三角形（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)二模試題分類匯編（江蘇專用）

專題06三角形

1.（2024?江蘇宿遷?二模）如圖，直線機(jī)，〃，點(diǎn)A在直線機(jī)上，點(diǎn)B在直線〃上，連接

過(guò)點(diǎn)A作ACLAB,交直線”于點(diǎn)C.若4=50。，則N2的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)；根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

/ACB=N1=5O。，進(jìn)而根據(jù)/S4c=90。，即可求解.

【詳解】解：利〃〃，4=50。，

4CB=/l=50°,

1.?ACYAB,

：.ABAC=90°,

：.N2=90°—ZACB=40°,

故選：B.

2.（2024?江蘇宿遷?二模）現(xiàn)有兩根長(zhǎng)度為3和4（單位：cm）的小木棒，下列長(zhǎng)度的

小木棒不能與它們搭成三角形的是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊；任意兩

邊之差小于第三邊.

設(shè)第三根木棒的長(zhǎng)為/cm,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出/取值范圍即可.

【詳解】解：設(shè)第三根木棒的長(zhǎng)為/cm,則4-3</<4+3,即觀察選項(xiàng)，只有選

項(xiàng)D符合題意.

故選：D.

3.（2024?江蘇南通?二模）如圖，小明用一副三角板拼成一幅“帆船圖”.N3=NE=90。，

ZC=30°,ZF=45°,ED//AB,則NEDC的度數(shù)為（)

E\

A.60°B.65°C.75°D.80°

【答案】C

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí).熟練掌握三角形內(nèi)角和

定理，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由三角形內(nèi)角和定理可求ZA=60。，NEDF=45°,由可得NEZM=NA=60。，根

據(jù)NFDC=18(F-NEZM-ZEDF,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由題意知，ZA=180°-ZB-ZC=60°,NEDF=180?！狽E—NF=45。,

1--ED//AB,

：.NE/M=ZA=60。，

ZFDC=180°-ZEDA-ZEDF=75°,

故選：C.

4.(2024?江蘇南通?二模)如圖，ABCD,ZAEC=56°,ZBCD=31°,則/BCE的度數(shù)為

()

A.24°B.25°C.32°D.34°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)平行線得到

ZABC=ZBCD=31°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】AB\CD,ZBCD=3l°

:.ZABC=ZBCD=31°

ZAEC=ZABC+ZBCE,ZAEC=56°

NBCE=ZAEC-ZABC=56°—31°=25。

故選：B.

5.（2024?江蘇宿遷?二模）若等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角為80。，則這個(gè)等腰三角形的底角是

（）

A.20°B.50°C.80。或20。D.80。或50。

【答案】D

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解答此題時(shí)要注意80。的

角是頂角和底角兩種情況，不要漏解，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵.

由于不明確80。的角是等腰三角形的底角還是頂角，故應(yīng)分80。的角是頂角和底角兩種情

況討論.

【詳解】解：分兩種情況：

①當(dāng)80。的角為等腰三角形的頂角時(shí)，

底角的度數(shù)=（180。-80。）+2=50。；

②當(dāng)80。的角為等腰三角形的底角時(shí)，其底角為80。，

故它的底角度數(shù)是50°或80°.

故選：D.

6.（2024?江蘇宿遷?二模）如圖，是由2ABe繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得至U，ABAC20°,Zl=70°,

則上4DE的度數(shù)是（）

【答案】A

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出

乙BAC=NEDC=20°,然后利用三角形內(nèi)角和定理求出-4CDR0。，利用等腰三角形的性

質(zhì)求出NADC=45。，即可求解.

【詳解】解：：旋轉(zhuǎn)，

ABAC=ZEDC=2Q°,AC=DC

又...Zl=70°,

ZACD=9QP

：.ZCAD=ZADC=45°

：.ZADE=ZADC+ZCDE=65°,

故選：A.

7.（2024?江蘇南京?二模）如圖，在三角形紙片ABC中，ZACB=90。，AC=3,BC=4,

沿C。折疊紙片，使點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)E處，則3E的長(zhǎng)是（）

【答案】B

【分析】本題考查了根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形，折疊的性質(zhì)等知識(shí).先根據(jù)勾股定理

3Q

求出AB=5,得至UcosA=g,根據(jù)折疊的性質(zhì)得至IJAD=OE,CD±AD,進(jìn)而求出4。=二,

97

DE=-,即可求出=

【詳解】解：ZAGB=90。，AC=3,BC=4,

???AB=VAC2+BC2=5,

AAC3

cosA==—,

AB5

由題意得一.ACD折疊得到ECD,

：.AD=DE,CD±AD9

39

...在RtZ^ACD中，AD=ACCOSA=3X-=-9

9

AD=DE=-

59

997

BE=AB-AD-DE=5--------=-.

