山東省濟寧市2023-2024學年高二年級上冊期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

2023-2024學年度第一學期質(zhì)量檢測

高二數(shù)學試題2024.02

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考試號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用25鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

一、單項選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

_12

y=7x

1.拋物線4的焦點坐標是（）

A.QJB.Q"）

【答案】c

【解析】

【分析】變形為標準形式，得到焦點坐標.

【詳解】中=4丁，焦點在j軸上，故焦點坐標為（°」）.

故選：c

2.已知直線Y、一丁+1=°與直線4二工+田'-2=°平行，則,I與4之間的距離為（）

03-

A.AB.2C.2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】在直線"上取點（L°）,求點（L°）到直線4的距離即可.

【詳解】在直線一？二°上取點（L°）,

則4與4之間的距離即為點（L0）到直線Y°的距離，

克增

即為VI+1.

故選：A.

3.已知數(shù)列（初為等差數(shù)列，且。1+%+。3=3,的+%+4=6,則/=（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【解析】

【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得進而可得公差，再利用力和公差求出。工

【詳解】由等差數(shù)列的下角標性質(zhì)可知

+出+。3=泡=3得知=1

的+。3=弘3=6,得々3=-

設(shè)等差數(shù)列的公差為則1=。3一4=1,

所以。、=a：+6d=1+6=7

故選：D.

4.圓/+產(chǎn)=1與圓廣+廠-卜+4j+l=0的公共弦的長度為()

由2753^4y/S

A.5B.5C.5D,5

【答案】D

【解析】

【分析】先確定兩圓相交，再將兩圓做差可得公共弦所在直線方程，然后利用垂徑定理求弦長.

【詳解】圓F+.F=1的圓心為半徑為1,

圓f+j：-2、+4『+1=。的圓心為(L—2),半徑為2,

則圓心距離為‘芮=相€口3),故兩圓相交，

則兩圓的公共弦所在直線方程為1-卜+41+1=0,即x--31-1=0,

所以公共弦的長度為

故選：D.

5.在三棱柱3°一4%G中，4^=加4,BN=NC,而=乙AC=b,附=，，則MV=

()

L1a+1--b--'c

B.223

La+-b+-cLa+lt-lf

C.22D.223

【答案】B

【解析】

【分析】借助空間向量的線性運算計算即可得.

【詳解】

又麗=￡,AC=b,陷=5,

______Iio

MN=MA+AN=-a+-b--c

故223

故選：B.

6.若圓Y+j'=/!&>°）上恰有3個點到直線1一丁+2五=°的距離為1,則一（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】求出圓心到直線X-1'+28=°的距離，通過與直線X-.r+2=0的距離為1的平行直線可

得r的大小.

、r

【詳解】圓心°（°⑼到直線x?J'+2"=°的距離V1+T;

因為圓/+寸>°）上恰有3個點到直線1-1+?6=°的距離為1,

與直線X-丁+2=0的距離為1的平行直線有兩條，如圖中虛線，

當圓X'.O'與這兩條平行線中的一條有2個交點，一條相切時，可滿足題意，

此時八=2+1=3.

7.若橢圓：-1的左、右焦點分別為片，4,P為C上的任意一點，則歸用歸周的取值范圍

是（）

A.3B￡3]c.[工局D."]

【答案】B

【解析】

【分析】利用橢圓的參數(shù)方程求出關(guān)鍵點的坐標，將目標式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式子求值域即可.

22X=v3cos6

【詳解】易知橢圓不T-的參數(shù)方程為Lr=外8是參數(shù)),a=3b=3,

故c=l,取TO),居。，0),

故設(shè)尸(島。s5,S'sin⑦，由兩點間距離公式得I尸及卜J(辰。s"+D'+2sm’8

|啊=7(V3cos^-l)3+2sin2^

333

故\PFX|\PFZ|=>/(<V3cos^-l)4-2sin6xcos6+1)'+2sin'￡=sin^+2

而sin8e[Tl],數(shù)時?！还蕇in3+2e[2,3]即網(wǎng)-熾|e]冽故B正確

故選:B

8.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上

-1、

<__>

層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第〃層有4個球，則數(shù)列[4J的前20項和為

40382￡12.

