)是3c的中點(diǎn)，

/.BD=CD,

???ABDE與四邊形ACDE的周長相等，

.?.BE+BD+DE=AE+AC+CD+DE,

:.BE=AE+AC,

AB=10m,AC=6cm,

BE=8cm，

AE—AB—BE—2cm；

(2)圖中線段有：BE、BA.EA.BD、BC、DC、DE、AC共8條，

故答案為：8；

(3)?.,圖中所有線段長度的和是53cm,

/.BE+BA+EA-\-BD+BC+DC+DE+AC=2BA+2BC+DE+AC=53cm,

2BC+DE—Tlcm,

127

/.BC+—DE=——cm；

22

(4)如圖所示連接AD:

/.BE=8cm,

/.AE:BE=1:4,

?.?D是3c的中點(diǎn),

BD=DC,

?c_c

設(shè)SMPE=%，則58=5%,

S四EOCA=8AAED+8AAz'

：.6x=nJ

n

：.x=—

6

_2

^NBDE=1，

/.s設(shè)點(diǎn)D到直線AB的距離為h,

-x8/z=-n,

23

h——n，

6

故答案為：-n.

6

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的中線、三角形的周長計(jì)算，正確寫出圖中線段的條數(shù)是解題的關(guān)鍵.

四.三角形的穩(wěn)定性（共3小題）

19.（2023秋?興化市月考）如圖，生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，這是利用三角形的（）

A.全等形B.穩(wěn)定性C.靈活性D.對稱性

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答.

【解答】解：生活中都把自行車的幾根梁做成三角形的支架，這是因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用.三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房

屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得.

20.（2023春?睢寧縣期中）下列圖形中，具有穩(wěn)定性的是（）

A.B.

【分析】直接根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可.

【解答】解：A、3、C選項(xiàng)中都有四邊形，只有C選項(xiàng)中只有三角形，根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性和三角形

的穩(wěn)定性可知：C選項(xiàng)的圖形具有穩(wěn)定性.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，掌握組成的所有的圖形都是三角形，則具有穩(wěn)定性是解答本題的

關(guān)鍵.

21.（2023春?儀征市期中）如圖，在上網(wǎng)課時把平板放在三角形支架上用到的數(shù)學(xué)道理是（）

A.三角形的穩(wěn)定性B.對頂角相等

C.垂線段最短D.兩點(diǎn)之間線段最短

【分析】利用三角形的穩(wěn)定性直接回答即可.

【解答】解：把平板電腦放在一個支架上面，就可以非常方便的使用它上網(wǎng)課，這樣做的數(shù)學(xué)道理是三角形

具有穩(wěn)定性，

故選：A.

【點(diǎn)評】考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是從圖形中抽象出三角形模型，難度不大.

五.三角形三邊關(guān)系（共9小題）

22.（2023春?吳江區(qū)期中）已知一個三角形的周長為偶數(shù)，其中兩條邊長分別等于4c機(jī)和%77Z,則第三邊

的長可能是（）

A.4cmB.6cmC.9cmD.13cm

【分析】已知三角形的兩邊長分別為4c〃?、9cm,根據(jù)在三角形中任意兩邊之和〉第三邊，任意兩邊之差<

第三邊；即可求第三邊長的范圍.

【解答】解：設(shè)第三邊長為xcm,

則由三角形三邊關(guān)系定理得9-4<x<9+4,即5cx<13.

V一個三角形的周長為偶數(shù)，

;.x=7或9或11.

二只有9cm符合題意.

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊

是解答此題的關(guān)鍵.

23.（2023春?姑蘇區(qū)校級月考）已知三角形的三邊長為3、7、a,則。的取值范圍是_4<a<10_.

【分析】已知三角形的三邊長，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和”，進(jìn)行求

解.

【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

7—3VQV7+3，

即：4vavl0.

故答案為：4<a<10.

【點(diǎn)評】考查了三角形的三邊關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是熟知三角形的三邊關(guān)系，即任意兩邊之和大于第三

邊，任意兩邊之差小于第三邊.

24.（2023春?漣水縣期末）若三角形兩邊的長分別為2和7,且第三邊的長為奇數(shù)，則第三邊的長為7.

【分析】已知兩邊，則第三邊的長度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長的范圍，又

知道第三邊長為奇數(shù)，就可以知道第三邊的長度.

【解答】解：設(shè)第三邊的長為無，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

7-2<x<7+2,即5Vx<9.

