人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：勾股定理（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）

第十七章勾股定理（知識(shí)歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法;

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；

3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

知識(shí)點(diǎn)一、勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b,斜邊長(zhǎng)為c,那

么a2+b2=c2.

特別說(shuō)明：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就

將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.

⑶理解勾股定理的一些變式：?2=c2-b2,〃2=。2—〃，c2=（a+b^-2ab.

知識(shí)點(diǎn)二、勾股定理的證明

方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖⑴中染力及6=3+4=1+4,而，所以

方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖⑵中￡工/用de=（b-a）'+4x,所以c、/+戶

方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.

S[+）+）

^CD=ABI-AB=2x-ab+-c2,所以a2+/=P

知識(shí)點(diǎn)三、勾股數(shù)

滿足不定方程好+寸=z?的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以x、Az為

三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：

①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41...

如果。、b、c是勾股數(shù)，當(dāng)f為正整數(shù)時(shí)，以ah初、cf為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.

特別說(shuō)明：（1）附2—1,2n,rr+l是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；

（2）2H2+2H,2n+l,2n2+2n+l（〃是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；

（3）m2-n2,m2+n2,2mn（m＞n,m、幾是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；

知識(shí)點(diǎn)四、勾股定理的逆定理

如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b,c,滿足/+尸=02,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

特別說(shuō)明：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.

知識(shí)點(diǎn)五、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如c）.

（2）驗(yàn)證與/+〃是否具有相等關(guān)系.若c2=a2+〃，則4ABC是NC=90°的直角三角形；若

c21?2+b2,則4ABC不是直角三角形.

特別說(shuō)明：當(dāng)片+從＜02時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)片+片＞02時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中。

為三角形的最大邊.

知識(shí)點(diǎn)六、互逆命題

如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的

逆命題.

特別說(shuō)明：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱為

真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱它為假命題.

重要題型

【考點(diǎn)一勾股樹(shù)（數(shù)）問(wèn)題】

例題：下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.5,12,13D.—,—，—

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【變式訓(xùn)練】

1.我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一,它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組

數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是()

A.2,3,4B.4,5,6C.7,8,9D.6,8,10

2.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是()

A.a=0.3,b-0.4,c—0.5B.a=2,b=2,c=2A/2

C.a=4,b=5,c=6D.a=5,b=129c=13

【考點(diǎn)二用勾股定理解三角形】

例題：（2023上?河南南陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，ZC=90°,4。是—BAC的平分線,

DE上AB于點(diǎn)、E,CD=4,BD=8,求BE的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練】

1.直角三角形的兩直角邊分別為6cm和8cm,則斜邊上的高為cm.

2.長(zhǎng)方形ABCD中，長(zhǎng)AB=12,寬A￡>=5,點(diǎn)P為直線8上一點(diǎn)，當(dāng)△ACP為等腰三角形時(shí)，AP=

3.（2023上?浙江金華?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在廿15c中，NC=90。，CD=3.6,BD=6.

(1)若N2=NB,求AC的長(zhǎng);

(2)若N1=N2,求AC的長(zhǎng).

【考點(diǎn)三以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積】

例題：如圖，以RtZVIBC的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形.若=則圖中陰影部分的面積

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，已知直角三角形ABC的周長(zhǎng)為24,且陰影部分的面積為24,則斜邊A3的長(zhǎng)為

2.如圖，“BC中，ZACB=90°,以它的各邊為邊向外作三個(gè)正方形，面積分別為岳，S2,S3,已知工=6,

【考點(diǎn)四勾股定理的證明方法】

例題:如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形按照如下的位置擺放，使點(diǎn)A,E,。在同一條直線上，ZA=ZD=90°,

AE=CD=a,AB=ED=b,BE=CE=c.

B

(1)填空：ZBEC=。，根據(jù)三角形面積公式，可得A3EC的面積=；根據(jù)割補(bǔ)法，由梯形的面

積減去陰影部分的面積，可得ABEC的面積=.

(2)求證：a2+b2=c2.

【變式訓(xùn)練】

1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形(如圖1)與中間的一個(gè)小正方形拼成

一個(gè)大正方形(如圖2).

(1)利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：

(2)用圖1這樣的兩個(gè)直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足AE=3C=a,DE=AC=b,AD=AB=c,

ZAED=ZACB^90°,求證(1)中的定理結(jié)論;

(3)如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)CE=m,HG=n,求正方形8。砌的面積.(用機(jī)，n

表示)

【考點(diǎn)五勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】

例題：如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端A距地面的垂直高度為8米，梯子的頂端下滑2

米后到達(dá)E點(diǎn)，底端也水平滑動(dòng)2米嗎？試說(shuō)明理由.

【變式訓(xùn)練】

1.學(xué)過(guò)《勾股定理》后，李老師和“幾何小分隊(duì)”的隊(duì)員們到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿A8高度，得到如下信息：①

測(cè)得從旗桿頂端垂直掛下來(lái)的升旗用的繩子比旗桿長(zhǎng)2米（如圖1）；②當(dāng)將繩子拉直時(shí)，測(cè)得此時(shí)拉繩子

的手到地面的距離CZ）為1米，至轆桿的距離CE為9米（如圖2）.根據(jù)以上信息，求旗桿A3的高度.

