高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修一）第25講234圓與圓的位置關(guān)系

2.3.4圓與圓的位置關(guān)系TOC\o"13"\h\u題型1圓與圓的位置關(guān)系 3題型2由圓的位置關(guān)系確定參數(shù) 5題型3圓與圓公共弦問(wèn)題 9◆類型1圓的公共弦問(wèn)題 10◆類型2最值與范圍問(wèn)題 14題型4公切線問(wèn)題 18◆類型1公切線條數(shù)問(wèn)題 18◆類型2公切線方程問(wèn)題 23◆類型3公切線長(zhǎng)度問(wèn)題 28◆類型4最值取值范圍問(wèn)題 34題型5圓系問(wèn)題 36題型6兩圓相關(guān)最值問(wèn)題 38知識(shí)點(diǎn)一.圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。知識(shí)點(diǎn)二.圓與圓位置關(guān)系的判定1.幾何法若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|(r1≠r2)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)2.代數(shù)法通過(guò)兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))eq\o(→,\s\up7(消元))一元二次方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交；,Δ＝0?內(nèi)切或外切；,Δ＜0?內(nèi)含或外離Ｗ.))注意：涉及兩圓相切時(shí)，沒(méi)特別說(shuō)明，務(wù)必要分內(nèi)切和外切兩種情況進(jìn)行討論．注意：1.圓與圓相離，兩圓無(wú)公共點(diǎn)，它包括外離和內(nèi)含；2.圓與圓相交，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；3.圓與圓相切，兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切和外切.知識(shí)點(diǎn)三.兩圓的公切線兩圓的公切線是指與兩圓都相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.兩圓的公切線有如圖所示的五種情況：位置關(guān)系兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含圖示????公切線條數(shù)432101.外離時(shí)，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；2.外切時(shí)，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；3.相交時(shí)，有2條公切線，都是外公切線；4.內(nèi)切時(shí)，有1條公切線；5.內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線.知識(shí)點(diǎn)四．兩圓相交時(shí)公共弦所在直線的方程：圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時(shí)：1.將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；2.兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；3.x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程(不包括C2)．知識(shí)點(diǎn)五．圓系方程1.過(guò)直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；2.過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時(shí)，注意檢驗(yàn)圓C2是否滿足題意，以防漏解)．3.當(dāng)λ=1時(shí)，變?yōu)椋―1D2）x+（E1E2）+F1F2=0表示過(guò)兩圓的交點(diǎn)的直線（當(dāng)兩圓是同心圓時(shí)，此直線不存在），當(dāng)兩圓相交時(shí)，此直線為公共弦所在直線；當(dāng)兩圓相切時(shí)，此直線為兩圓的公切線；當(dāng)兩圓相離時(shí)，此直線為與兩圓圓心連線垂直的直線.題型1圓與圓的位置關(guān)系【方法總結(jié)】圓與圓的位置關(guān)系求解策略(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到．【例題1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓O：x2+yA．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【分析】利用兩圓外切的定義判斷即可.【詳解】圓O是以O(shè)(0,0)為圓心，半徑r圓C:x2+y2+6y+5=0改寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為x則OC=3，r故選：C.【變式11】1.（2022秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）圓(x?2)A．相切 B．相交 C．內(nèi)含 D．外離【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出兩圓的圓心和半徑，并計(jì)算兩圓的圓心距即可判斷作答.