人教版八年級上冊數(shù)學(xué)期末試題（一）含答案及解析

人教版八上數(shù)學(xué)期末真題（1）

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.（3分）柳卯是中國建筑的智慧結(jié)晶，僅靠木頭之間的相互作用力就可以讓建筑或家具牢固、美觀.下

列柳卯拼接截面示意圖中，是軸對稱圖形的是（）

D.1

2.（3分）杭州亞運會主火炬以零碳甲醇作為燃料，在亞運史上首次實現(xiàn)廢碳再生、循環(huán)內(nèi)零碳排放.甲

醇的密度很小，1c/甲醇的質(zhì)量約為0.00079修，將0.00079用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.79X10-4B.7.9X10-4C.79X105D.0.79X103

3.（3分）下列運算中，正確的是（）

A.（片）3=。8B.（-3Q）2=6a2

C.a2*a3=a5D.a9-i-a3=a3

4.（3分）如圖，點E,C,F,B在一條直線上，AB"ED,/A=ND,添加下列條件不能判定

A.AC//DFB.AB=DEC.EC=BFD.AC=DF

5.（3分）正多邊形的一個外角的度數(shù)為72°,則這個正多邊形的邊數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

6.（3分）如圖是折疊凳及其側(cè)面示意圖,若4C=5C=18c加,則折疊凳的寬45可能為（）

A.70cmB.55cmC.40cmD.25cm

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7.（3分）下列各式從左到右變形正確的是（）

A.B.包小C.D.2XI=1

22

-xxx+33X-4X-2xy

8.（3分）如圖，在△48C中，/BAC=90°,尸是△/8C內(nèi)一點，點。，E,尸分別是點P關(guān)于直線NC,

AB,3C的對稱點，給出下面三個結(jié)論：

①/￡=/￡＞；

②/DPE=90。；

（3）ZADC+ZBFC+ABEA=270°.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

（2分）若代數(shù)式旦有意義，則實數(shù)x的取值范圍是

x-l

10.（2分）分解因式：a3-ab2=.

11.（2分）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，點/（-1,-1）關(guān)于x軸的對稱點H的坐標(biāo)為

12.（2分）計算：（6a3-9a2）4-3a2=.

13.（2分）已知一個等腰三角形的一個內(nèi)角為40。，則它的頂角等于.

14.（2分）如圖，在△ABC中,。￡是8C邊的垂直平分線.若/3=8,/C=13,則LABD的周長為.

15.（2分）把一張長方形紙片沿對角線折疊，使折疊后的圖形如圖所示.若NA4C=35°,則

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16.（2分）請閱讀關(guān)于“樂數(shù)”的知識卡片，并回答問題：

樂數(shù)

我們將同時滿足下列條件的分?jǐn)?shù)稱為“樂數(shù)”

a.分子和分母均為正整數(shù)；

b.分子小于分母；

c.分子、分母均為兩位數(shù)，且分子的個位數(shù)字與分母的十位數(shù)字相同；

d.去掉分子的個位數(shù)字與分母的十位數(shù)字后，得到的分?jǐn)?shù)與原來的分?jǐn)?shù)相等.

例如：此

64

去掉相同的數(shù)字6之后，得到的分?jǐn)?shù)上恰好與原來的分?jǐn)?shù)相等，則」旦是一個“樂數(shù)

__________________________________464_____________________

（1）判斷：型（填“是”或“不是”）“樂數(shù)”；

39

（2）寫出一個分子的個位數(shù)字與分母的十位數(shù)字同為9的“樂數(shù)”.

三、解答題（本題共60分，第17題5分，第18題10分，第19-23題每題5分，第24題6分，第25、26

題每題7分）

17.（5分）計算：（_3產(chǎn)-（兀-2024）0+g）T+|-2卜

18.(10分)(1)已知x2+2x-2=0,求代數(shù)式x(x-2)+(x+3)2的值.

⑵計算：點亮片缶

19.（5分）小明用自制工具測量花瓶內(nèi)底的寬.他將兩根木條/C,5。的中點連在一起（即/O=C。，

BO=DO）,如圖所示放入花瓶內(nèi)底.此時，只需測量點與點之間的距離，即為該花

瓶內(nèi)底的寬，請證明你的結(jié)論.