又第三邊長是奇數(shù)，則x=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，實(shí)際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式

即可，難度適中.

25.（2023春?儀征市期末）三角形兩邊的長分別為1,7,第三邊長是整數(shù)，則第三邊的長為7.

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和〉第三邊，任意兩邊之差〈第三邊”，求得第三邊的取值范

圍，再進(jìn)一步根據(jù)第三邊是整數(shù)求解.

【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

第三邊>6,而<8.

又第三條邊長為整數(shù)，

則第三邊是7.

故答案為：7.

【點(diǎn)評】此題主要是考查了三角形的三邊關(guān)系，同時注意整數(shù)這一條件.

26.（2023春葉B江區(qū)月考）已知AABC的三邊長是a,b,c.

（1）若。=4,b=6,且三角形的周長是小于18的偶數(shù).求c邊的長；

（2）化簡|a+力一c|+|c-a-6|.

【分析】（1）利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)而得出c的取值范圍，進(jìn)而得出答案；

(2)根據(jù)絕對值的定義和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)a,b,c是AABC的三邊，a=4,b=6>

/.2<c<10,

???三角形的周長是小于18的偶數(shù),

/.2<c<8>

r.c=4或6；

(2)16z+Z?—c|+1c—a—b|

=a+b—c—c+a+b

=2a+2b—2c.

【點(diǎn)評】此題主要考查了絕對值和三角形三邊關(guān)系，得出。的取值范圍是解題關(guān)鍵.

27.(2023春?興化市月考)在AABC中，AB=8,AC=1.

(1)若3c是整數(shù)，求3c的長；

(2)己知AD是AABC的中線，若AACD的周長為10,求三角形ARD的周長.

【分析】(1)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可；

(2)根據(jù)三角形的中線的定義得到班>=CD,根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：(1)由題意得：AB-AC<BC<AC+AB,

:.l<BC<9,

?.?3C是整數(shù)，

BC=8；

(2)是AABC的中線，

:.BD=CD

?.?AACD的周長為10,

:.AC+AD+CD=1O,

?.?AC=1,

:.AD+CD=9,

.?.的周長=AB+3D+AD=AB+/ID+CD=8+9=17.

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之

差小于第三邊是解題的關(guān)鍵.

28.(2023春?宿城區(qū)校級月考)已知在AABC中，NA、ZB、NC的對邊分別為a、b、c.

(1)化簡代數(shù)式：\a+b-c\+\b-a-c\=_2a_.

(2)若=AC邊上的中線區(qū)D把三角形的周長分為10和18兩部分，求腰長AB.

【分析】(1)先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得a+Z?>c,a+c>b,從而可得a+c>0,b-a-cc。,

再化簡絕對值，然后計(jì)算整式的加減法即可得；

(2)先根據(jù)三角形中線的定義可得AZ)=8，，，再分①+AD=1°和②]A?+人。=18兩種情況，

分別求出。，。的值，從而可得三角形的三邊長，然后看是否符合三角形的三邊關(guān)系定理即可得出答案.

【解答】解：(1)由題意得：a+b>c,a+c>b,

tz+Z?—c>0,b—a—cvO,

."\cih-c\-\-\b—ci—c\

=a+b—c+(—b+a+c)

=a+6—c—b+a+c

=2a.

故答案為：2a；

(2)畫出圖形如下：

\-AB=AC,

:.b=c,

???BD是AC邊上的中線，且AC=6,

hc

..AD=CD=-=~,

22

分以下兩種情況：

AB+AD=1Q)c+-=10

①當(dāng)……一時，即《2

BC+CD=1S

?+-=18

2

M

-T

-2T0

此時AABC的三邊長分別為竺，蟲，空，不滿足三角形的三邊關(guān)系定理，舍去;

333

c+-=18

AB+AD=182

②當(dāng)時,即

BC+CD=10

aH—=10

2

解得尸2,

[a=4

此時A鉆C的三邊長分別為4,12,12,滿足三角形的三邊關(guān)系定理；

綜上，腰長AB為12.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理、整式加減的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用、三角形的中線等知

識點(diǎn)，較難的是題（2）,正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

29.（2023春?灌云縣月考）某市木材市場上木棒規(guī)格與價格如下表：

規(guī)格1m2m3m4m5m6m

價格/（元/101520253035

根）

小明的爺爺要做一個三角形的支架養(yǎng)魚用，現(xiàn)有兩根長度為3機(jī)和5機(jī)的木棒，還需要到該木材市場上購買一

根.