555

故選：B

8.（2024?江蘇無(wú)錫?二模）如圖，AO3是等邊三角形，點(diǎn)尸是邊A3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)

尸關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)分別為P29連接。k0P2,《鳥，點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3的

過(guò)程中，。65的面積變化情況為()

A.保持不變B.一直變小C.先變大再變小D.先變小再變大

【答案】D

【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三

角形的性質(zhì)，連接。尸，對(duì)稱易證。片鳥是頂角為120度的等腰三角形，腰長(zhǎng)為OP的長(zhǎng),

根據(jù)腰長(zhǎng)先變小后變大，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：；AO3是等邊三角形，

ZAOB=60°,

?.?點(diǎn)p關(guān)于OA,OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,P2,

OP=OPt=OP2,ZAOP=NAO&,NBOP=NBOR,

：.AP.OP,=ZAOP2+ZAOP+ZBOP+ZBOP^=2(ZAOP+ZBOP)=2ZAOB=120°,

/。4鳥=/0恰=30。，

，

過(guò)點(diǎn)。作。。，勺5則：OD=^OP2=^OP,PXP2=2DP2=2y/3OD=y/3OP,

S=-P,POD=-xy/3OPx-OP=—OP2,

OPP'P-2n224

OPR的面積隨著OP的變化而變化,

P為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

.,.當(dāng)OP1AB時(shí)，。片2的面積最小，止匕時(shí)點(diǎn)尸為A3的中點(diǎn),

???點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，。片￡的面積先變小后變大,

故選D.

9.（2024?江蘇蘇州,二模）如圖，在RtaABC中，ZACB=90。，AC=3,BC=4,CHAB

CN

于點(diǎn)〃，點(diǎn)M是AC中點(diǎn)，連接曲/交S于點(diǎn)N,則"的值是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相似三

角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)〃作于。，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB,禾U用SA8c=gAC.2C=gAB.CH,求

出CH,證明出CAH^MAD,MB*NBH,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理、

CN

線段的和差，求出CN、NH,最后求出*的值即可.

NH

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作聞DLA5于。，

1?1ZACB=90。，AC=3,BC=4,8_145于點(diǎn)反，點(diǎn)〃是AC中點(diǎn),

?1-AB=VAC2+AB2=5-?CHA?MDAIMDB1NHB90?,AC=2AM,

X,.,?CAH?MAD,?MBD1NBH,S=-AC-BC=-ABCH,

/、ABC22，

CAH^MAD,MBD^NBH,CH=ACBC=^=—

AB55

CH_AH_AC_2AM

~MD~~AD~~AM~AM

19

/.MD=-CH=AD=DH=-AH=—,

25210

916941

/.BH=AB-AH=5——=—,BD=AB-AD=5——=—,

551010

MB”NBH,

MD_BD

而一BH

6-1641_192

加絲匕也-W—

BD5510~205

192_300

/.CN=CH-NH=--

5205~205

-C--N------3--0-0-/o--1--9-2--3-0--0---—25

NH205,20519216

故選：D.

10.（2024?江蘇徐州?二模）在菱形ABCD中，AEL8c于點(diǎn)E,AbJ_CD于點(diǎn)P,連結(jié)核.若

ZB=55。，則的度數(shù)為)

A.55°B.57.5°C.60°D.62.5°

【答案】D

【分析】本題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì).由菱形的性質(zhì)得

AB=AD,NB=ND,而ZAEB=ZAFD=90。，即可根據(jù)"AAS”證明四AAFD,得AE=AF,

則ZAEF=ZAFE,由N3=180°—NC,AEAF=360°-ZAEC-ZAFC-ZC=180°-ZC,得

/EAF=NB=55。,則2/4￡尸+55。=180。，求得ZAEF=62.5。，于是得到問(wèn)題的答案.

【詳解】解：；四邊形ABCD是菱形，

AB^AD,NB=ND,

,.??，8。于點(diǎn)￡,Ab_LCD于點(diǎn)

ZAEB=ZAFD=90°,

在班和△AFD中，

ZB=ZD

<ZAEB=ZAFD,

AB=AD

,A￡B^,AFD（AAS）,

AE=AF9

ZAEF=ZAFE9

,/AB//CD,4=55。，

/.ZB=180°-ZC,

,/ZAEC=ZAFC=90°,

：.ZEAF=3600-ZAEC-ZAFC-ZC=180°-ZC,

：.ZEAF=ZB=55°,

,/ZA￡F+ZAFE+NE4F=2ZA￡F+550=180。，

/.ZAEF=62.5°,

故選：D.

IL（2024?江蘇南通?二模）如圖，在ABC中，AB=AC,24=42。，分別以點(diǎn)A,B為

圓心，大于;A5的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于N兩點(diǎn)，畫直線腦V交AC于點(diǎn)E,

連接跳，則NMC的度數(shù)為。.

【答案】27

【分析】本題考查了線段垂直平分線的畫法及等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線

的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵.先利用畫法確定腦V垂直平分A3,再利用等邊

對(duì)等角及三角形內(nèi)角和性質(zhì)解題即可.