DC

V

AB

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20.（5分）如圖，在△/BC中，NC=90°,N/=30°.在線段/C上求作一點D.使得CD,AD-

小明發(fā)現(xiàn)作//3C的平分線交/C于點。，點。即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依小明的思路作出點。（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：VZA=30a,ZC=90",

；.N4BC=°.

:BD平分/ABC,E、

^ABD=ZCBD=yZABC=30°，

ZABD=/4.

：.AD=.CA

在RtZ\2CD中，NCBD=3Q°,

CD=yBD（）（填推理依據(jù)）.

.1

?*CD-^-AD-

21.（5分）如圖所示的4X4網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，頂點是網(wǎng)格線交點的三角形稱為格點三角形.如圖1,

△ABC為格點三角形.

A

（2）在圖2和圖3中分別畫出一個以點Ci,C2為頂點，與AABC全等，且位置互不相同的格點三角形.

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22.（5分）列方程解應(yīng)用題:

無人配送以其高效、安全、低成本等優(yōu)勢，正在成為物流運輸行業(yè)的新趨勢.某物流園區(qū)使用1輛無人

配送車平均每天配送的包裹數(shù)量是1名快遞員平均每天配送包裹數(shù)量的5倍.要配送6000件包裹，使用

1輛無人配送車所需時間比4名快遞員同時配送所需時間少2天，求1名快遞員平均每天可配送包裹多

少件？

23.（5分）如圖，四邊形/BCD中，4B=AC,40=90°,3EL4C于點尸，交CD于點、E,連接E4,

EA平分/DEF.

（1）求證：AF=AD；

（2）若BF=1,DE=3,求C￡的長.

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24.（6分）小明設(shè)計了一個凈水裝置，將雜質(zhì)含量為〃的水用機(jī)單位量的凈水材料過濾一次后，水中的

雜質(zhì)含量為」利用此凈水裝置，小明進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：

現(xiàn)有雜質(zhì)含量為1的水.

（1）用2單位量的凈水材料將水過濾一次后，水中雜質(zhì)含量為；

（2）小明共準(zhǔn)備了6a單位量的凈水材料，設(shè)計了如下的三種方案：方案N是將6a單位量的凈水材料一

次性使用，對水進(jìn)行過濾；方案2和方案C均為將6a單位量的凈水材料分成兩份，對水先后進(jìn)行兩次

過濾.三種方案的具體操作及相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

方案編第一次過濾用凈水材水中雜質(zhì)含量第二次過濾用凈水材第二次過濾后水中雜質(zhì)含

號料的單位量料的單位量量

A6a//

l+6a

B5aa]

l+5a(l+5a)(1+a)

C4a2a

①請將表格中方案C的數(shù)據(jù)填寫完整；

②通過計算回答：在這三種方案中，哪種方案的最終過濾效果最好?

（3）當(dāng)凈水材料總量為6a單位量不變時，為了使兩次過濾后水中的雜質(zhì)含量最少，小明應(yīng)將第一次凈

水材料用量定為（用含。的式子表示）.

25.（7分）如圖，在△NBC中，N/BC=90°,AB=BC,作直線4P,使得45°<ZPAC<90a.過點2

作3D_L4P于。，在。/的延長線上取點E,使DE=BD.連接CE.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）若NABD=a,求NC8E（用含a的式子表示）；

（3）用等式表示線段NE,CE,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

c

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26.(7分)在平面直角坐標(biāo)系中，直線/過原點且經(jīng)過第三、第一象限，/與x軸所夾銳角為武.對

于點尸和x軸上的兩點M,N,給出如下定義：記點P關(guān)于直線/的對稱點為。，若點。的縱坐標(biāo)為正

數(shù)，且為等邊三角形，則稱點P為N的武點.

圖1備用圖1備用圖2

(1)如圖1,若點M(2,0),N(4,0),點、P為M,N的45°點，連接OP,OQ.

