蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略：難點探究之相似三角形中動點問題壓軸題六種模型（原卷版）

專題10難點探究專題:相似三角形中動點問題壓軸題六種模型全攻略

ET【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】............................................................................1

【考點一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）】............................1

【考點二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】.........................3

【考點三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】.......................................4

【考點四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】.........................................5

【考點五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】.........................................7

【考點六相似三角形中的動點探究應(yīng)用問題】................................................9

【典型例題】

【類型一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）】

例題：如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,NA=30。，BC=9,若點尸是邊A3上的一個動點，以每秒3個

單位的速度按照從AfA運動，同時點。從BfC以每秒1個單位的速度運動，當(dāng)一個動點到達終點

時，另一個動點也隨之停止運動，在運動過程中，設(shè)運動時間為f,若△2PQ與44BC相似，貝心的值

為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?山東煙臺?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知。4=6cm,O3=8cm.點P從

點B開始沿B4邊向終點A以lcm/s的速度移動；點。從點A開始沿AO邊向終點。以lcm/s的速度移動.有

一點到達終點，另一點也停止運動.若尸、。同時出發(fā)，運動時間為Ks）.

⑴用含t的代數(shù)式分別表示線段AQ和AP的長;

⑵當(dāng)，為何值時，入4尸。與AAOB相似？

2.（2023秋?廣東佛山?九年級?？茧A段練習(xí)）在Rt^ABC中，NC=90。，AC=20cm,BC=15cm,現(xiàn)有

動點尸從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點。從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運動，如果點尸的

速度是4cm/s,點。的速度是2cm/s,它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達所在線段的端點時，就停止運動.設(shè)運

動時間為，秒.

⑴求f為多少秒時，ACPQ的面積為為24cm2

（2）當(dāng)/為多少時，以點C,P,。為頂點的三角形與U1BC相似.

3.如圖，矩形A3CD中，AB=12,AD=8,點E為BC的中點，動點/從點A出發(fā)沿射線A3方向以每秒

2個單位的速度運動，連接DRDE,EF.過點E作￡）廠的平行線交射線于點H,設(shè)點尸的運動時間為

/（不考慮。、E、尸在一條直線上的情況）.

⑴填空：當(dāng)/=時，AF=CE,此時9=

⑵當(dāng)△3EF與相似時，求，的值.

【類型二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）】

例題：（2023?河南洛陽?統(tǒng)考一模）矩形ABCD中，AB=10,AD=4,點E是CO的動點，若NAEB=90。,

則DE的長為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?黑龍江哈爾濱?九年級?？茧A段練習(xí)）在AABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,點。在邊

AC上，若△BCD是以8為腰的等腰三角形，則的長為.

2.（2023春?浙江紹興?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊OBOC分別在x

軸、y軸的正半軸上，點A的坐標為（8,6），點P在矩形ABOC的內(nèi)部,點E在80邊上,且滿足△犬區(qū)取"因9,

當(dāng)△APC是等腰三角形時，點P的坐標為

yk

o

3.（2023?安徽蚌埠?校考一模）如圖，在RtaABC中，ZC=90°,ZA=30°,A5=20cm,D,E分別為

邊AB,BC上的動點，且仞=2班，作DF/AC,垂足為歹，連接砂.當(dāng)△口￡廠是直角三角形時，BE

的長為.

4.（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考三模）如圖，在RGA5C中，NACB=90。，AB=10,AC=8,E、b分別為A5、BC

上的點，沿直線所將折疊，使點8恰好落在AC上的。處，當(dāng)VADE恰好為直角三角形時，班的長

為—,

5.（2023?江蘇鹽城??？家荒＃┤鐖D，在描AABC中，NACB=90。，AC=12,BC=5,點E是AB邊上一

動點，過點E作交AC邊于點。，將—A沿直線OE翻折，點A落在線段A3上的歹處，連接FC,

當(dāng)ABCF為等腰三角形時，AE的長為.

【類型三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題】

例題：（2023,江蘇揚州?統(tǒng)考二模）如圖，在直角“5C中，NACB=90。，BC=1,AC=2,點尸是邊A3上

的動點，過點尸作P"〃3C交AC于點"則尸H+PC的最小值為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?湖北孝感?八年級統(tǒng)考期中）如圖，Rt^ABC中，NC=90。，AC=4,BC=6,。是A3的中

點，尸是BC邊上的一動點，則24+PD的最小值為.

2.（2023秋?江蘇泰州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形8所中，CD=8cm,b=6cm,點G在邊f(xié)E上從產(chǎn)

向點E運動，速度為3cm/s,同時點H在邊DE上從E向點。運動，速度為4cm/s.連接CG、FH,設(shè)CG、

交于點8,取EF的中點A,則的最小值為cm.