【詳解】解：..?分別以點(diǎn)A,8為圓心，大于＜43的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于M,

N兩點(diǎn)，

.1.AW垂直平分

AE=EB,

/.ZA=ZABE=42°9

/AB=AC,ZA=42°,

1QQO_/A

：.ZABC=NACB=----------=69°,

2

ZEBC=ZABC-ZABE=27°,

故答案為：27.

12.（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在一ABC中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AD平分NR4C,

且ADLCD于點(diǎn)D若AB=6,AC=3,則。E的長(zhǎng)為

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形中位線得性質(zhì)，延長(zhǎng)O交A2于

N,利用ASA證得求得AC=@=3,DN=DC,再根據(jù)三角形中位線的性

質(zhì)即可求解，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：延長(zhǎng)。交于N,

AD平分/3AC,ADLCD,

.-.ZNAD=ZCAD,ZADN=ZADC=90°,

又-AD=AD,

ADNWADC(ASA),

.-.AC=AN=3,DN=DC,

;.BN=AB-AN=3,

???點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

:.BE=CE,

則。石是饃苗的中位線，

13

DE=-BN=-,

22

故答案為：I".

13.（2024?江蘇南京?二模）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD,Nl=72。，若N3=3N2,

則N4=_____°.

8-^----------------（

【答案】78

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，通過(guò)列一元一次方程求出

22的度數(shù)，從而得到-4的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.利用三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形

的性質(zhì)即可得解.

【詳解】解：設(shè)N2=x°,則/3=3/2=3尤。，

AB=AC,

ZACB=ZABC=180~72=54°,

:.^ABD=(54-xy,

又AB=AD,

NADB=NABD=(54-x)°,

:.ZADC=(5A+2x)°,

AC=AD,

—4=ZADC=(54+2x)°,

N2+NBCD+N3=180°,

x+54+54+2x+3x=180,

6x=72,

x=12,

.?.-4=78。,

故答案為：78.

14.（2024?江蘇鹽城?二模）在活動(dòng)課上，"雛鷹”小組用含30。角的直角三角尺設(shè)計(jì)風(fēng)車.如

圖，“=90。,ZA5C=30。，AC=3,將直角三角尺繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,使點(diǎn)C

落在A3邊上，以此方法做下去……，則B點(diǎn)通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)至9所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)

為.（結(jié)果保留萬(wàn)）

【答案】2萬(wàn)

【分析】本題主要考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圓弧的求法，

熟練地掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意，點(diǎn)8所經(jīng)過(guò)的路徑是圓弧，根據(jù)“直角

三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半〃，易知鉆=6,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知

ZB,AC,=ZBAC=60°,然后求出圓弧的長(zhǎng)度即可.

【詳解】解：NC=90°,ZABC=30°,AC=3,

AB=2AC=6,ZB4C=6O°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，ZB'AC'=ZBAC=60°,

8點(diǎn)通過(guò)一次旋轉(zhuǎn)至9所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為竺寒致=2萬(wàn).

loU

故答案為：2萬(wàn).

15.（2024?江蘇泰州?二模）已知，如圖AB〃OE,點(diǎn)C在3。上，BC=2CD,AC=DE,

ZACB=ZE,若AB=6,貝l]AC=.

【答案】6+6A/2

【分析】作'C=N。交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,先根據(jù)ASA證明*N4C均CDE,得到

AN=CD,設(shè)4V=CD=x,則3c=2x,根據(jù)平行線的性質(zhì)可證明NAB^NCA,得到

旭=些=生徨［上丫-2麟）-「。，解出裔="，從而得出以訃目進(jìn)而

NBNAAB傳至［A?J

得出結(jié)果即可.

【詳解】解：如圖，作'C=N。交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

ZNAC=ZD,AC=DE,

..NAC空CDE（AS0,

:.AN=CD,

^AN=CD=x,貝［］5C=2%，

AB//DE,

.\ZABN=ZD,

:.ZNAC=AABN,

Q?N?N,

:.二NABS,NCA,

.NA_NC_AC

*A^-M4-AB，

:?=NBNC=NB?（NB+BC）,

/.X2=NB2+2XNB,

整理得:

;.*=l+0或1一夜（小于零舍掉）,

NB

:.電=1+6,即士=1+0,

NBAB

又［45=6,

.-.AC=6(1+何=6+60,

故答案為：6+6-J2.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性

質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

16.（2024?江蘇南通?二模）如圖，點(diǎn)A,F,C,。在一條直線上，AB//DE,BC//EF,

AB=DE.

⑴求證：BC=EF-

⑵若?。?14,CF=6,求CD的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析

⑵4

【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，

（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BC//EF,然后證明出—3C4組EFD（AAS）,

即可得到跖；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到”然后利用線段的和差求解即可.

【詳解】（1）AB//DE,BC//EF,

：.ZA=ZD,NBCA=NEFD.

1--AB=DE,

：.BCg.EFD（AAS）.

BC=EF；

（2）1--ABG4/AEFD,

AC=DF.