①NPOQ=°；

②求點P的縱坐標(biāo)；

(2)已知點M(〃?，0),N(.m+t,0).

①當(dāng)，=2時，點尸為M,N的60°點，且點尸的橫坐標(biāo)為-2,則機(jī)=；

②當(dāng)機(jī)=-2時，點、P為M,N的30°點，且點尸的橫坐標(biāo)為2,則片.

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人教版八上數(shù)學(xué)期末真題（1）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.（3分）柳卯是中國建筑的智慧結(jié)晶，僅靠木頭之間的相互作用力就可以讓建筑或家具牢固、美觀.下

列樟卯拼接截面示意圖中，是軸對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形,

這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A,B,。選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

。選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對

稱圖形.

故選：C.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，熟知軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重

合是解題的關(guān)鍵.

2.（3分）杭州亞運會主火炬以零碳甲醇作為燃料，在亞運史上首次實現(xiàn)廢碳再生、循環(huán)內(nèi)零碳排放.甲

醇的密度很小，1"戶甲醇的質(zhì)量約為0.00079人g,將0.00079用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.79X10“B.7.9X104C.79X105D.0.79X103

【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為0X10”,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)

法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

【解答】解：0.00079=7.9^10-4.

故選：B.

【點評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為aXl（T",其中〃為由原數(shù)左邊

起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

3.（3分）下列運算中，正確的是（）

第8頁（共28頁）

A.（/）3=。8B.（-3。）2=6a2

C.Q2?〃3=〃5D.Q9+Q3=Q3

【分析】根據(jù)幕的乘方法則，積的乘方法則，同底數(shù)幕的乘法和除法法則逐項計算，即可判斷.

【解答】解：（Q2）3=Q6,故/計算錯誤，不符合題意；

（-36/）2=9片，故5計算錯誤，不符合題意；

Q2?Q3=〃2+3=Q5,故。計算正確，符合題意；

a9^a3=a6,故。計算錯誤，不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查哥的乘方，積的乘方，同底數(shù)累的乘法和除法.熟練掌握各運算法則是解題關(guān)鍵.

4.（3分）如圖，點E,C,F,8在一條直線上，AB//ED,/A=ND,添加下列條件不能判定△/BCg

A.AC//DFB.AB=DEC.EC=BFD.AC=DF

【分析】利用平行線的性質(zhì)可得NE=N5,然后利用全等三角形的判定方法，逐一判斷即可解答.

【解答】I?：*：AB//ED,

：.NE=NB,

A.?：AC〃DF,

ZACB=ZDFEf

VZA=ZDfNE=NB,

：.AABC和△。跖不一定全等，

故4符合題意；

B、VZ^=ZZ）,AB=DE,NE=NB,

???△ABC名ADEFCASA）,

故5不符合題意；

C、?:EC=BF,

：.EC+CF=BF+CF,

:.EF=BC,

第9頁（共28頁）

：//=〃，NE=/B,

:.AABC沿ADEF（AAS）,

故C不符合題意；

D、VZA=ZD,ZE=ZB,AC=DF,

.,.△ABgADEF（AAS）,

故。不符合題意；

故選：A.

【點評】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

5.（3分）正多邊形的一個外角的度數(shù)為72°,則這個正多邊形的邊數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】正多邊形的外角和是360°,這個正多邊形的每個外角相等，因而用360。除以外角的度數(shù)，就

得到外角和中外角的個數(shù)，外角的個數(shù)就是多邊形的邊數(shù).

【解答】解：?正多邊形的外角和是360。，

.-.3604-72=5,那么它的邊數(shù)是5.

故選：B.

【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角.根據(jù)正多邊形的外角和求多邊形的邊數(shù)是常用的一種方法，

需要熟記.

6.（3分）如圖是折疊凳及其側(cè)面示意圖，若/C=BC=1857,則折疊凳的寬可能為（）

A.70cmB.55cmC.40cmD.25cm

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論.

【解答】W：V^C=BC=18cm,

：.0<AB<36,

折疊凳的寬可能為25cm,

故選：D.