2.如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船.河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動(dòng)到E,

同時(shí)小船從A移動(dòng)到2,且繩長(zhǎng)始終保持不變.回答下列問(wèn)題:

⑵若b=8米，AF=15米，AB=9米，求小男孩需向右移動(dòng)的距離.

3.臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它在以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，一定長(zhǎng)度為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的

破壞力.如圖，監(jiān)測(cè)中心監(jiān)測(cè)到一臺(tái)風(fēng)中心沿監(jiān)測(cè)點(diǎn)8與監(jiān)測(cè)點(diǎn)A所在的直線由東向西移動(dòng)，已知點(diǎn)C為

一海港，且點(diǎn)C與A,B兩點(diǎn)的距離分別為300加1、400km,且NACB=90。，過(guò)點(diǎn)C作CELAB于點(diǎn)E,以

臺(tái)風(fēng)中心為圓心，半徑為260萬(wàn)w的圓形區(qū)域內(nèi)為受影響區(qū)域，臺(tái)風(fēng)的速度為25b7?//z.

(1)求監(jiān)測(cè)點(diǎn)A與監(jiān)測(cè)點(diǎn)B之間的距離；

(2)請(qǐng)判斷海港C是否會(huì)受此次臺(tái)風(fēng)的影響，若受影響，則臺(tái)風(fēng)影響該海港多長(zhǎng)時(shí)間？若不受影響，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

4.如圖，是一塊長(zhǎng)、寬、高分別是6cm,4cm和3cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A

處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)8處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑是多少？

B

【考點(diǎn)六用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題】

例題：木工師傅為了讓直尺經(jīng)久耐用，常常在直尺的直角頂點(diǎn)與斜邊之間加一根小木條，如左圖所示，右

圖為其示意圖.若/84C=90。，線段A3的長(zhǎng)為15c7外線段AC的長(zhǎng)為20cm,試求出小木條AO的最短長(zhǎng)

度.

直角頂點(diǎn)直角邊

直

角

邊

【變式訓(xùn)練】

1.現(xiàn)有一樓房發(fā)生火災(zāi)，消防隊(duì)員決定用消防車上的云梯救人，已知消防車高3m,云梯最多只能伸長(zhǎng)到10m,

救人時(shí)云梯伸至最長(zhǎng)如圖，云梯先在A處完成從9m高處救人后，然后前進(jìn)到8處從12m高處救人.

（2）①求消防車在A處離樓房的距離（AD的長(zhǎng)度）；

②求消防車兩次救援移動(dòng)的距離（AB的長(zhǎng)度）.（精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)73?1.73,3.16,4.36）

2.如圖，城心公園的著名景點(diǎn)8在大門A的正北方向，游客可以從大門A沿正西方向行至景點(diǎn)C,然后

沿筆直的賞花步道到達(dá)景點(diǎn)B；也可以從大門A沿正東方向行至景點(diǎn)D,然后沿筆直的臨湖步道到達(dá)大門A

的正北方的景點(diǎn)E,繼續(xù)沿正北方向行至景點(diǎn)8（點(diǎn)C,DE在同一平面內(nèi)），其中AC=500米，3c=1300

米，40=600米，鹿=400米.

（1）求A,2兩點(diǎn)的距離；

（2）為增強(qiáng)游客的瀏覽體驗(yàn)，提升公園品質(zhì)，將從大門A修建一條筆直的玻璃廊橋AF與臨湖步道。E交匯于

點(diǎn)F,且玻璃廊橋AF垂直于臨湖步道。E,求玻璃廊橋AF的長(zhǎng).

【考點(diǎn)七判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】

例題：如圖所示，已知中，CD_LAB于。，AC=2,BC=1.5,DB=0.9.

⑴求8的長(zhǎng)；

(2)判斷&4BC的形狀，并說(shuō)明理由.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，AD±BC,垂足為且AD=4,應(yīng)＞=8.點(diǎn)E從8點(diǎn)沿射線BC向右以2個(gè)單位/秒的速度勻

速運(yùn)動(dòng)，尸為防的中點(diǎn)，連接AE、AF,設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為人

⑴當(dāng)f為何值時(shí)，AE=AF；

⑵當(dāng)7=5時(shí)，判斷的形狀，并說(shuō)明理由.

2.已知4,.0滿足卜一碼+揚(yáng)一105+25+卜-炳『=0.

⑴求a,b,c的值;

(2)試問(wèn)以"c為邊能否構(gòu)成直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)八在網(wǎng)格中判斷直角三角形】

例題：如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格邊長(zhǎng)均為1,AABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.

(1)直接寫出AB=，BC=，AC=

(2)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)直接寫出AC邊上的高=.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

⑴求四邊形ABCD的面積，

(2)/38是直角嗎？為什么？

2.如圖，在7x7網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,點(diǎn)41,3),C(2,l).

(1)建立平面直角坐標(biāo)系；

(2)判斷AABC的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)在x軸上找一點(diǎn)P,當(dāng)B4+PC最小時(shí)，此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)是

【考點(diǎn)九利用勾股定理的逆定理求解】

例題：如圖，在四邊形A8CD中，AB=AD=5,ZA=60°,BC=13,CD=12.

(1)求—ADC的度數(shù);

(2)四邊形ABC。的面積為

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在AABC中，點(diǎn)。是邊上一點(diǎn)，連接AO.若AB=10,AC=17,BD=6,AD=8求。C的

長(zhǎng).

A

2.如圖，四邊形ABCD中