：.AC-CF=DF-CF.

即AF=CD.

A￡）=14,CF=6,

AF+CD=14-6=8.

2CD=8.

CD=4.

17.(2024?江蘇南京?二模)如圖，在YABCD中，點(diǎn)E是邊。的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC,AE交

于點(diǎn)尸，連接AC,DF.

⑴求證：AC=DF-

(2)^AB=AF,求證：四邊形ACED為矩形.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)及矩形的判定，

熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出/4DE=NFCE,NDAE=NCFE,利用AAS證明

AADE^AFCE,可得AD=FC,即可證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可得結(jié)論；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=DC,即可得出AR=DC,進(jìn)而得出四邊形ACED為

矩形.

【詳解】(1)證明：；四邊形ABCD是平行四邊形，

AD〃BC,

：.ZADE=ZFCE,ZDAE^ZCFE,

1?,E為CO的中點(diǎn)，

DE—CE,

/.AADE^AFCE,

/.AD=FC,

,/AD//CF,AD=CF,

■.四邊形ACED是平行四邊形，

AC=DF.

(2)證明：四邊形ABC。是平行四邊形，

...AB=DC,

1--AB=AF,

：.AF=DC,

，.ACFD是矩形.

18.（2024?江蘇無(wú)錫?二模）RtZXABC中，ZC=90°,ZA=30°,

⑴請(qǐng)?jiān)趫D（1）中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC邊上找一點(diǎn)E,使得AE=2CE；（不

寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，若BC=2,取45的中點(diǎn)￡>,連接CD、BE交于點(diǎn)、F,則S.

【答案】⑴作圖見解析；

（2）3

【分析】（1）作NABC的角平分線班，交AC于點(diǎn)E,因?yàn)?C=90。，ZA=30°,所以

ZABC=60°,可得ZABE=NCBE=30。，進(jìn)而可得ZA=NWE,得至=又由直角三

角形的性質(zhì)可得8E=2CE,即可得到AE=2CE,故點(diǎn)E即為所求；

（2）先證明△BCD為等邊三角形，得到CD=W）=3c=2,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可

得BUCD,=利用勾股定理得到*6即得名.考，再根據(jù)

=

SABF2sBDF即可求解；

本題考查了角平分線的畫法和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角

形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，根據(jù)題意正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)E即為所求；

,?,點(diǎn)。為AB中點(diǎn),

AD=BD^-AB,

2

NA。=90°,

CD=BD=-AB,

2

1.?ZABC=60。，

?△BCD為等邊三角形，

CD=BD=BC=2,

■：BF平分NCBD,

：.BFLCD,CF=DF=gcD=l,

/BFD=90。,

BF=A/W-D『=6，

SBDF=；DF-BF=；X\X^=與,

?/AD=BD,

SABF=2SBDF=2x^=>/3,

故答案為：厲.

19.（2024?江蘇無(wú)錫?二模）如圖，一ABC中，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD〃AB,連

接DE并延長(zhǎng)交A3于點(diǎn)歹，連接A。、CF.

⑴求證：△AEF絲△CEO；

⑵若AB=5,CD=3,求防的長(zhǎng).

【答案】⑴詳見解析

(2)BF=2

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

(1)利用AAS即可證明△AEF名△€■￡0；

（2）結(jié)合（1）利用線段的和差即可解決問(wèn)題.

【詳解】（1）證明：E是AC的中點(diǎn)，

/.AE=CE,

,/CD//AB,

.\ZAFE=ZCDE,

在△AEF和△CED中，

ZAFE=ZCDE

<2AEF=ZCED,

AE=CE

:.AAEF^ACED(AAS)；

（2）解：由（1）知：4AEF沿ACED,

：.AF=CD=3,

AB=5,

:.BF=AB-AF=1.

20.（2024?江蘇無(wú)錫,二模）如圖，在一ABC中，ZS4c=90。，AB^AC,點(diǎn)。為C4延長(zhǎng)

線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在A3上，且AD=A￡\

⑴求證：BDA^CEA；

⑵若ZBCE=25。，求ND3C的度數(shù).

【答案】⑴見解析

（2）65°

【分析】（1）根據(jù)SAS證明BZM^CEA（SAS）；

(2)根據(jù)空,CE4(SAS)得到ZACE=ZAB￡>=45O-N3CE=20。，結(jié)合

ZDBC=ZABC+ZABD=45。+20。=65°.

本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定

和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)ZBAC=90°,

Z￡AC=ZZMB=90°,

AC^AB

，NEAC=NOAB=90。

AE=AD

：.BflgCEA(SAS).

(2)ABAC=90°,AB=AC,

：.NABC=NACB=45。，

1.,BZM^CE4(SAS),ZBCE=25°,

：.ZACE^ZABD=45°-ZBCE=20°,

Z.DBC=ZABC+ZABD=45°+20°=65°.

21.(2024?江蘇無(wú)錫?二模)一ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，尸為EC的中點(diǎn),

BC、DF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.