【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

7.（3分）下列各式從左到右變形正確的是（）

第10頁（共28頁）

A.工:J-

-xx

2

「x+21

D.AZ_=1

2221

X-4X~xy

【分析】利用分式的性質(zhì)逐項判斷即可.

【解答】解：二二=工，則/不符合題意；

-xX

2tL與工不一定相等，則5不符合題意；

x+33

-^_=-一塔一-=^-,則。符合題意；

2

X-4（X+2）（X-2）X-2

2

2^=工，則。不符合題意；

x2yAx

故選：C.

【點評】本題考查分式的性質(zhì)，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握.

8.（3分）如圖，在△48C中，/BAC=90：P是△/8C內(nèi)一點，點D,E,尸分別是點P關(guān)于直線NC,

AB,3c的對稱點，給出下面三個結(jié)論：

①/￡=/￡＞；

②/DPE=90。；

（3）ZADC+ZBFC+ZBEA=270°.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【分析】連接4P,CP,BP,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得/C,AB,BC分別為PD,PE,尸尸的垂直平分線，再

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得/。=/尸，AE=AP,CD=CP,即可判斷①③，根據(jù)/比1C=9O°,可得四邊

形為矩形，即可判斷②.

【解答】解：如圖，連接/P,CP,BP,

第11頁（共28頁）

M

D

B

￡

;點、D,E,尸分別是點尸關(guān)于直線ZC,AB,3c的對稱點，

：.AC,AB,8c分別為尸￡）,PE,尸尸的垂直平分線，

：.AD=AP,AE=AP,

：.AE=AD,故①正確；

VAC,AB分別為PD,PE的垂直平分線，/A4c=90°,

，四邊形AMPN為矩形,

：.NDPE=90°,故②正確；

,:AC為PD的垂直平分線，

：.AD=AP,CD=CP,

：.ZADP=ZAPD,ZCDP=ZCPD,

：./4DC=NAPC,

同理得NBFC=/BPC,ZBEA=NAPB,

ZAPC+ZBPC+ZAPB=360°,

：.ZADC+ZBFC+ZBEA=360°,故③錯誤；

故選：A.

【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是關(guān)鍵.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.（2分）若代數(shù)式旦有意義，則實數(shù)x的取值范圍是x#l.

X-1

【分析】根據(jù)分母不為零的條件進(jìn)行解題即可.

【解答】解：?.?代數(shù)式旦有意義，

X-1

.*.%-1W0,

解得xW1.

故答案為：xWL

第12頁（共28頁）

【點評】本題考查分式有意義的條件，掌握分母不為零的條件是解題的關(guān)鍵.

10.（2分）分解因式：/-。廬=a（a+6）（a-b）.

【分析】首先提取公因式。，進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出答案.

【解答】解：a3-ab2

—a（a2-廬）

=a（a+6）（a-b）.

故答案為：a（a+6）（a-6）.

【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵.

11.（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點/（-1,-1）關(guān)于x軸的對稱點H的坐標(biāo)為（-1,

1）.

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可以直接得到答案.

【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點/（-1,-1）關(guān)于x軸的對稱點T的坐標(biāo)為（-1,1）.

故答案為：（-1,1）.

【點評】此題主要考查了關(guān)于X軸對稱點的坐標(biāo)特點，關(guān)鍵是掌握坐標(biāo)的變化規(guī)律：（1）關(guān)于X軸對稱

點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于〉軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，

縱坐標(biāo)不變；（3）關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)特點：橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù).

12.（2分）計算：（6。3-9射）+3片=2a-3.

【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案.

【解答】解：（6a3-9a2）4-3a2=2a-3.

故答案為：2a-3.

【點評】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

13.（2分）已知一個等腰三角形的一個內(nèi)角為40°,則它的頂角等于40°或三0°.

【分析】分兩種情況：當(dāng)40。的內(nèi)角為頂角時；當(dāng)40。的角為底角時，利用三角形的內(nèi)角和結(jié)合等腰三

角形的性質(zhì)可計算求解.

