人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：二次根式（知識(shí)歸納+題型突破）（解析版）

第十六章二次根式(知識(shí)歸納+題型突破)

課標(biāo)要求

1.理解并掌握二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、同類(lèi)二次根式的定義和性質(zhì).

2.熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算.

3.了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

知識(shí)點(diǎn)一、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)

1.二次根式

形如&(a?0)的式子叫做二次根式，如行，而位等式子，都叫做二次根式.

特別說(shuō)明：二次根式標(biāo)有意義的條件是。之0,即只有被開(kāi)方數(shù)。之0時(shí)，式子后才是二次根式，&

才有意義.

2.二次根式的性質(zhì)

(1)4a>0(a>0)；(2)(Va)2-a(a>0)；(3)V?=lai=<();

1[-a(a<0)

特別說(shuō)明：(1)一個(gè)非負(fù)數(shù)。可以寫(xiě)成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即a=(&r(?>0),如

2=(0)2；；=(A)2；X=(?)2(%>o).

(2)而中。的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論。取何值，而一定有意義.

(3)化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成時(shí)，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn).

(4)‘屋與(GV的異同

不同點(diǎn)：J戶(hù)中。可以取任何實(shí)數(shù)，而(、5)2中的。必須取非負(fù)數(shù)；=(8)2=a(?>0).

相同點(diǎn)：被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)。取非負(fù)數(shù)時(shí)，J/=(&)2.

3.最簡(jiǎn)二次根式

(1)被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式；

（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方的因數(shù)或因式.

滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.如叵而,Jo?+濟(jì)等都是最簡(jiǎn)二次根式.

特別說(shuō)明：最簡(jiǎn)二次根式有兩個(gè)要求：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)都小

于根指數(shù)2.

4.同類(lèi)二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類(lèi)二次根式.

特別說(shuō)明：判斷是否是同類(lèi)二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開(kāi)方數(shù)是否相同，再判斷.如

也與冊(cè),由于際=20,及與*顯然是同類(lèi)二次根式.

知識(shí)點(diǎn)二、二次根式的運(yùn)算

1.乘除法

（1）乘除法法則：

類(lèi)型法則逆用法則

積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：

二次根式的乘法yfaxV&=s/ab（a>0,￡?>0）

Jab=4ax加（a>0,￡?>0）

商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式:

二次根式的除法^=K>0,b>0）

[a_4a

(a>0,b>0)

特別說(shuō)明:

（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類(lèi)比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（或相除）的法則，如a^[b-c4d=acyfbd.

（2）被開(kāi)方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時(shí)只能為正數(shù)）?如&-4）又（—9）豐口又口.

2.加減法

將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類(lèi)二次根式的系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類(lèi)

二次根式.

特別說(shuō)明：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類(lèi)二次根式，最后合

并同類(lèi)二次根式.如^2+3>/2—5\/2=（1+3—5）A/2=-正

重要題型

【題型一二次根式的定義】

例題：（2023下?浙江麗水?八年級(jí)期末）下列式子一定不是二次根式的是（）

A.0B.7Z+1C.7（x-l）2D.口

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)形如右（。20）的式子叫二次根式進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A.也是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.77七是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.J（尤-1）?是二次根式,故本選項(xiàng)不符合題意；

D."中-2<0,不是二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?四川宜賓?九年級(jí)統(tǒng)考期中）下列式子是二次根式的是（）

A.4B.4C.V02D.7-tz2-l

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的概念.

根據(jù)二次根式的定義：形如夜（420）的式子逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：4被開(kāi)方數(shù)-1<0,不符合二次根式的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、歸■為三次根式，不符合二次根式的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、血工中，條件0.2>0,是二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；

]<0,...序三不符合二次根式的定義，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

2.下列式子是二次根式的有（）個(gè)

?；A/5；V—3;yjx2—2xy+y2;J-4x（與7

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，被開(kāi)方數(shù)大于等于0,逐一判斷.

【詳解】當(dāng)時(shí)，?是二次根式；

A是二次根式，

始不是二次根式，

C中-3<0,不是二次根式，

s]x2-2xy+y2=J(x-(x-y)>0?是二次根式，

jTx(-3)=舊,是二次根式，

:.左,yjx2-2xy+y2,J-4x(-3)是二次根式,共3個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，二次根式的定義(一般形如夜(。20)的代數(shù)式叫做二次根

式)會(huì)判斷被開(kāi)方數(shù)的正負(fù)是解答關(guān)鍵.