⑴求證：ADEF^^GCF；

⑵猜想線段3C與線段CG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)見解析

(2)BC=2CG,見解析

【分析】本題考查了中位線，全等三角形的判定與性質(zhì).熟練掌握中位線，全等三角形

的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由E分別為AB、AC的中點(diǎn)，尸為EC的中點(diǎn)，可得DE〃BC,DE=；BC,EF=CF,則

ZEDF=ZG,進(jìn)而可證AD￡F絲△GCF(AAS)；

(2)由(1)知，ADEF絲△GCF(AAS),=,則CG=DE=：2C,進(jìn)而可得3c=2CG.

【詳解】(1)證明：D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，尸為EC的中點(diǎn)，

DE//BC,DE=-BC,EF=CF,

2

NEDF=NG,

又NDFE=NGFC,EF=CF,

：.△D￡F^AGCF（AAS）；

（2）解：BC=2CG,證明如下；

由（1）矢口，ADEF/△GCF（AAS）,DE=^BC,

：.CG=DE=^BC,gpBC=2CG.

22.（2024?江蘇蘇州?二模）在.ABC中，。是8C的中點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，連接即并延

長(zhǎng)使￡＞尸=Z）E.

(1)證明：AC//BF-

⑵若BC=8,AB=5,DB平分ZABF,求的長(zhǎng).

【答案】⑴見詳解

(2)3

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、等腰三角形的判定

與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)證明一瓦加/eCDE,由全等三角形的性質(zhì)可得/用。=NC,然后證明結(jié)論即可；

(2)證明A5c為等腰三角形，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得

BD=^BC=4,然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：。是3C的中點(diǎn)，

BD-CD,

在V8D方和一CDE中,

BD=CD

<ZBDF=ZCDE,

DF=DE

:.BDF均CDE(SAS),

：.NFBD=NC,

：.AC//BF-

(2)解：D3平分ZA5F,

1FBD?ABD,

由(1)可知，/FBD=NC,

：.ZABD=ZC,

.AB=AC,即BBC為等腰三角形,

???。是8C的中點(diǎn)，BC=8,AB=5,

：.ADJ.BC,BD=；BC=4,

，在RtAABD中，AD=^AB2-BDr=752-42=3.

23.（2024?江蘇鹽城?二模）如圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)都為1,在—ABC中，試?yán)酶?/p>

點(diǎn)分別畫出：邊AC邊上的中線BM、邊A3邊上的高8,并判斷ABC的形狀.

【答案】乂BC是等腰三角形

【分析】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，三角形的中線，高，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型.

根據(jù)三角形的中線，高的定義作出圖形即可，利用勾股定理求出ACAB,可得AC=AB.

【詳解】解：如圖，至C的中線高CH即為所求作.

AC=A/22+42=2>/5,AB=722+42=275.

/.AC=AB,

ABC是等腰三角形.

24.（2024?江蘇無(wú)錫?二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形

的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，四邊形山比。的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

⑴比較大?。篠4ABeSA.;（用">"或"="或填空）

⑵請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺過(guò)頂點(diǎn)A作一條直線AE,將四邊形A8CD的面積平分并簡(jiǎn)要說(shuō)

明你的畫法.

【答案】⑴:

⑵見解析

【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用

轉(zhuǎn)化的思想解決問(wèn)題.

（1）利用等高模型判斷即可.

（2）把四邊形面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形面積問(wèn)題解決.連接AC,取格點(diǎn)尸，連接CF,DF,

則=S—作出AABF的中線所在的中線AE即可.

【詳解】（1）解：由題意AD〃BC,

-S&ABC=S公BCD?

故答案為：=;

（2）解：如圖，直線AE即為所求.

25.（2024?江蘇常州?二模）如圖1,小明借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：..ABC中，AB=BC,

ZABC=120°,。是邊AC的中點(diǎn)，E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)。重合），邊8C

關(guān)于BE對(duì)稱的線段為BF,連接AF.

⑴當(dāng)△ABR為等腰直角三角形時(shí)，一梃的大小為。.

（2）圖2,延長(zhǎng)E4,交射線3E于點(diǎn)G.

①請(qǐng)問(wèn)NG的大小是否變化？如果不變，請(qǐng)求出NG的大小；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.

②若A8=4,則3FG的面積最大為,此時(shí)AE=.

【答案】⑴15

⑵①30。；②8+4百，4石-4

【分析】（1）求出ZAfiR+ZABC=210。，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到/￡BP=NEBC,再由

ZABE=ZEBF-ZABF即可求得答案；

（2）①設(shè)N4BE的大小為％，則”比=120。-羽由等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案；

②由題意可得點(diǎn)G在以3尸為弦，所對(duì)的圓周角為30。的圓弧上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)。作。"，8尸

于打，交優(yōu)弧BGN于點(diǎn)G"連接OB,當(dāng)3G=GR時(shí)，即點(diǎn)G位于點(diǎn)G，時(shí)，屏G的面積

最大，利用解直角三角形可得一BGF面積最大值；過(guò)點(diǎn)E作EKLAB于K,貝l）EK=gAE,

AK=—AE,ZBFG=ZFBG=ZCBG=75°,ZABE=ZABC-ZCBG=45°,得出

2

BK=EK=^AE,再由M+3K=AB,即可求得AE.