【解答】解：當(dāng)40。的內(nèi)角為頂角時，這個等腰三角形的頂角為40°；

當(dāng)40。的角為底角時，則該等腰三角形的另一底角為40。，

.?.頂角為：180°-40°-40°=100°,

故答案為40°或100。.

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，注意分類討論.

第13頁（共28頁）

14.（2分）如圖，在△/BC中，。E是2C邊的垂直平分線.若/2=8,AC=13,則△48。的周長為21

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到。3=DC,再根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案.

【解答】解：是3c邊的垂直平分線，

：.DB=DC,

AABD-fe=AB+AD+DB^AB+AD+DC^AB+AC,

'：AB=S,AC=13,

.,.△ABD的周長=8+13=21,

故答案為：21.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相

等.

15.（2分）把一張長方形紙片沿對角線折疊，使折疊后的圖形如圖所示.若NA4c=35°,則

200.

【分析】由折疊可知/B/E=/A4C=35°,ZC=ZE=90°,由長方形形的性質(zhì)可得用〃/E,再利

用平行線的性質(zhì)可得=利用直角三角形兩銳角互余可求出/C8/的度數(shù)，進(jìn)而求出NC5D

的度數(shù).

【解答】解：如圖，由折疊可知/A4￡=NB/C=35°,ZC=ZE=90°,

第14頁（共28頁）

c

：.ZCBA=90°-NB/C=90°-35°=55°,

又；BF〃AE,

：.NDBA=NBAE=35°,

：.ZCBD=ZCBA-ZDBA=55°-Z35°=20°.

故答案為：20.

【點評】此題主要考查的是折疊角的問題以及平行線的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵折疊時折痕是角平分線,

同時正確利用平行線的性質(zhì).

16.（2分）請閱讀關(guān)于“樂數(shù)”的知識卡片，并回答問題：

樂數(shù)

我們將同時滿足下列條件的分?jǐn)?shù)稱為“樂數(shù)”

以分子和分母均為正整數(shù)；

b.分子小于分母；

c.分子、分母均為兩位數(shù)，且分子的個位數(shù)字與分母的十位數(shù)字相同；

d.去掉分子的個位數(shù)字與分母的十位數(shù)字后，得到的分?jǐn)?shù)與原來的分?jǐn)?shù)相等.

例如：旭

64

去掉相同的數(shù)字6之后，得到的分?jǐn)?shù)上恰好與原來的分?jǐn)?shù)相等，則」旦是一個“樂數(shù)

__________________464

（1）判斷：段不是（填“是”或“不是”）“樂數(shù)”；

39

（2）寫出一個分子的個位數(shù)字與分母的十位數(shù)字同為9的“樂數(shù)”_2匚.

95

【分析】（1）依據(jù)“樂數(shù)”的定義進(jìn)行判斷即可.

（2）按題意寫出符合要求的“樂數(shù)”即可.

【解答】解：（1）由題知，

去掉分?jǐn)?shù)里的分子和分母中的3,

39

第15頁（共28頁）

所得到的分?jǐn)?shù)為工，

9

而至工，且工卉工

3933尸9

所以里不是“樂數(shù)”.

39

故答案為：不是.

（2）因為分?jǐn)?shù)的分子的個位數(shù)字與分母的十位數(shù)字同為9,

則當(dāng)分子為19時，

因為分母的十位數(shù)字為9,

所以19X5=95,且工

955

而把分?jǐn)?shù)池的分子和分母中的9去掉后，得到的分?jǐn)?shù)為工，符合要求.

955

故答案為：」包.

95

【點評】本題考查整式的加減，理解“樂數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本題共60分，第17題5分，第18題10分，第19-23題每題5分，第24題6分，第25、26

題每題7分）

17.（5分）計算：（_3產(chǎn)-（冗-2024）°+（/）T+|-2|-

【分析】先根據(jù)有理數(shù)乘方的法則、絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)幕及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運算法則分別計算出各

數(shù)，再根據(jù)有理數(shù)的加減法則進(jìn)行計算即可.

【解答】解：（-3）2-（冗-2024）°+（/廠1+|-2|

=9-1+2+2

=12.