3.給出下列各式：①取；②6；③Qi；?V^(m<0)；⑤々+1；⑥游.其中二次根式的個(gè)數(shù)是

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的定義即可作出判斷.

【詳解】解:①：32>0,.?.宿是二次根式；

②6不是二次根式；

②：-12<0,不是二次根式；

④；加40,是二次根式；

⑤；.JH+1是二次根式;

⑥玲是三次根式，不是二次根式.

所以二次根式有3個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的定義，解題時(shí)，要注意：一般地，我們把形如&(a20)的式子叫做二次

根式.

【題型二二次根式有意義的條件】

例題：（2023上?安徽宿州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）二次根式中。的取值范圍是（）

A.a>2B.aw2C.a>2D.a>0

【答案】c

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于等于零可得“-220,求解即可,

熟練掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于等于零是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解:由題意得：a-2>0,

解得：a>2,

故選：C.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?河北石家莊?八年級(jí)?？计谥校┮苟胃饺f(wàn)I有意義，貝心的值可以?。ǎ?/p>

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，即被開(kāi)負(fù)數(shù)為非負(fù)數(shù)，即可作答.

【詳解】解：依題意：2-x>0,

貝"2,

A、B、C、。四個(gè)選項(xiàng)，滿足尤42這個(gè)條件的只有D,

故選：D.

2.（2023上?四川成都?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如果二次根式、」有意義，那么x的取值范圍是（）

\3-x

A.x>-3B.x>3C.x<—3D.x<3

【答案】D

—>0

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于零及分母不為零得到3-無(wú)一，進(jìn)而

3-xw0

求解即可，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

—>0

【詳解】由題意得3-苫一,

3-xw0

解得x<3,

故選：D.

3.（2023?廣東云浮?統(tǒng)考二模）若式子正二有意義，則無(wú)的取值范圍是（）

x—2

A.x>lB.%>1且C.且%。2D.%w2

【答案】c

【分析】本題考查分式和二次根式有意義的條件，根據(jù)分母不為0,被開(kāi)方數(shù)大于或等于0,解不等式即可.

【詳解】解：依題意得：x-120且為一2/0,

解得x21且xw2.

故選C.

【題型三求二次根式的值】

例題：（2023下?浙江麗水?八年級(jí)校聯(lián)考期中）當(dāng)x=-6時(shí)，乒上的值為.

【答案】4

【分析】直接把x的值代入化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：當(dāng)尤=-6時(shí)，

14-2x=^/4-2x（-6）=74+12=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的求值，熟記二次根式的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.當(dāng)x=2時(shí)，二次根式j(luò)2+7x的值是.

【答案】4

【分析】把x=2代入二次根式計(jì)算可得答案.

【詳解】解：

??J2+7十-,2+7X2

=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的計(jì)算求值，解題的關(guān)鍵是正確代入數(shù)值計(jì)算.

2.（2023下?浙江溫州?八年級(jí)?？计谥校┊?dāng)x=l時(shí)，二次根式^/74的值是

【答案】2

【分析】將x=l代入原式即可求出答案.

【詳解】解：當(dāng)x=l時(shí)，

j7-3x

=^7-3x1

=A/4

=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查求二次根式的值，二次根式的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì).

3.已矢口孫=3,貝（+=.

【答案】±273

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)將原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，注意要結(jié)合二次根式有意義的條件進(jìn)行分情況討論

【詳解】求解.

解：xy=3,

x與y同號(hào)，

①當(dāng)x>0,y>0時(shí)，

原式一恒+x?近

y%

=y/3+5/3

=2y/3;

②當(dāng)xvo,yvo時(shí)，

原式一叵+尤?互

-y—x

=一^/^-

故答案為：±2S'.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用二次根式有意義的條件.

【題型四求二次根式中的參數(shù)】

例題：如果國(guó)是一個(gè)整數(shù)，那么最小正整數(shù)。=.

【答案】2

【分析】根據(jù)二次根式的定義，可得答案.

【詳解】解：由二次根式同是一個(gè)整數(shù)，那么正整數(shù)。最小值是2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，利用二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.已知有理數(shù)滿足5-島=2b+2若-〃，則的值是.

【答案】J

【分析】將已知等式整理得-島+("2》)=20-5,由°,。為有理數(shù)，得到-6。=2百，。-2b=-5,求出a,

b的值，代入計(jì)算即可.