【詳解】（1）解：一4超為等腰直角三角形，

:.ZABF=90°,

ZABC=120。，

ZABF+ZABC=90°+120°=210°,

,邊BC關(guān)于BE對(duì)稱的線段為

ZEBF=NEBC=-x210°=105°,

ZABE=ZEBF-ZABF=105°-90°=15°；

故答案為：15；

(2)NG的大小不變，始終為30。.

設(shè)ZABE的大小為無(wú)，則"BC=120。r,

BC關(guān)于BE的對(duì)稱線段為BF,

NFBE=ZCBE=120°-x,

NFBA=NFBG-ZABE=120°-lx,

AB=FB,

:.NF=ZFAB=1(180°-ZFBA)

_180°-(120°-2x)

「一2

=300+x,

NE鉆是一ABG的外角，

ZG=ZFAB-ZABG=30°；

②由①知：ZBGF=30°,

BF=AB=4,

點(diǎn)G在以BF為弦，所對(duì)的圓周角為30。的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖，過(guò)點(diǎn)。作于H,

交優(yōu)弧2G，尸于點(diǎn)G二連接08,

當(dāng)3G=G尸時(shí)，即點(diǎn)G位于點(diǎn)G，時(shí)，.班G的面積最大,

OH工弦BF,

:.BH=FH,即?！按怪逼椒殖?,

BG'=FG,ZBG'H=-ZBG'F=-ZG=15°,

22

OG'=OB,

：.ZOBG'=ZOG'B,

/.ZBOH=Z.OBG+NOG'B=30°,

OB=2BH=BF=4,OH=2^3,

,

SBFG,=|BF-GH=|X4X（4+2A/3）=8+4A/3,

??.■BG尸面積最大值是8+4有；

此時(shí)，點(diǎn)E的位置如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作至于K,

貝|JEK=』AE,AK=—AE,ZBFG=ZFBG=ZCBG=75°,

22

?.ZABE=ZABC-/CBG=120?！?5°=45°,

15石K是等腰直角三角形，

:.BK=EK=-AE,

2

AK+BK=AB,

-AE+-AE=4,

22

AE=4V3-4

故答案為：8+473,473-4.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，解直角三角形等，

正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

26.(2024?江蘇揚(yáng)州?二模)當(dāng)幾何圖形中，兩個(gè)共頂點(diǎn)的角所在角度是公共大角一半的

關(guān)系，我們稱之為“半角模型"，通常用"旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)"看待圖形的幾何變換，使得兩個(gè)分

散的角變換成為一個(gè)三角形，相當(dāng)于構(gòu)造出兩個(gè)三角形全等.

【問(wèn)題初探】

(1)如圖1,在四邊形A8CD中，AD=CD,ZA=ZADC=ZBCD=90°,E、F分別是A3、

BC邊上的點(diǎn)，且ZEDF=45。，求出圖中線段防，AE,尸C之間的數(shù)量關(guān)系.

如圖1,從條件出發(fā)：將VADE繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到VCDM位置，根據(jù)"旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)"

分析CM與AE之間的關(guān)系，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，可證得結(jié)論.

【類比分析】

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,/BAD=/BCD=90°,ZEAF=45°,且3C=7,

DC=13,CF=5,求BE的長(zhǎng).

【學(xué)以致用】

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，AB=AD,/ABC與/ADC互補(bǔ)，點(diǎn)E、尸分別在射線

CB、0c上，且NE4歹=g/3AD當(dāng)3c=4,DC=1,CF=1時(shí)，求出△CE尸的周長(zhǎng).

【答案】(1)EF=FC+AE,理由見解析；(2)5；(3)13

【分析】⑴將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△DCN,則DAEMADCM,得DE=DM,

AE=CM,ZADE=ZCDM,B、C、Af三點(diǎn)共線，進(jìn)而證明_DEF蘭DMF(SAS),EF=FM,

從而即可得解；

(2)如圖，在OC上取一點(diǎn)G,使得DG=BE,證ABE在ADG(SAS),得AE=AG,

NBAE=NDAG,進(jìn)而證明AAFEMAFG(SAS),得EF=FG,設(shè)3E=x,則

EC=EB+BC=x+7,EF=FG=18—x,在Rt.ECF中，禾U用勾股定理5?+(7+xT=(18—,

求解即可；

(3)在￡)尸上截取。W=3E,AADM^ABEKAS),得AM=AE,NDAM=NBAE,進(jìn)而證

明△及LF2MAF(SAS),得EF=MF,從而即可得解.