【點評】本題考查的是負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、有理數(shù)乘方的法則、絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)幕的運算法則，熟知

以上知識是解題的關(guān)鍵.

18.（10分）（1）已知x2+2x-2=0,求代數(shù)式x（x-2）+（x+3）2的值.

（2）計算：-.

2

x-1x+1X-2X+I

【分析】（1）由，+2x-2=0,得/+2x=2,把所求式子化簡后再代入即可；

（2）先算括號內(nèi)的，把除化為乘，再約分即可.

【解答】解：（1）?：x1+2x-2=0,

第16頁（共28頁）

".yp'+lx—l,

.,.x(x-2)+(x+3)2

—x2-2X+X2+6X+9

=2CX2+2X)+9

=2X2+9

=4+9

=13；

_2x.（x-l）2

（x+1）（x-1）2x

_x-l

x+1

【點評】本題考查整式化簡求值和分式的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握整式，分式的相關(guān)運算法則.

19.（5分）小明用自制工具測量花瓶內(nèi)底的寬.他將兩根木條/C,3。的中點連在一起（即/。=。。，

BO=DO）,如圖所示放入花瓶內(nèi)底.此時，只需測量點D與點C之間的距離,即為該花瓶內(nèi)

底的寬，請證明你的結(jié)論.

【分析】首先根據(jù)題意可得NO=C。，DO=BO,再加上對頂角相等可得根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)可得42=8.

【解答】解：在△7X7。和△氏4。中，

rDO=BO

-ZDOC=ZBOA>

CO=AO

；.ADCO烏ABAO（.SAS）,

:.AB=CD,

故只需測量點。與點C之間的距離，即為該花瓶內(nèi)底的寬.

故答案為：D,C.

【點評】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握全等三角形對應(yīng)邊相等.

第17頁（共28頁）

20.（5分）如圖，在△/BC中，NC=90°,N/=30°.在線段/C上求作一點D.使得CD,AD-

小明發(fā)現(xiàn)作//3C的平分線交/C于點。，點。即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依小明的思路作出點。（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：VZA=30a,ZC=90",

ZABC=60°.

；BD平分N4BC,

?'-z^=ZCBD=yZABC=30°-

NABD=/A.

：.AD=BD.

在RtZ\2CD中，NCBD=3Q°,

ACDU.BD（30度所對的直角邊是斜邊的一半）（填推理依據(jù)）.

.1

??CD^-AD-

【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作圖即可.

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)填空即可.

【解答】（1）解：如圖，點。即為所求.

/.ZABC=60a.

；BD平分/4BC,

^ABD=ZCBD=yZABC=30°，

第18頁（共28頁）

，/ABD=/A.

：.AD=BD.

在RtZ\8CD中，ZCBD=30°,

???CDVBD（30度所對的直角邊是斜邊的一半）.

.1

??CD=yAD-

故答案為：60；BD-,30度所對的直角邊是斜邊的一半.

【點評】本題考查作圖一復(fù)雜作圖、含30度角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知

識解決問題.

21.（5分）如圖所示的4X4網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，頂點是網(wǎng)格線交點的三角形稱為格點三角形.如圖1,

△A8C為格點三角形.

A

圖3

（2）在圖2和圖3中分別畫出一個以點Ci，C2為頂點，與△A5C全等，且位置互不相同的格點三角形.

【分析】（1）由勾股定理逆定理即可判斷△Z2C是直角三角形，從而得到答案;

（2）按照條件作出三角形即可.

【解答】解：（1）由圖可知，/5=P+22=5,3c2=12+22=5,"2=12+32=10,

：.AB-+BC1=AC1,

：.ZABC^90°；

故答案為：90；

（2）如圖：

△4181C1，△，出2c2即為所求.

【點評】本題考查作圖-應(yīng)用與涉及作圖，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理逆定理和全等三角形判定定理.