【詳解】解：：5-耳=28+2省一a,

—y/3d+(a—2b)=2.\/3-5,

'：a,。為有理數(shù)，

二-sj3a=2j3,a-2b=-5,

3

解得。=-2/=》

a+b=—2+—=――,

22

故答案為：

【點(diǎn)睛】此題考查了求二次根式中的參數(shù)，將已知等式整理后得到對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此求出a,6的值是解題的

關(guān)鍵.

2.已知”是無(wú)擎藜，底方是擎藜，則滿足條件的所有w的值為.

【答案】9或7或1

【分析】先利用算數(shù)平方根有意義的條件求得正整數(shù)”的取值范圍，然后令18-2〃等于所有可能的平方數(shù)即

可求解.

【詳解】解:由題意得18-2〃之0,

解得“49,

...”是正整數(shù)，

n>l

???1W〃W9,

A2<2n<18,

A0<18-2n<16,

：J18-2〃是整數(shù),

18-2”=0或18—2〃=1或18—2"=4或18—2〃=9或18-2"=16,

179

解得〃=9或"=——或〃=7或〃=—或〃=1,

22

?.%是正整數(shù)，

”=9或〃=7或〃=1,

故答案為：9或7或1

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的性質(zhì)，理解掌握被開(kāi)方數(shù)是平方數(shù)時(shí)算術(shù)平方根才是整數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【題型五利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】

例題：計(jì)算：J（1一同=.

【答案】V3-l##-l+73

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)直接求解即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，

7（1-A/3）2=|1-^|=A/3-1,

故答案為：V3-1.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)：值=同，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.化簡(jiǎn)：Vj_8=，《5Qa~b(a<Q)=.

【答案】3A/2-5a技

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】解：炳=30,

d50a2b(a<0)

=*2x2x(-a)"

=-5aJ2b，

故答案為：3VL-5ay/2b.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，會(huì)利用二次根式的性質(zhì)正確化簡(jiǎn)是解答的關(guān)鍵.

2.化簡(jiǎn)：

【答案】⑴;3

⑵逅

2

⑶叵

4

【分析】(1)先將被開(kāi)方數(shù)的分子分母分別寫(xiě)成平方的形式，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可;

(2)先將被開(kāi)方數(shù)化成假分?jǐn)?shù)，再將分母有理化即可；

(3)直接將分母有理化即可.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)，熟練分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵.

【題型六二次根式的乘除運(yùn)算】

例題：(2023上?四川樂(lè)山?九年級(jí)樂(lè)山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥?計(jì)算：3X

【答案】-g

【分析】本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：［-:厲）=-%10=-T

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?上海浦東新?八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：3舊—%^

【答案】巫

7

【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.

2.（2023上?上海閔行?八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：3VT25--j2-x2Vi8

4V2

【答案】24

【分析】根據(jù)二次根式的乘除混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：3^/^25-^|^21x2^/^8=3^|4-1^|X2A/T8=3^|X1^|X2A/18=3X|X2XJ|X|X18=24.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

3.（2023上?陜西西安?八年級(jí)西安市第二十六中學(xué)校考階段練習(xí)）計(jì)算：曰&+卜［昌

【答案】3指

【分析】先根據(jù)二次根式的乘除法法則計(jì)算，然后合并即可；

【詳解】解：原式=2指+"x3=36.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決

問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.（2023上?上海閔行?八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：3戶(hù)xgg+2^y>0）

【答案】武

【分析】本題考查二次根式的乘除法.根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算即可.

1[~__1[x~y/x

【詳解】解:2

5.（2023上?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算:

【答案】⑴-450

（2）-|

【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

（2）根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

3后1一27月=gx半、卜27指卜平x/27灼=-45相;

【詳解】（1）原式=

2

（2）原式=

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的乘除運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵.

【題型七最簡(jiǎn)二次根式的判斷】

例題：下面是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.厄B.出C.卡D.75

【答案】D

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：A.V12=2A/3,巫的被開(kāi)方數(shù)中含能開(kāi)得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符

合題意；

B.4=乎，￡的被開(kāi)方數(shù)含有分母,不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.專(zhuān)分母中含有二次根號(hào)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.君是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義.理解和掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題的關(guān)鍵，注意：滿足下列

兩個(gè)條件的二次根式，叫最簡(jiǎn)二次根式：①被開(kāi)方數(shù)不能含有分母；②被開(kāi)方數(shù)不含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)

或因式.

【變式訓(xùn)練】

1.下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.V05B.C.7121D.V17

【答案】D

【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件：（1）

被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)

二次根式，否則就不是.