【詳解】解：⑴EF=FC+AE,理由如下：

,將ZME繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ADCM,

DAE^ADCM,

:.DE=DM,AE=CM,ZADE=ZCDM,B、C、M三點(diǎn)共線，

ZEDF=45°,

/.ZADE+ZFDC=ZCDM+ZFDC=ZMDF=45°,

在』)￡F和一/WF中，

DE=DM

<ZEDF=ZMDF=45°,

DF=DF

:jDEF迫0M廠(SAS),

:.EF=FM,

EF=FM=FC+CM=FC+AE；

(2)如圖，在。。上取一點(diǎn)G,使得DG=5E,

/.Z4BC+ND=180。，

,/ZABE+ZABC=180°,

:.ZABE=ZD,

AB=AD,BE=DG,

ADG(SAS),

:.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

,ZEAF=45°,

ZEAB+ZBAF=ZDAG+ZBAF=45°,

QZS4￡>=90°,

.-.ZFAG=ZFAE=45°,

AE=AG,AF=AF,

:.一AFE在..AFG(SAS),

EF=FG,

設(shè)=貝［jEC=￡S+BC=x+7,EF=FG=18-x,

在限ECF中，EF2=EC2+CF2,

/.52+(7+X)2=(18-X)2,

解得了=5,

..BE=5；

（3）在。尸上截取。W=HE,

ND+ZABC=AABE+ZABC=180。

:.ZD=ZABE,

在AADM合ABE中,

DMBE

<ZD=/ABE,

AD=AB

.」ADMM.ABE(SAS),

:.AM=AE9ZDAM=ZBAE；

ZEAF=/BAE+/BAF=-/BAD,

2

/.ZMAF=-ZBAD

29

:.ZEAF=ZMAF,

在尸合^MAF,

AE=AM

<ZEAF=NMAF,

AF=AF

:.EAF^AMF(SAS),

:.EF=MF；

MF=DF-DM=DF-BE,

:.EF=DF-BE.

:.：,CEF^}^^z=CE+EF+FC=BC^BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF=13.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，鄰補(bǔ)角，直角三角形的兩銳角互余,

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.（2024?江蘇鹽城?二模）【問(wèn)題情境】如圖，在中，ZACB=90°,AC=kBC,CD

是AB邊上的高，點(diǎn)E是。8上一點(diǎn)，連接CE,過(guò)點(diǎn)A作AFJ.CE于交。于點(diǎn)G.

【特例猜想】如圖1,當(dāng)左=1時(shí)，直接寫出OG與DE之間的數(shù)量關(guān)系為；

【問(wèn)題探究】如圖2,當(dāng)叢1時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程,

若不成立，請(qǐng)指出此時(shí)OG與DE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【類比運(yùn)用】如圖3,連接。尸，若左=［,AC=AE,DF=6,求。G的長(zhǎng).

【答案】［特例猜想］DG=DE；［問(wèn)題探究］當(dāng)心1時(shí),（1）中的結(jié)論不成立，此時(shí)OG=SE,

理由見解析；［類比運(yùn)用］竽

【分析】［特例猜想］根據(jù)已知條件得到4OC=/3DC=90。，AD=CD=3D,得到的G=。?,

證明ADG^CDE（ASA）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；

［問(wèn)題探究］根據(jù)已知條件得到ZADC=/3DC=90。，得到ZACD=/3,證明

ADAC

△ADC-AACB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到b=力;=左，推出的G=“CE,證明

DCnC

AADG^ACDE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；

［類比運(yùn)用］如圖，連接GE,等腰三角形三線合一性質(zhì)得到FC=FE,繼而得到GC=GE,

設(shè)￡＞后=4根（相＞0）,則￡＞G=3根，則根據(jù)勾股定理得到GE=JDG?+DE?=5m，得到

CD=CG+DG=8m,再根據(jù)勾股定理建立關(guān)于加的方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解：［特例猜想］OG與叱之間的數(shù)量關(guān)系為：DG=DE.

