廣東省陽(yáng)江市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省陽(yáng)江市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，且，則（）A.-1 B.1 C.-3 D.3【答案】D【解析】由題意：，得：或兩種情況，若，則，此時(shí)，不滿足互異性；若，則解得或，顯然，符合題意，而當(dāng)時(shí)，，不滿足互異性.綜上所述：.故選：D.2.“不等式恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，不等式恒成立時(shí)，，所以選項(xiàng)中“不等式恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是.故選：D.3.已知，則下列結(jié)論正確是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：B.4.已知函數(shù)是R上的減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于函數(shù)是定義在R上的減函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且有，即，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.5.設(shè)函數(shù)，則等于（）A. B.1 C. D.10【答案】A【解析】令得①，令得②，聯(lián)立①②得.故選：A.6.已知函數(shù)若互不相等，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】作出分段函數(shù)的圖像，如圖所示，直線與函數(shù)圖像有4個(gè)交點(diǎn)，則關(guān)于直線對(duì)稱，所以，而，所以，所以，所以，因?yàn)橹本€與函數(shù)圖像有4個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D.7.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由指數(shù)函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又由對(duì)數(shù)函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以，即.故選：D.8.某工廠新購(gòu)置并安裝了先進(jìn)的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，以減少對(duì)空氣的污染.已知過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量（單位：）與過(guò)濾時(shí)間（單位：）的關(guān)系為（是正常數(shù)）.若經(jīng)過(guò)過(guò)濾后消除了的污染物，則污染物減少大約需要（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，經(jīng)過(guò)過(guò)濾后還剩余的污染物，則，解得，設(shè)污染物減少用時(shí)小時(shí)，于是，即，則，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，因此，所以污染物減少大約需要.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列不等式的解集為R的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，易知方程的判別式，即對(duì)應(yīng)的整個(gè)二次函數(shù)圖象都在軸上方，所以解集為R，即A正確；對(duì)于B，易知方程的判別式，由對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象可知其解集不可能為R，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知方程的判別式，即對(duì)應(yīng)的整個(gè)二次函數(shù)圖象都在軸下方，所以解集為R，即C正確；對(duì)于D，易知不等式可化為，顯然該不等式恒成立，即解集為R，即D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則函數(shù)具有下列性質(zhì)（）A.為上的奇函數(shù) B.在上是遞減函數(shù)C.的值域?yàn)?D.的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】AC【解析】A：定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為上的奇函數(shù)，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上是遞增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，所以的值域?yàn)?，故C正確；D：若的圖象關(guān)于對(duì)稱，則一定有；因?yàn)?，顯然的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.是上的奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，的解集為C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】對(duì)于A，首先定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其次，即是上的奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以或，解得或，即當(dāng)時(shí)，的解集為，故B正確；對(duì)于C，不妨取，此時(shí)，對(duì)，有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，令，此時(shí)，而，當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，即值域?yàn)?故選：ABD.12.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】因?yàn)椋字?，而，所以，且，則A正確，B錯(cuò)誤，C正確；，，比較與的大小關(guān)系，，，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.關(guān)于的不等式的解集是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，所以，等?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)在和1兩個(gè)數(shù)之間，規(guī)定時(shí)的取等條件為，綜上所述的最小值為，因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以恒成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)時(shí)，不可能成立，當(dāng)時(shí)，，解得.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.14.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】若，則不等式變?yōu)榱撕愠闪?，故滿足題意；若，則不等式恒成立等價(jià)于，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.15.已知點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且有最小值，則常數(shù)的一個(gè)取值為_________．【答案】1（不唯一）【解析】設(shè)，分別繪制函數(shù)的大致圖像如下圖：其中有最小值，，沒(méi)有最小值，是它的漸近線，點(diǎn)在上，，，如上圖，當(dāng)時(shí)，不存在最小值，.16.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【解析】記題設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則，由，知，所以，所以.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知關(guān)于的不等式的解集為．（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）求的最小值．解：（1）由題意得是方程的兩實(shí)數(shù)根，且，則有，即，，即，由，得，解得或，則不等式解集為或.（2）因?yàn)?，且由?）得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.則的最小值為16.18.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求a的取值范圍.解：（1）由題意可得.當(dāng)時(shí)，，則.（2）因?yàn)?，所以，顯然，則解得，即a的取值范圍是.19.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）設(shè)，則，，由為偶函數(shù)有，故.（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閷?duì)稱軸為，則此時(shí)為單調(diào)遞增函數(shù)，由偶函數(shù)可知在上為減函數(shù)，又因?yàn)椋?，故有，即，?20.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性定義進(jìn)行證明；（2）函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明：任取，則，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)椋?，即，所以在上單調(diào)遞增.（2），，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，設(shè)的值域?yàn)椋瑒t，設(shè)，，設(shè)的值域?yàn)?，由題意得，當(dāng)時(shí)，，顯然不合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）中結(jié)論知在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，值域，則有，解得，當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）中結(jié)論知在上單調(diào)遞減，此時(shí)值域，則有，解得，綜上所述，或.21.為助力鄉(xiāng)村振興，某村決定建一果袋廠．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)需投入的年固定成本為20萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需另投入的流動(dòng)成本為萬(wàn)元，在年產(chǎn)量不足萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元），在年產(chǎn)量不小于萬(wàn)件時(shí)，（萬(wàn)元），每件產(chǎn)品的售價(jià)為元．通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的果袋當(dāng)年全部售完．（1）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤(rùn)年銷售收入固定成本流動(dòng)成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，該廠所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：（1）因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為6元，則萬(wàn)件產(chǎn)品銷售收入為萬(wàn)元，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，，所以.（2）當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，取得最大值萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為萬(wàn)元，因?yàn)?，所以年產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí)，該廠所獲得