（1）有幾種規(guī)格的木棒可供小明的爺爺選擇？

（2）在能做成三角形支架的情況下，選擇哪一種規(guī)格的木棒最省錢？

【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得5-3<x<5+3,再解出不等式可得x的取值范圍，進(jìn)而得到選擇

的木棒長度；

（2）根據(jù)木棒價格可直接選出答案.

【解答】解：（1）設(shè)第三根木棒的長度為工機(jī)，

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：5—3<x<5+3,

解得2Vx<8,

x=3,4,5,6共4種，

有4種規(guī)格木棒可供小明的爺爺選擇；

（2）根據(jù)木棒的價格可得選3根最省錢.

【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三

邊.三角形的兩邊差小于第三邊.

30.（2023春?儀征市月考）已知a,b,c是AABC的三邊長，b,c滿足（6-2）?+1c-3卜0,且。為方程

|x-4|=2的解，求AABC的周長.

【分析】利用絕對值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出b,c的值，進(jìn)而利用三角形三邊關(guān)系得出“的值，進(jìn)而

可得出其周長.

【解答】解：-2）2+|C-3|=0,

—2=0,c—3=0,

解得：b=2,c=3f

a為方程|%-41=2的解，

/.x—4=±2,

解得：X=6或2.

1.<a>b>。為AABC的三邊長，b+cv6,

.,.九=6不合題意舍去，

Q=2，

...AABC的周長=a+b+c=2+2+3=7.

【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及絕對值的性質(zhì)和偶次方的性質(zhì)，得出。的值是解題關(guān)鍵.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一.選擇題（共10小題）

1.（2023春?江都區(qū)月考）如圖所示在AABC中，AB邊上的高線畫法正確的是（）

【分析】直接利用高線的概念得出答案.

【解答】解：在AABC中，回邊上的高線畫法正確的是3,

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形高線的作法，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

2.（2023春?祁江區(qū)期末）下列三條線段的長度能構(gòu)成三角形的是（）

A.1,2,3B.2,2,4C.2,9,6D.4,6,9

【分析】根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”對各選項(xiàng)進(jìn)行進(jìn)行逐一分析即

可.

【解答】解：A、1+2=3,不能夠組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、2+2=4,不能組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、2+6<9,不能夠組成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、4+6>9,能夠組成三角形，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數(shù)的和是否大于

第三個數(shù).

3.（2023春?工業(yè)園區(qū)期中）已知三角形兩邊的長分別為2cm、1cm,第三邊長為整數(shù)，則第三邊的長可以

為（）

A.4cmB.5cmC.8cmD.9cm

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的范圍，進(jìn)而得到答案.

【解答】解：設(shè)第三邊的長為xcm,

則7—2<x<7+2,即5Vx<9,

?.?第三邊的長為整數(shù)，

第三邊的長可以為8c加.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊是

解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?江寧區(qū)校級月考）已知三條線段的長分別是3,7,m,若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)機(jī)的最

大值是（）

A.11B.10C.9D.7

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍，進(jìn)而解答即可.

【解答】解：?.?三條線段的長分別是3,7,m,它們能構(gòu)成三角形，

.,.7—3<m<7+3,

.■.4<m<10,

整數(shù)機(jī)的最大值是9.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊是解

題的關(guān)鍵.

5.（2023春?亭湖區(qū)期中）如圖，為了估計(jì)池塘兩岸A,3間的距離，在池塘的一側(cè)選取點(diǎn)P,測得24=15

米，PB=1O米，那么A,3間的距離不可能是（）

P

A.6米B.8.7米C.C米D.27米

【分析】連接AB,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出不等式，即可得出選項(xiàng).

【解答】解：設(shè)=x米，

?.?B4=15米，尸3=10米，

二.由三角形三邊關(guān)系定理得：15-10<45<15+10,

:.5<AB<25,

所以選項(xiàng)。不符合，選項(xiàng)A、B、C符合，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，能根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出不等式是解此題的關(guān)鍵.

6.（2023春?工業(yè)園區(qū)期中）如圖，CM是AABC的中線，BC=8cm,若ABCM的周長比AACM的周長大

3cm,則AC的長為（）

【分析】根據(jù)三角形中線的特點(diǎn)進(jìn)行解答即可.