【詳解】解：4代=也，不屬于最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

2

B、后=駕，不屬于最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、腦=11,不屬于最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、后屬于最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念是解答本題的關(guān)鍵.

2.在二次根式回、疔、而、與、后中，最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)是（）個(gè)

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因

式，解答即可.

【詳解】解：???莊=36,必=x岳,手，

，最簡(jiǎn)二次根式有：而、好共兩個(gè).

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【題型八同類(lèi)二次根式】

例題：下列二次根式中與0是同類(lèi)二次根式的是（）.

A.〃B.75C.V8D.M

【答案】c

【分析】先化簡(jiǎn)，再根據(jù)同類(lèi)二次根式的定義解答.

【詳解】解：44=2,與夜不是同類(lèi)二次根式，不符合題意;

B、石與血不是同類(lèi)二次根式，不符合題意；

C、*=20與0是同類(lèi)二次根式，符合題意；

D、M與拒不是同類(lèi)二次根式，不符合題意；

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同類(lèi)二次根式的定義，即：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這樣的二次根

式叫做同類(lèi)二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握同類(lèi)二次根式的定義.

【變式訓(xùn)練】

1.下列二次根式中，能與百合并的是（）

A.B.C.^6D.^/18

【答案】B

【分析】先化簡(jiǎn)選項(xiàng)中各二次根式，然后找出被開(kāi)方數(shù)為3的二次根式即可.

【詳解】解：A、J=孝，故與6不能合并，故A不符合題意；

B、同=今,故居與否能合并，故B符合題意；

V/D1DV/。

C、而與百不能合并，故C不符合題意；

D、/=3后，故炳與g不能合并，故。不符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是同類(lèi)二次根式的定義和二次根式的性質(zhì)，掌握同類(lèi)二次根式的定義是解題的關(guān)

鍵.

2.下列各組的兩個(gè)根式，是同類(lèi)二次根式的是（）

A.B.J8a[3和C.和-Jo.2D.-jayjab

\xy\2xy

【答案】C

【分析】根據(jù)同類(lèi)二次根式的概念逐個(gè)判斷即可.

B：而涼=2同缶故的蕨和2疝，故3選項(xiàng)不符合題意；

C：回=2非,-^/5萬(wàn)=-半故而和-4正是同類(lèi)二次根式，故C選項(xiàng)符合題意;

D-.夜和族不是同類(lèi)二次根式，故。選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查同類(lèi)二次根式，正確理解同類(lèi)二次根式的概念是解題的關(guān)鍵.

【題型九已知同類(lèi)二次根式求參數(shù)】

例題：最簡(jiǎn)二次根式向T能與百進(jìn)行合并，則機(jī)=.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意可判斷最簡(jiǎn)二次根式標(biāo)1和6是同類(lèi)二次根式，即得出心+1=3,解出機(jī)即可.

【詳解】根據(jù)題意可知m+1=3,

解得：機(jī)=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，同類(lèi)二次根式的判斷.由題意判斷出而I和百是同類(lèi)二次根式

是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.若最簡(jiǎn)二次根式7§工萬(wàn)與3是同類(lèi)二次根式，貝心的值為.

【答案】1

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式和同類(lèi)二次根式的定義可列出關(guān)于a的等式，解出a即可.

【詳解】由題意可知3°-1=2,

解得：a=\.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式和同類(lèi)二次根式的定義.掌握化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，

這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式是解題關(guān)鍵.

2.若最簡(jiǎn)二次根式2,4加-1與J2+3根是同類(lèi)二次根式,則優(yōu)=.

【答案】3

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式和同類(lèi)二次根式的定義可得4〃—1=2+3〃2,再解出機(jī)即可.

【詳解】由題意得：4/M-1=2+3/7?,

解得：〃7=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式和同類(lèi)二次根式的定義.掌握幾個(gè)最簡(jiǎn)二次根式的被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)

最簡(jiǎn)二次根式就叫做同類(lèi)二次根式是解題關(guān)鍵.

【題型十二次根式混合運(yùn)算】

例題：計(jì)算：

(l)^/48-A/27+；(2)^3A/12-2^-+A/48^^^.

【答案】(1)生8；

3

(2)y.

【分析】(1)先化簡(jiǎn)，再算二次根式的加減法即可；

(2)先化簡(jiǎn)，再算括號(hào)里的加減法，最后算除法即可.

【詳解】(1)解：原式=4括-36+3=拽；

33

(2)解：原式=(6/一攣+4目十力="叵+百二型.