A.21B.Tc.21D.21

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件中的規(guī)律，利用累加法求出數(shù)列SJ的通項公式，進而求得

—=—=2(---—){—)

an"5+Dn72+1,利用裂項相消法求出數(shù)列4的前20項和即可.

【詳解】根據(jù)己知條件有0】=1,當力之2時，a2-ai=-,

%-%=3,4-%=4,…，an-a^=n

以上各式累加得：/-為=二+3+4+…+”，

心+1)/J小

1a—1+2+3+4+???+〃=------i(〃N2)

又可二1,所以-，

n(n+Y).

(neN*)

經(jīng)檢驗為=1符合上式，所以一,

1011

-=^^=2(--——)

所以44"+D〃〃+1,設(shè)數(shù)列4的前〃項和為2”,

1111111、

g=2[（1-2-一—

則”22334nn+1n+1,

S=2--、=—40

所以3M02121.

故選：A.

二、多項選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.已知直線/：ax-y-4a+2=0則下列說法中正確的是（）

71

A.直線/恒過點（42）B.若直線/的傾斜角為6,則

C.原點到直線/距離的最大值為-V〉D.若直線/不經(jīng)過第四象限，則2

【答案】AC

【解析】

【分析】結(jié)合直線的傾斜角與斜率，過定點問題依次判斷即可.

【詳解】解：對于A項，直線/:丁二^口-4+二，則直線/恒過點（4，、，故A項正確；

nn5/3

tsii—=------

對于B項，直線/的傾斜角為6,則直線/的斜率為63,

a=

得3,故B項錯誤；

對于c項，由A項知，直線/恒過點.（4,2）,

則原點到直線/距離的最大值即為原點。到點“（4?）的距離，即阿卜V43+23=2>/5故?項正

確；

對于D項，當。=0時，直線/】'=二不經(jīng)過第四象限，故D項錯誤.

故選：AC

P（A]=-=J

10.已知事件A,8發(fā)生的概率分別為4,1,則下列說法中正確的是（）

11,、。

P（\4U5）--,0=?

A.若A與8互斥，則12B.若兌±3,則3

P[AB]=—P（AB）=-

C.若A與8相互獨立，貝|,4D.若'2,則A與8相互獨立

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用互斥事件概率公式分析A,條件概率公式分析B,獨立事件的性質(zhì)判斷C,獨立事件的概率公

式分析D即可.

,、1911

P(^u5)=-+-=—

【詳解】對于A,已知A與8互斥，貝！J4312,故A正確，

對于B,已知力=3,則故44,故B錯誤，

——1)1

P(^)=P(X)xP(^)=(l-P(J4))(l-P(B))=(l-l)(l-^)=l

對于c,若A與8相互獨立，則434,

故C正確，

尸(在)33尸(田)D/T\

D/D)=4P(㈤=7=尸⑷

對于D,易知產(chǎn)⑷"，4,故/⑷，則4與8相互獨立，故D正確.

故選：ACD

H.已知等差數(shù)列的前〃項和為5z,且則下列結(jié)論中正確的是()

A.SJ是遞增數(shù)列B.&>°時，〃的最大值為13

C.數(shù)歹/E；中的最大項為瓦3D.SR>°時，W的最大值為27

【答案】BC

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到為3>°和<0,從而逐項判斷.

【詳解】由已知，%>$12=S12+aB>SL=〃>°,

$13>S[4=SQ+aMn%4c0,

所以等差數(shù)列J的前13項大于0,從第14項開始小于0,B正確;

則a】>0,d<0,所以“J是遞減數(shù)列，A錯誤;

且用3為等差數(shù)列;aJ的前?項和的最大值，C正確;

27(%+%)

區(qū)7=----------:-=27a<0

2,D錯誤.

故選：BC.

12.如圖所示，在棱長為2的正方體一"^。。一同與好馬中，點￡是棱°。的中點，則下列結(jié)論中正確的是

AB

A.點4到平面的距離為卡

晅

B.異面直線月〃與龍所成角的余弦值為10

c.三棱錐4一3。區(qū)的外接球的表面積為n兀

D.若點M在底面A8CD內(nèi)運動，且點M到直線2G的距離為.，則點M的軌跡為一個橢圓的一部分

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,利用點到平面的距離公式處理即可，對于B,利用線線角的向量求法處理即可，對于

C,利用球的方程解出半徑再求面積即可，對于D,利用圓柱與平面的截面即可判斷.