第19頁（共28頁）

22.（5分）列方程解應(yīng)用題：

無人配送以其高效、安全、低成本等優(yōu)勢，正在成為物流運輸行業(yè)的新趨勢.某物流園區(qū)使用1輛無人

配送車平均每天配送的包裹數(shù)量是1名快遞員平均每天配送包裹數(shù)量的5倍.要配送6000件包裹，使用

1輛無人配送車所需時間比4名快遞員同時配送所需時間少2天，求1名快遞員平均每天可配送包裹多

少件？

【分析】設(shè)1名快遞員平均每天可配送包裹x件，則1輛無人配送車平均每天可配送包裹5x件，利用工

作時間=工作總量+工作效率，結(jié)合“要配送6000件包裹，使用1輛無人配送車所需時間比4名快遞員

同時配送所需時間少2天”，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)1名快遞員平均每天可配送包裹x件，貝！H輛無人配送車平均每天可配送包裹5x件，

根據(jù)題意得：曬上-曬8=2,

解得：x=150,

經(jīng)檢驗，x=150是所列方程的解，且符合題意.

答：1名快遞員平均每天可配送包裹150件.

【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

23.（5分）如圖，四邊形/BCD中，AB=AC,ZD=90°,BEL4c于點尸，交CD于點E,連接

EA平■分2DEF.

（1）求證：AF=AD；

（2）若BF=1,DE=3,求CE的長.

【分析】（1）證出昉，由角平分線的性質(zhì)可得出結(jié)論；

（2）證明Rt△/瓦名△比/CD（HL）,由全等三角形的性質(zhì)可得出2P=CD=7,則可得出答案.

【解答】（1）證明：,

：.AD±DE,

:EA平分NDEF,

：.NAED=ZAEF,

第20頁（共28頁）

，/AED=ZAEF,

又：4尸_1￡尸，

：.AF=AD；

(2)解：在9和△必/C。中，

[AB=AC,

1AF=AD，

：.RiAABF^/\RtACD(HL),

：.BF=CD=1,

,:DE=3,

：.CE=CD-DE=1-3=4.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

24.(6分)小明設(shè)計了一個凈水裝置，將雜質(zhì)含量為〃的水用加單位量的凈水材料過濾一次后，水中的

雜質(zhì)含量為利用此凈水裝置，小明進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：

1+m

現(xiàn)有雜質(zhì)含量為1的水.

(1)用2單位量的凈水材料將水過濾一次后，水中雜質(zhì)含量為—工_；

3—

(2)小明共準(zhǔn)備了6a單位量的凈水材料，設(shè)計了如下的三種方案：方案/是將6a單位量的凈水材料一

次性使用，對水進(jìn)行過濾；方案3和方案C均為將6a單位量的凈水材料分成兩份，對水先后進(jìn)行兩次

過濾.三種方案的具體操作及相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

方案編第一次過濾用凈水材水中雜質(zhì)含量第二次過濾用凈水材第二次過濾后水中雜質(zhì)含

號料的單位量料的單位量量

A6a//

l+6a

B5aa]

l+5a(l+5a)(1+a)

C4Q2a

①請將表格中方案C的數(shù)據(jù)填寫完整；

②通過計算回答：在這三種方案中，哪種方案的最終過濾效果最好？

(3)當(dāng)凈水材料總量為6a單位量不變時，為了使兩次過濾后水中的雜質(zhì)含量最少，小明應(yīng)將第一次凈

水材料用量定為3a(用含。的式子表示).

第21頁(共28頁)

【分析】(1)根據(jù)水中的雜質(zhì)含量即可求解；

(2)①同樣根據(jù)水中的雜質(zhì)含量即可求解；

②當(dāng)?shù)谝淮蝺羲牧嫌昧慷?a、5a、4a時，用三次最終過濾后的水中雜質(zhì)含量相比較即可；

(3)將第一次凈水材料用量定為6a、5a、4a時，4a的最終過濾效果最好，因此在將第一次凈水材料用

量定為6a、5a、4a、3a、2°、。時，發(fā)現(xiàn)將第一次凈水材料用量定為5a與a、4a與2a時的過濾效果一

樣，因此將第一次凈水材料用量定為3a與4a的過濾效果進(jìn)行比較，可得3a的最終過濾效果最好.