理由：當(dāng)％=1時(shí)，則AC=BC,

,■1是AB邊上的高，

AD=BD^-AB,ZADC=ZBDC=90°,

2

---ZACB=90°,

CD」AB=AD=BD,

2

'：AF±CE9

：.NDAG+ZAEF=900=NDCE+ZAEF,

/.ZDAG=ZDCEf

在△ADG和CDE中，

/DAG=ZDCE

<AD=CD,

ZADG=ZCDE

：,ADG^,CDE(ASA),

：.DG=DE；

［問(wèn)題探究］當(dāng)時(shí)，(1)中的結(jié)論不成立，此時(shí)。G=也見,

理由：,「ZACB=90°,是AB邊上的高，AC=kBC,

/.ZADC=ZBDC=9Q°,ZACD+ZBAC=90°=ZB+ZBAC,

/.ZACD=ZB,

/.AADC^ACB,

,ADDC

一~AC~~CB9

ADAC7

——=——=k,

DCBC

「AF±CE,

：.NDAG+ZAEF=90°=NDCE+ZAEF,

,,,ZDAG=NDCE,

.?.△ADG-△CDE,

DGAD,

——=——=k,

DEDC

：.DG=kDE；

［類比運(yùn)用］如圖，連接GE,

D

,/AC=AE,AFA.CE,

FC=FE,

「?AF垂直平分CE,

/.GC=GE,

_3

,-,CD是AB邊上的高，DF=6,k=-,

3

/.ZCDE=900DG=-DE,

94

/.CE=2DF=2x6=12,

設(shè)。石=4根（機(jī)>0）,則DG=3m,

GE=yjDG2+DE2=^/（3m）2+（4m）2=5m,

/.GC=GE=5m,

CD=CG+DG=5m+3m=8m,

CE=>]CD2+DE2=J./"）?+（4〃Z）2=4亞m,

4國(guó)=12,

解得：m=,

.,3A/595/5

?.DG=3m=3x-----=------,

55

???0G的長(zhǎng)為竽.

【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定

和性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，垂直

平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn).熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理以及相似三

角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

28.（2024?江蘇南通?二模）直觀感知：

（1）如圖1,在四邊形ABCD中，_ABC是等邊三角形，NBDC=22°,/3口4=46。，將BDC

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得△APC,點(diǎn)8與點(diǎn)A重合，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)尸.補(bǔ)全圖形，并

直接寫出ND"的度數(shù)；

類比探究：

（2）如圖2,在四邊形A3CD中，^ADC=45°,ZACB=9G°,AC=BC,AD=4,DC=6,

求8。的長(zhǎng).

拓展運(yùn)用：

（3）如圖3,在四邊形ABCD中，ZABC=90°,ZADC^a,tanZACB=1,AD=4,DC=6,

在a的變化過(guò)程中時(shí)，求3。的最大值.

【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可，設(shè)相交于點(diǎn)E,由旋轉(zhuǎn)得NC4P=NCBD,

由等邊三角形的性質(zhì)得4AC=ZABC=60。，即得ZABE+/CBD=60。，得到

ZABE+ZCAP=60°,由三角形內(nèi)角和定理得/4￡?=180。-/鉆石-/友場(chǎng)=60。，再根據(jù)三角

形外角性質(zhì)即可得到ND4P的度數(shù)；

（2）將如C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△”（?，點(diǎn)3與點(diǎn)A重合，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)尸,

連接DP,可得一DCP是等腰直角三角形，得到/CE>P=45。，DC=PC=6,DP=6枝,進(jìn)

而得ZADP=90。，再利用勾股定理AP即可求解；

（3）將△BCD各邊擴(kuò)大到g倍，繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，得△ACP,點(diǎn)B與點(diǎn)A

重合，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)尸，連接。尸，可得...如Cs：”c,得至UZZ）CP=/BC4,

PCPAAC5PCDC

衿=黑=會(huì)=1進(jìn)而得生=蕓，得到△PCDSA4W即得/"）「="明=90。，利

zJCDDnCJACnC

用勾股定理得。尸=8,由三角形三邊性質(zhì)得當(dāng)點(diǎn)AD,尸共線時(shí)，此時(shí)”最大，8。也

最大，AP的最大值為12,此時(shí)ZADC=90。，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：（1）補(bǔ)圖如下：

由旋轉(zhuǎn)可得，NCAP=NCBD,

ABC為等邊三角形，

/.ABAC=ZABC=60°9

/.ZABE^-ZCBD=6Q09

/.ZABE+ZG4P=60°,

oooo

/.ZAEB=180°-ZABE-ZBAE=1800-ZABE-(<ZABE-i-ZCAP)=180-60-60=60,

,：ZDAP+NBDA=ZAEB,

：.ZDAP=ZAEB-ABDA=60°-46°=14°；

(2)將瓦心繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得△好0，點(diǎn)3與點(diǎn)A重合，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)尸,

連接。P,

BDC^,APC,

.NDCP=90。,DC=PC,BD=AP,

「?一OCP是等腰直角三角形，

.ZCDP=45°,DC=PC=6,DP=6A/2,

,^ADC=45°,

ZADP=90°,

?1.AP={AD?+DP2=,+(6用=2夜,

.BD=2422;

(3)將△5CD各邊擴(kuò)大到g倍，繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ZBC4的度數(shù)，得ZVIC尸，點(diǎn)5與點(diǎn)A

重合，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)尸，連接。尸,

BDCs.APC,

PCPAAC_5PCDC

/.ZDCP=/BCA,

DC-DB-BC_3AC-BC

APCDsAACB,

ZCDP=ZCBA=90°,

DP4

/.——=tanZACB=-,

CD3

/.DP=3

,/"<A￡)+O尸=4+8=12,

當(dāng)點(diǎn)AD,尸共線時(shí)，此時(shí)AP最大，BD也最大,

「?AP的最大值為12,此時(shí)ZAZ)C=90。，

/.BD=-AP=—,

55

即8。的最大值三.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，