對于A：以D為原點建立空間直角坐標系，

則。(0,0,0),5(2,2.0),5(0,2,1),40,0,2),

故麗=(2二,0),^=(0,2.1),應;=(2,0,2),

設(shè)面BDS1的法向量G=(u，二)，點4到平面EDE的距離為

則2x+2j=0,2y+二=0,令產(chǎn)-1,解得y=L二=-?.

rf=J^L=76

由點到平面的距離公式得V1+1+4,故A正確,

對于B：易知32?！?,。1(。，2,2),故月。=(-2,2,2),55=(-2,0.1),

c能=|小斗姮

設(shè)異面直線力3與應所成角為6,則5,故B錯誤，

對于c：設(shè)三棱錐4_的外接球的方程為(丫_a)2+0,-6)2+(C_二)2=R2,

將4，A2E代入球的方程,

(>:-2)3+(6-0)2+(<7-2)2=^2

(>J-2)2+(7>-2)2+(<7-0)2=^2

(a-0)3+(6-2)2+(c-l)2=^

(a-0)3+(Z>-0)2+(c-0)3=^3

可得

(a-2)3+(c-2)3=(a-O)3+(c-0)’

(a-2)J+(c-O)3=(a-O)3+(c-l)3

利用加減消元法可得

+(Z>-0)3+=R2

753

解得“4-(6-of+=R

66

R=b=—x4xn=lln

解得2,6,故表面積為2,故c正確,

對于D：因為AT到直線4c的距離為點，故的軌跡是以4c為對稱軸的圓柱，

而M又在底面上，底面與對稱軸不垂直，

故M在底面與圓柱的截面上，此截面必為橢圓的一部分，

故D正確.

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：空間中的幾何體的外接球，可以通過綜合法確定球心的位置，也可以利用球的方程

確定球心坐標和球的半徑，而空間中動點的軌跡，則需利用幾何體的特征確定動點的幾何特征，結(jié)合線面

關(guān)系確定軌跡.

三、填空題：本題共4小題.

13.已知等比數(shù)列1%)的前"項和為且%=3,a、=31,則$5=

【答案】121

【解析】

【分析】求出公比和首項，利用等比數(shù)列求和公式求出答案.

3as81p

q=—=—=27

【詳解】設(shè)公比為q,故與3，解得q=，，

?1=—=1

所以q,

.(1一。5)1-35

S.=—--------=--=121

故1-91

故答案為：121

1G

P(A\=—P(5)=—

14.若事件A,B發(fā)生的概率分別為2,3,且A與8相互獨立，則

P(A\JB)=

5

【答案】6

【解析】

【分析】先求出尸“八研=多，進而根據(jù)P&UB)=P4)+P(3)-尸求出答案

1、1

P(/n5)=P(/iP(5)=-x-=-

【詳解】因為A與5相互獨立，,233,

、1cl5

P(A\JB)=P(A]+P(B)-P(AOB)=

所以2336.

5

故答案為：6

15.如圖，二面角k/一戶的大小為60°,其棱/上有兩個點線段與BZ)分別在這個二面角的

兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱/.若幺8=3,月0=2,30’則兩點間的距離為.

【答案】-713

【解析】

【分析】利用向量的線性關(guān)系可得而=豆+樂+而，兩邊平方可求CD的長度.

【詳解】因為二面角"一'夕的大小為60°,Cb=CA+AB+BD,

cri1=(CA+AB+BD\>=CA+AB2+1^+2CAAB+2ABBD+2CABD

=4+9+4+?"闞cosKO,=17-4=13

|CD|=>/13；即°，。兩點間的距離為后.

故答案為：而

/v2、

C\"z---5"=l(z^>0,b>0)222

16.已知雙曲線a廳’的左焦點為尸，過點9的直線，與圓?'+丁=”相切于點

N,與C的右支交于點P,#叫=斗網(wǎng)，則。的離心率為.