【解答】解：(1)水中的雜質(zhì)含量為」

1+m

...現(xiàn)有雜質(zhì)含量為1的水，用2單位量的凈水材料將水過濾一次后，水中雜質(zhì)含量為_1_=_L

1+23

故答案為：1.

3

(2)①方案C水中雜質(zhì)含量：—1_,第二次過濾后水中雜質(zhì)含量：-------L------；

l+4a(l+4a)(l+2a)

②]-1=5a^,

l+6a(l+5a)(1+a)(l+6a)(l+5a)(1+a)

V6Z>0,

5tz2>0,(1+6Q)(1+5Q)(l+〃)>0

>1>1

l+6a(l+5a)(1+a)

同理可得:>

(l+5aHl+a)(l+4aHl+2a),

(l+4aJ(l+2a)<(l+5a1(1+a)〈福

，方案C的最終過濾效果最好;

(3)將第一次凈水材料用量定為3a時，第二次過濾后水中雜質(zhì)含量為————；

(l+3a)2

將第一次凈水材料用量定為2a時，第二次過濾后水中雜質(zhì)含量為^-----±------結(jié)果與將第一次凈

(l+2a)(l+4a)

水材料用量定為4a時相同；

將第一次凈水材料用量定為。時，第二次過濾后水中雜質(zhì)含量為^一J-------結(jié)果與將第一次凈水

(1+a)(l+5a)

材料用量定為5a時相同;

..?在將第一次凈水材料用量定為6a、5a、4a時，4a的最終過濾效果最好,

同理，可得——1_--------1-------<0,

(l+3a)2(l+4a)(l+2a)

,將第一次凈水材料用量定為3a時，其最終過濾效果最好，

第22頁(共28頁)

，為了使兩次過濾后水中的雜質(zhì)含量最少，小明應(yīng)將第一次凈水材料用量定為3a.

故答案為：3a.

【點評】本題考查的是代數(shù)式的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是正確運用代數(shù)式的減法、乘法與加法運算.

25.（7分）如圖，在中，ZABC=9Q°,AB=BC,作直線4P,使得45°<ZPAC<90°.過點8

作BDLAP于。，在0/的延長線上取點E,使DE=BD.連接BE,CE.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）若求NCBE（用含a的式子表示）；

（3）用等式表示線段NE,CE,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【分析】（1）由題意畫出圖形即可；

（2）證出/。3￡=乙0即=45°,由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；

（3）在工。延長線上取點F，使DF=4D,連接AF,證明名△BEC（&4S）,由全等三角形的性

質(zhì)得出F￡=C￡,則可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）依題意補(bǔ)全圖形如下：

(2)：5。_1/尸于￡),

:.NBDE=90°,

,:BD=DE,

：.NDBE=/DEB=45°,

第23頁（共28頁）

*.*NABD=CL,

：.ZABE=ZDBE-/ABD=45°-a.

VZABC=90°,

：.ZCBE=ZABC-ZABE=45°+a；

(3)AE+CE=2DE.

證明：如圖，在/。延長線上取點尸，使=/。，連接BR

?：BDL4P,AD=DF,

：.BA=BF.

：.ZFBD=ZABD=a,

VZDBE=45°,

:?/EBF=/DBE+NDBF=45°+a,

/EBF=/CBE,

?；AB=BC,

：.BF=BC,

■:BE=BE,

:?XBEF義XBEC（SAS）,

:?FE=CE,

?:AE=DE-AD,CE=FE=DE+DF,AD=DF,

；?AE+CE=2DE.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性

質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

26.（7分）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線/過原點且經(jīng)過第三、第一象限，/與x軸所夾銳角為/.對

于點P和x軸上的兩點M,N,給出如下定義：記點尸關(guān)于直線/的對稱點為0,若點。的縱坐標(biāo)為正

第24頁（共28頁）

數(shù)，且△MNQ為等邊三角形，則稱點尸為M,N的"。點.

圖1備用圖1備用圖2

(1)如圖1,若點M(2,0),N(4,0),點尸為M,N的45°點，連接OP,OQ