【詳解】圓(x?2)2+圓(x+1)2+(于是|C所以兩圓相交.故選：B【變式11】2.（2023春·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）圓C1:xA．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【分析】先將兩圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判定即可.【詳解】?jī)蓤A化為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得C1:(可知半徑r1=4，r2而3=r故選：C.【變式11】3.（多選）（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓的方程為x2A．該圓的面積為4π B．點(diǎn)2,1C．該圓與圓x2+y2=1【答案】BD【分析】首先將圓的方程寫為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心坐標(biāo)和半徑，對(duì)于A，根據(jù)圓的面積公式即可判斷；對(duì)于B，將點(diǎn)2,1代入(x?2)【詳解】x2+y2?4對(duì)于A：由圓的半徑r=2，得該圓的面積為對(duì)于B：因?yàn)?2?2)2對(duì)于C：圓x2+y因?yàn)閮蓤A心距離為(2?0)2+(0?0)對(duì)于D：圓心(2,0)到直線x+y?4=0所以直線x+故選：BD．題型2由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)【例題2】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）若圓x2+y2=A．r<5+1C．r?5≤1【答案】C【分析】根據(jù)兩圓之間的位置關(guān)系，由圓心距和半徑之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由x2+y兩圓圓心之間的距離為?12+2∵兩圓有公共點(diǎn)，∴r?1∴5?1≤r≤即?1≤r?5故選：C.【變式21】1.（2023春·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知圓C:x?32+y?42=r2【答案】1（2,3均可）答案不唯一【分析】根據(jù)題意，由已知利用圓與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】由題意得，圓x2+y∴r2+25?1≤32解得0<r≤11故答案為：1（2,3均可）【變式21】2.（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？既＃┤魣AC1:x2+【答案】13【分析】根據(jù)兩圓內(nèi)切由圓心距與半徑關(guān)系列出方程求a，聯(lián)立圓的方程求出切點(diǎn)，根據(jù)圓的切線性質(zhì)得出斜率即可求解.【詳解】如圖，

由題意得C1與C2相內(nèi)切，又所以C1所以2a+1=4所以C23,1聯(lián)立x2+所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為?3故所求公切線的方程為y+12=故答案為：1；3【變式21】3.（2023秋·高一單元測(cè)試）已知圓O1:(x?【答案】2【分析】計(jì)算兩圓的圓心距，令圓心距等于兩圓半徑之差，結(jié)合基本不等式求解最小值即可．【詳解】圓O1的圓心為(m,?2)，半徑為r1=3，圓O∴兩圓的圓心距d=|∵兩圓內(nèi)切，∴|m+n所以m2+n2≥2故答案為：2．【變式21】4.（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圓C:(x?4)2A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據(jù)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓x2【詳解】由∠APB=90°，得點(diǎn)P在圓x2因?yàn)閳Ax2+y所以|a?1|≤OC≤a解得4≤a故選：C.【變式21】5.（2023春·江西宜春·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知圓C(1)若直線l1過(guò)定點(diǎn)A1，1，且與圓C相切，求直線(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線l2【答案】(1)x=1或(2)(x+1【分析】（1）由點(diǎn)到直線的距離等于半徑，即可分情況求解，（2）由兩圓外切圓心距與半徑之和的關(guān)系，即可列方程求解.【詳解】（1）圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x所以圓C的圓心為3，4，半徑為2．①若直線l1的斜率不存在，即直線為x②若直線l1的斜率存在，設(shè)直線l1的方程為y由題意知，圓心3，4到已知直線l1所以|3k?4?k解得k=5綜上，所求直線l1的方程為x=1（2）依題意，設(shè)D又已知圓C的圓心為3，4，半徑為2，由兩圓外切，可知CD=3+2=5所以(a解得a=?1或a=6．所以D(?1,1)所以所求圓D的方程為(x+1【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．