5心

【答案】3##5

【解析】

【分析】先利用條件表示出網(wǎng)，陶，附PFF]

然后在三角形中利用余弦定理列式計算得到

4a=3b,進而根據(jù)求出離心率.

【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為McO),

則網(wǎng)=呵兩=尸不”

則附=呼|+|網(wǎng)=4|四=劭，

所以附卜陰，=41。，又網(wǎng)=匕

“。=MiMzM=麗+的-(4—)：匕

所以2PH幽2x4"%C

整理得4a=3b,

c

e——

所以a

5

故答案為：3.

四、解答題：本題共6小題，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知圓M過點工工”R32,。(3,-2).

(1)求圓M的標準方程；

(2)若過原點的直線/交圓M于E,B兩點，且怪「1=2,求直線/的方程.

【答案】(1)(X-3『+K=4

⑵-X±J5v=o

【解析】

【分析】(1)由弦A8和BC的中垂線交點得圓心坐標，再求半徑，可得圓的方程;

(2)由弦心距公式可解.

【小問1詳解】

因為AB的中點為d,A8的斜率為1,

所以A8的垂直平分線為1-1=T'-、，即丁=f+3.

又BC的垂直平分線為y=O,

v=-x+3x=3

<

聯(lián)立I-r=0,得U'=°,所以圓心M■的坐標為6°）.

所以圓的半徑為，'=~例=2,

所以圓"的標準方程為（X-3）+/=4.

【小問2詳解】

顯然直線I的斜率存在，設(shè)其方程為】'二H;

所以直線/的方程為~X,即x±/'=°.

18.一個不透明的箱子中有4個紅球、2個藍球（球除顏色外，沒有其它差異）.

（1）若從箱子中不放回的隨機抽取兩球，求兩球顏色相同的概率；

（2）若從箱子中有放回的抽取兩球，求兩球顏色相同的概率.

7

【答案】⑴15

5

（2）9

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意寫出從箱子中隨機抽取兩球的樣本空間，從而得到答案；

（2）分別計算“從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為紅球”和“從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為藍

球”的概率，利用互斥事件的概率公式計算即可.

【小問1詳解】

把4個紅球標記為4,4,4,42個藍球標記為用多

從箱子中隨機抽取兩球的樣本空間為:

a=（44,44’44‘4耳.44,44..44,44’4耳,4與,4,’4耳’31號）共有15

個樣本點，

設(shè)事件E="從箱子中隨機抽取兩球且顏色相同”,

則事件月={44，44，44，44,44，44，期）,包含7個樣本點,

,、7

【小問2詳解】

設(shè)事件尸="從箱子中有放回地抽取兩球且顏色相同”,

事件M="從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為紅球”,

事件?="從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為藍球”,

則夕=〃0及，且M與N互斥.

444cc1

P(M)=-X-2p1N、==*二=上

所以66=9,''669,

415

P(F\=尸(MUN)-P(M)+P(N)=-+-=-

則^999.

19.已知拋物線C：J、2"(P>°)上一點M到其焦點的距離為3,到y(tǒng)軸的距離為2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若不過原點。的直線/：J'=x+a與拋物線C交于A,B兩點，且。4_LO3,求實數(shù)機的值.

【答案】(1)J'=4x

⑵-4

【解析】

【分析】(1)點M到準線的距離為3,從而得到方程，求出P=2,得到拋物線方程；

(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)根的判別式得到不等式，求出優(yōu)<1,根

據(jù)向量垂直得到方程，求出切=-4.

【小問1詳解】

由題意知，點〃到準線的距離為3,

3=2+2、

所以2,解得P=-.

故c的方程為y'=4x；

【小問2詳解】

r

y=x+m

設(shè)485,g)，由=得JF-4J，+4加=0,

所以△=16-16加>0,m<1,

-4,JJ：?4叫

2

再與+VVS=——+VA\=m+4m=0

即?‘44"",解得加=-4或o.

又直線/不過原點。，所以加工0.

又加=-4滿足要求，所以膽=-4.

20.已知數(shù)列的前〃項和為S”，且凡=-3.

（1）證明數(shù)列〔怎一1｝為等比數(shù)列，并求（°』的通項公式；

,1'

-->

（2）在4和4+1之間插入"個數(shù)，使這"+2個數(shù)組成一個公差為41的等差數(shù)列，求數(shù)列的前〃

項和工.