I3J33

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是掌握二次根式的運(yùn)算法則和性質(zhì).

【變式訓(xùn)練】

1.(2023上?河南焦作?八年級(jí)統(tǒng)考期中)計(jì)算

(1)-j_2d⑵(1-26)2_(2-百)(2+代)

【答案】(1)8夜

⑵12-46

【分析】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，熟記二次根式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

(1)先進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算以及化簡(jiǎn)二次根式，再合并同類(lèi)二次根式即可；

(2)先根據(jù)平方差公式，完全平方公式去括號(hào)，最后進(jìn)行加減運(yùn)算即可.

【詳解】(1)解：避丁匣-[9-21)=50x2-9及-夜)=io&-2拒=8&;

(2)(1-2A/3)2-(2-^](2+A/3)=1-473+12-(4-3)=1-473+12-1=12-4^.

2.(2023下?北京海淀?八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))計(jì)算下列各題:

⑴+卜句2-舟卜閩;^A/12+V27r-叵

(2)---------1=-----V5x--；

V3V20

(3)3而-10』+A；(4)3^+1V50-4j1UV32.

【答案】⑴-應(yīng)

W

(3)7A/5

(4)2

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可

【詳解】(1)解：原式=一3+3-2夜+夜=一百；

2肉34(9=5_37

(2)解：原式=

422

(3)解：原式=66-2斯+3斯=7君;

解：原式=9A/2+|X5^-4X

(4)+4應(yīng)=(9底+應(yīng)-20)+4收=80+40=2

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵

3.(2023上?山東青島?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))計(jì)算題:

(1)J|-47216+42j1；⑵卜質(zhì)-2后,班

6

-1+2/

⑶花A/5-1)(4)^27-|l-2V2|+

I2

⑸2一丁A/12xV6

(6)

【答案】⑴*

⑵6；

（3）272:

（4）一0+1；

⑸-3；

⑹這

3

【分析】（1）分別將各部分化簡(jiǎn)，再合并即可；

（2）先將除法轉(zhuǎn)化成乘法，然后進(jìn)行乘法運(yùn)算，再合并即可；

（3）分別化簡(jiǎn)二次根式、負(fù)指數(shù)幕、利用平方差公式化簡(jiǎn)二次根式，再合并即可；

（4）分別求出立方根、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、負(fù)指數(shù)幕、計(jì)算二次根式乘法，再合并即可；

（5）分別化簡(jiǎn)二次根式再進(jìn)行處罰運(yùn)算，再合并即可；

（6）分別把各部分化簡(jiǎn)，再合并即可；

【詳解】（1）解：A-4A/^+42J=4-24#+7"=-^^；

（2）2A卜石=?2^7+宕=12-6=6；

（3）掂+（；］-（石+1）（?-1）=2^/5+4-（5-1）=2^/5+4-4=2后；

（4）0^一卜一2四++2x#=-3一僅/-1）+3+及=_3一20+1+3+0=一行+1;

【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)指數(shù)幕、二次根式的混合運(yùn)算，解答關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則.

【題型十一已知字母的值，化簡(jiǎn)求值】

例題：（2023上?福建泉州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知“=而+4,6=而-4,求下列代數(shù)式的值.

⑴/-無(wú)；

（2）a2+b2+ab.

【答案】（1）16而

(2)49

【分析】本題考查了乘法公式，分式的加減運(yùn)算，二次根式的混合運(yùn)算.

（1）根據(jù)平方差公式將原式整理成（。+與（。-6）,再根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可求解;

（2）根據(jù)完全平方公式將原式整理成（4+6）2-必，再根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可求解.

【詳解】⑴解：?a=-\/lT+4,Z?=&7-4，

J〃+人=而+4+41-4=2而，〃+/?=而+4-&1+4=8，

貝IJ/一/=（々+勾g一勾=2而x8=16亞.

（2）解：?「〃=^/1T+4，b=A/TT—4，

a+b=y/ll+4+s/ll-4=2y/ll,岫=（而+4）（而-4）=-5,

貝!I/+〃+ab=（a+b）~-ab=（2A/TT）+5=49.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?遼寧朝陽(yáng)?七年級(jí)?？计谥校┮阎?避二5,不+曲,求/+'2一.-2苫+2丫的值.

2-2

【答案】2+2如

【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，靈活進(jìn)行公式變形是解題的關(guān)鍵.先

求出x-兒孫的值，然后把爐+產(chǎn)一孫一2x+2y變形后整體代入求解即可.

【詳解】解：'=一'廠”