3.（2023?湖北襄陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，矩形A8CD中，AB=3,BC=4,E是BC中點，CD上有一動點

M,連接,將雙BEM沿著BM翻折得到ABFM,連接DF,CF,則DF+gcF的最小值為.

【類型四相似三角形中的動點問題與函數(shù)圖像問題】

例題：（2023春?河南安陽,九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD一邊A8在直線/上，尸是直線/上點A左

側(cè)的一點，AB=2上4=4,E為邊AD上一動點,過點P,E的直線與正方形ABCD的邊交于點F,連接BE,BF,

若設(shè)DE=x,△5EF的面積為S,則能反映S與尤之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

/AB

ASAS

08_4x08_4x08_4x08_4x

3333

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?河南焦作?統(tǒng)考二模）如圖，在Rt^ABC中,ZACB=90o,AC=3,5C=4,點尸為邊AB上一動點,

過點尸作直線交折線ACB于點Q.設(shè)AP=x,CQ=y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）

2.（2023?安徽合肥?校聯(lián)考二模）如圖，在正方形ABCD中，AB=1,動點尸從A點出發(fā)沿Af8fC方向

在AB和BC上勻速移動，連接。尸交BC或8C的延長線于。，記點尸移動的距離為x,CQ為y,則y關(guān)于

x的函數(shù)圖像大致是（）

下方的/上的一動點（點。不與點C重合），連接ADBD,過點A作/石〃30,過點8作于點E,

若AB=6,設(shè)AD=尤，AE=y,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖像可以大致表示為（）.

【類型五相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題】

例題：（2023春?山東濟寧?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，矩形。4BC的兩

邊分別在x軸和y軸上，點8的坐標為（12,8）,現(xiàn)有兩動點P,。，點尸以每秒3個單位的速度從點。出發(fā)

向終點A運動，同時點。以每秒2個單位的速度從點A出發(fā)向終點8運動，連接PC,PQ,CQ.設(shè)運動

時間為f秒

⑴點尸的坐標為,點。的坐標為（用含f的代數(shù)式表示）；

⑵請判斷四邊形APC。的面積是否會隨時間/的變化而變化，并說明理由;

（3）若A,P,。為頂點的三角形與△OCP相似時，請求出/的值.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?江蘇蘇州,八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E是邊上的一個動點，

以CE為邊在CE的右側(cè)作正方形CEFG,連接。G,BE,則OG與BE的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖2,四邊形ABCD是矩形，AB=2,3c=4,點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右

側(cè)作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,連接。G,BE.判斷線段。G與BE,有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，

并說明理由;

（3）如圖3,在（2）的條件下，點E是從點A運動。點，則點G的運動路徑長度為

（4）如圖3,在（2）的條件下，連接BG,則23G+BE的最小值為

2.（2023春?江西鷹潭?九年級?？茧A段練習(xí)）綜合與探究

問題提出:

數(shù)學(xué)課上，老師提出了一個問題：在AABC中，ZCAB=90°,ADSBC于點。，E為A2上的一動點，EC

與AQ相交于點G,點尸在上，EF_LCE于點E,試探究跖與EG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖1圖2圖3

特例故知：

（1）勤奮小組從特殊情況入手：如圖1,ZB=45°,E為AB的中點，則所與EG的數(shù)量關(guān)系為.

變式探究

（2）希望小組受此啟發(fā)，作了如下改變：如圖2,將（1）中“4=45。"改為"NB=3O。"，其他條件不變,

試探究所與EG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

拓展提高

（3）經(jīng)過前兩個小組的探究，智慧小組將該問題的條件更一般化：如圖3,ZB=a,AE=kBE,試探究所

與EG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【類型六相似三角形中的動點探究應(yīng)用問題】

例題：(2023?遼寧錦州?統(tǒng)考一模)探究完成以下問題:

【初步認識】

⑴如圖1,在四邊形ABCO中，ZBAD=ZBCD=90°,連接AC,BD,過點A作AEJ_AC交CB的延長線

于點E.求證：NE=ZACD；

【特例研究】

(2)如圖2,若四邊形ABC。中，AB=AD,(1)中的其它條件不變，取3D,BC的中點F,連接

①求證：BE=2MF；

②N為EC的中點，連接MN,猜想與4E的位置關(guān)系，并證明你的猜想；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,在矩形ABCD中，對角線AC,8。相交于點。，E是射線8C上一動點，過點。作交

射線8于點尸，當(dāng)==工，CE=1,4?=3時，請直接寫出CF的長.

BC5

F

占舟1

EBCEB.V/CBCEG

圖1圖2圖3

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?湖北武漢??？寄M預(yù)測)一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上.小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的

pA/18

一個結(jié)論.如圖1,尸。是△P4C的角平分線，可以證明拓=]ic

P

ABC:t/，ABCD

1、，?

E

圖1圖2圖3

【