【解答】解：為AABC的AB邊上的中線，

-.tsBCM的周長比AACM的周長大3c〃z,

（BC+BM+CM）-（AC+AM+CM）=3cm,

.\BC—AC=3cm,

,/BC=8cm,

/.AC=5cm,

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的中線，熟知三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線是解

此題的關(guān)鍵.

7.（2023春?高港區(qū)月考）如圖，在A4BC中，已知點(diǎn)E、P分別是4）、CE邊上的中點(diǎn)，且&15c=16。層,

則5AB￡尸的值為（）

【分析】根據(jù)三角形的面積公式，知：等底等高的兩個三角形的面積相等.

2

【解答】解：S陰影=—5ABeE=~SAABC=4cm.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的面積，充分運(yùn)用三角形的面積公式以及三角形的中線的性質(zhì).

8.（2023春?姜堰區(qū)期中）小李想做一個三角形的框架，他有兩根長度分別為12cm和10aw的細(xì)木條，需要

將其中一根木條分為兩段與另一根組成一個三角形.如果不考慮損耗和接頭部分，那么小李應(yīng)該選擇把哪根

木條分為兩段？（）

A.12aw的木條B.lOcro的木條C.兩根都可以D.兩根都不行

【分析】三角形兩邊之和大于第三邊.依此即可求解.

【解答】解：?.■三角形兩邊之和大于第三邊，

兩根長度分別為12c〃z和10c加的細(xì)木條做一個三角形的框架，可以把12a%的細(xì)木條分為兩截.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，利用了三角形中三邊的關(guān)系求解.

9.（2023春?高郵市期中）如圖，在AABC中，E是BC上的一點(diǎn)，EC=2班T，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，且

S.c=18,貝US".—5她所=（）

A.2B.3C.4D.5

2?1

【分析】由EC=2BE得，同理可得，根據(jù)

SA八八A八,￡1/C=3-SAA/>B<.C=-3xl8=125八AB一e,0,=—D,/\r\t>\.=9

S"DE—SkBEF=^AADFS四邊形"FD一+S四邊形CEFD）=^AAEC_*^ABCD即可待到答案?

【解答】解：?.?EC=2BE,

22

8AA=-xl8=12

??,點(diǎn)。為AC中點(diǎn),

-S2CD=萬^AABC=9，

■?^AAEC-S邸CD=3，

=

即^AADF-S空EF~S&4。尸+S四邊形CEFD-（\BEF+S四邊形慮尸。）^AAEC-^ABCD='

-S^ADF-SmEF=3?

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積計(jì)算，同高不等底的三角形面積之比為底之比，熟悉以上性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

10.（2023春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，在AABC中，點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，CE=-AC,A4BC的面積是4,

4

則下列結(jié)論正確的是（）

A.Sy邑B.岳=2C.S2=0.5D.-S2=1

【分析】設(shè)與盛相交于點(diǎn)。，連接OC,根據(jù)三角形的中線性質(zhì)可得AB8的面積=ACOD的面積，

AABD的面積=AACD的面積=!AABC的面積=2,從而可得R=AA3O的面積72,再根據(jù)已知CE=」AC,

24

可得ABEC的面積=：AABC的面積=1,從而可得S?=四邊形8CE的面積#的面積工0.5;然后根

據(jù)圖形面積的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：設(shè)4）與助相交于點(diǎn)。，連接OC,

?.?點(diǎn)。是邊3c的中點(diǎn)，AABC的面積是4,

ABOD的面積=ACOD的面積，AABD的面積=AACD的面積=-NABC的面積=2,

2

:.St=AABO的面積/2；

CE=~AC,

4

:.ABEC的面積=」AABC的面積=1,

4

?jABOD的面積#四邊形ODCE1的面積，

S,=四邊形ODCE的面積H-NBEC的面積b0.5；

2

1=AA8O的面積=的面積-ABQD的面積=2-ABOD的面積,

S2=四邊形ODCE的面積=ABEC的面積—ABOD的面積=1-ABOD的面積，

..S]wS?;

1一$2=2—ABOD的面積-（1-ABOD的面積）=1；

故A,B,C都不符合題意；。符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

填空題（共8小題）

11.（2023春?丹陽市校級期末）已知三角形三條邊長分別是2、。、3,且。為奇數(shù)，則。=3.

【分析】首先根據(jù)三角形的三邊之間的關(guān)系得：3-2<。<3+2,由此解得然后再根據(jù)“為奇數(shù)即

可求出。的值.