【答案】20.證明見解析，4=>"+1

_.n+3

21.2,-1

【解析】

【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明，并求通項公式即可.

（2）分析題意求出新數(shù)列，再用錯位相減法求和即可.

【小問1詳解】

因為2=-4+〃-，，①

當〃時，fli=X-,所以.=2.

當"22時，2-1=況~1+"4,②

由①_②得4=_"1一上.-1+1,即怎=/*-1-1,

所以4.-1=2（4-1—1）,又=

所以數(shù)列14-1）是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

所以4-1=?二故4=尸+1.

【小問2詳解】

因為4+1=,+5+1）4,所以2"+1=?-】+1+（〃+1以，

el1_n+1

dz---11

解得力+1,所以4-.

,23472+1

T-—z-4--rdz-H1---T-

所以2°21222”T,

1,234n7i+l

大4=不+歹+歹+…+三工+=-

_n+3

T=6———j-

所以2"'1.

21.如圖，在多面體A8CDEE中，平面4比1平面45CD,乙心區(qū)是邊長為2的等邊三角形，四邊形

ABCD是菱形，且N&4D=60。，EF//AB,AB=2EF.

（1）求證：平面ACB

（2）在線段AE上是否存在點M,使平面AM。與平面M3C夾角的余弦值為5.若存在，請說明點M

的位置；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）存在點點M為線段AE的‘中點

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法得出〃'30=0,從而得出BO_L，F(xiàn),利用四邊形

，鉆CD是菱形，得出再利用線面垂直的判定定理即可得出證明；

（2）設(shè)4M=4/lE,0i1,利用（1）結(jié)果，求出平面MBC的一個法向量"=和平面

跖LD的一個法向量為優(yōu)再根據(jù)條件，利用面面角的向量法即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

取加的中點。，連接。瓦08,

因為為等邊三角形，所以

又平面平面25CD,平面ADECl平面9CD=4D,08u平面4DE,

所以O(shè)ffJ?平面SBC。，

又四邊形/BCD是菱形，且/艮40=60°,所以08_L4D,

故以。為原點，。月為x軸，。8為J軸，0后為二軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為=AD=￡D=￡A=3D=?,EF=1,易知。E=OB=E,

則力(1.0,0),3(0,壬，0),外一、百,0),D(-l,0,0)；用0,0,有),

所以M-g產(chǎn)厚

，CA

AF=-1,21

麗=（-1，-"0）

得到I一一）,故

得到加BD=0,所以EDI所，

又B"AC,HCu平面ACR月斤（=平面4（?尸，ACnAF=A,

：.BD/平面ACF.

【小問2詳解】

假設(shè)存在點〃，使平面K4D與平面夾角的余弦值為5,

I(%-二M)=4(-1,0,后),

設(shè)AM-彳AE,0，1,則

=&即"(l—AO,9)，

所以?“=1一％,=°,二M

麗=(1-4-萬聞BC=(-2,0,0)

/TT么\/，\"9

設(shè)平面AffiC的法向量為"=（卬二）,

BM%=°[(1_m*_氐+艮=0y=4c

,所以卜=。

則13。方即.2x=0

令二=1,得r=°J=4所以71=（°X［），

又平面MZ）的一個法向量為a=（°1°）,

I—I網(wǎng)邪11

1cosm刀|=^77T=千A=1A=-l

所以+1），解得2或2（舍去），

第

所以，存在點使平面MW與平面"3C夾角的余弦值為5,

點A/為線段AE的中點.

y

c：，+1（a>b>0）----pr>

22.已知橢圓a2F的離心率為2,左、右焦點分別為4、尸2,上頂點為P,且

S=4

（1）求C的標準方程；

（2）不過原點。的直線/丁=6+小與。交于不同的兩點A、B,在Q4的延長線上取一點。使得

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連接3。交C于點E（點后在線段3。上且不與端點重合），若S.ou=X\w1,試求直

線7與坐標軸所圍成三角形面積的最小值.

【答案】（1）

⑵產(chǎn)

【解析】

(1)根據(jù)三角形的面積公式、橢圓的離心率以及/