【解答】解：根據(jù)三角形的三邊之間的關(guān)系得：3-2<a<3+2,

:A<a<5,

a為奇數(shù)，

a=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的三邊之間關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的三邊之間關(guān)系：任意

兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

12.（2023春葉B江區(qū)月考）如圖，學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數(shù)學(xué)原理是

利用了三角形的穩(wěn)定性（選填“穩(wěn)定性”或“不穩(wěn)定性”）.

【分析】學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬做成三角形的形狀，利用三角形不變形即三角形的穩(wěn)定性，從而可得答

案.

【解答】解：學(xué)校門口設(shè)置的移動拒馬都用鋼管焊接成三角形，這樣做的數(shù)學(xué)原理是利用了三角形的穩(wěn)定

性，

故答案為：穩(wěn)定性.

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的穩(wěn)定性是實(shí)際應(yīng)用，掌握“三角形具有穩(wěn)定性”是解本題的關(guān)鍵.

13.（2023春?玄武區(qū)校級期中）如圖，在AABC中，已知AT>_L3C,垂足為。，BD=2CD,若E是"）的

q

中點(diǎn)，貝U也叫=6.

q---------

【分析】設(shè)AECD的面積為S,根據(jù)三角形面積公式，利用E是仞的中點(diǎn)得到％1s=25,再利用BD=2CD

得到^0二九，所以&15c=65,從而得到上的值?

S^ECD

【解答】解：設(shè)AECO的面積為S,

???石是AD的中點(diǎn)，

?，-S^CD=2s皿CD=2s，

???BD=2CD,

「?S.=2SM8=2X2S=4S,

SAABC=2s+4s=6S,

.SAABC_竺_6

S莊CDS

故答案為：6.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即5=』乂底x高,

2

三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是關(guān)鍵.

14.（2023春?天寧區(qū)校級期中）如圖，點(diǎn)C在直線/外，點(diǎn)A、3在直線/上，點(diǎn)D、E分別是AB,BC

的中點(diǎn)，AE、CD相交于點(diǎn)歹.已知/由=6,四邊形班ED的面積為6,則AC的最小值為6

【分析】連接施，過點(diǎn)C作CH，至于點(diǎn)〃，根據(jù)三角形中線性質(zhì)只需求出%BC=18,進(jìn)而求出C"=6,

即可利用點(diǎn)到到直線的距離垂線段最短求解.

【解答】解：如圖，連接3尸，過點(diǎn)C作CH_LM于點(diǎn)”,

c

HADB

???點(diǎn)。、石分別是AB、的中點(diǎn),

-S^ABE=SMCE=5SAAB。=^AADC=^^BDC，+^^BFD，^/^CEF=^SBEF，

-S^CEF+S四邊形成）產(chǎn)后=S△CEF_1~^ACF9^/^AFD_1~^ACEF=^^BEF+'四邊形①邛七二6，

一S四邊形fiDFE=^AACF=6,

…SMBC=S.CF+S四邊形5。尸￡+S⑻D+S^CEF=18，

：.-ABCH=1S,

2

:.CH=6,

?.?點(diǎn)到到直線的距離垂線段最短,

AC..CH—6,

，AC的最小值為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的面積，三角形中線的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，正確作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

15.（2023春?儀征市期中）如圖，AD是AABC的中線，跖是AABD的中線，石F_L3C于點(diǎn)尸.若加。=24,

BD=4,則￡F長為二

推出5AsDE=工1C，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案.

IXijLJiL2tXAoLf1\DL）E.4ZVLDC

【解答】解：???AD是AABC的中線,

一^^ABD=萬S^ABC，

???HE1是AABD的中線,

/\rflJr.,,lAntiLJ

*，-SgDE=7SAABC=a*24=6，

SA2r>D/JErt=—BD?EF,

-BDEF=6,

2

§P-x4xEF=6,

2

解得:EF=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積、三角形的中線的性質(zhì)等知識，理解三角形高的定義，熟練掌握三角形的

面積公式是解題的關(guān)鍵.

16.（2023春?亭湖區(qū)校級期末）某花店打算制作一批有兩邊長分別是7分米，3分米，第三邊長為奇數(shù)（單

位：分米）的不同規(guī)格的三角形木框.要制作滿足上述條件的三角形木框共有3種.

【分析】根據(jù)在