（1）先求出圓心和半徑，然后分成直線斜率存在或不存在兩種情況，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程可求得直線的方程．（2）設(shè)出圓D圓心坐標(biāo)，利用兩圓外切，連心線等于兩圓半徑的和列方程，可求得a的值，從而求得圓D的方程．題型3圓與圓公共弦問(wèn)題【方法總結(jié)】?jī)蓤A公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.補(bǔ)充說(shuō)明：①若與相切，則表示其中一條公切線方程；②若與相離，則表示連心線的中垂線方程.◆類型1圓的公共弦問(wèn)題【例題31】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓C1：xA．3x+4yC．3x?4y【答案】D【分析】由兩圓方程相減即可得公共弦的方程.【詳解】將兩個(gè)圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.故選：D.【變式31】1.（2023春·全國(guó)·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓C1：(x+1)2+【答案】5【分析】求出r2，得到圓C【詳解】圓C2：(x?4)因?yàn)閳AC1過(guò)圓C2的圓心，所以所以r2=26，所以C1兩圓的方程相減可得相交弦方程為5x故答案為：5x【變式31】2.(多選)（2022·高二課時(shí)練習(xí)）圓Q1:xA．公共弦AB所在直線的方程為xB．線段AB中垂線方程為xC．公共弦AB的長(zhǎng)為2D．P為圓Q1上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最大值為【答案】ABD【分析】?jī)蓤A方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A的正誤，求出圓Q1的圓心坐標(biāo)后求出垂直平分線的方程后可判斷B的正誤，利用垂徑定理計(jì)算弦長(zhǎng)后可判斷C的正誤，求出Q【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閳AQ1：x兩式作差可得公共弦AB所在直線的方程為4x?4y對(duì)于選項(xiàng)B，圓Q1：x則線段AB中垂線的斜率為?1，即線段AB中垂線方程為y?0=?1×整理可得x+對(duì)于選項(xiàng)C，圓心Q1(1,0)到x?又圓Q1的半徑r=1，所以對(duì)于選項(xiàng)D，P為圓Q1上一動(dòng)點(diǎn)，圓心Q1(1,0)到x又圓Q1的半徑r=1，所以P到直線AB距離的最大值為故選：ABD．【變式31】3.（2023·河南·統(tǒng)考二模）若圓C1:xA．2ax+byC．2ax+2by【答案】D【分析】將兩圓方程相減得到直線AB的方程為a2+b2?2【詳解】將兩圓方程相減可得直線AB的方程為a2即2ax因?yàn)閳AC1的圓心為(0,0)，半徑為1，且公共弦AB的長(zhǎng)為1則C1(0,0)到直線2ax所以a2+b所以直線AB的方程為2ax故選：D.【變式31】4.（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）若圓O：x2＋y2＝5與圓O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則直線AB的方程為_(kāi)_______；線段AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】x＝±14【分析】連接OO1，記AB與OO1的交點(diǎn)為C，利用勾股定理和等面積法，求出AC，進(jìn)而求出AB，根據(jù)OO1，求出m，進(jìn)而聯(lián)立求出直線【詳解】連接OO1，記AB與OO1的交點(diǎn)為C，如圖所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝5，|O1A|＝25∴|OO1|＝5，∴|AC|＝5×2由|OO1|＝5，得m=±5x2直線AB的方程為x＝±1．故答案為：①x=±1【變式31】5.（2021秋·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谥校┮阎獔AC的圓心為(2,?2)，且與直線x+(1)求圓C的方程；(2)求圓C與圓x2【答案】(1)((2)2【分析】（1）由題意求得圓的半徑，即可求得答案；（2）將兩圓方程相減，求出兩圓的公共弦方程，根據(jù)弦長(zhǎng)、弦心距以及圓的半徑之間的關(guān)系即可求得答案.【詳解】（1）由題意得圓C的半徑為r=故圓C的方程為(x（2）圓x2+y2=4而25將x2+y2=4圓x2+y2=4故兩圓的公共弦長(zhǎng)為24?◆類型2最值與范圍問(wèn)題【例題32】（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）圓C1:xA．12 B．1 C．32【答案】D【分析】將兩圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程得出兩圓圓心均在直線y=【詳解】由x2+y2+2ax+2由C2:x2+y2所以兩圓圓心均在直線y=x上，半徑分別為1和如圖，當(dāng)兩圓相交且相交弦經(jīng)過(guò)小圓圓心，也即大圓圓心在小圓上時(shí)，兩圓公共弦長(zhǎng)最大，最大值為小圓的直徑，即最大值為2.故選：D.【變式32】1.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C:x?12+y?22=5，圓C′是以圓x2A．12 B．23 C．34【答案】D【分析】根據(jù)題意得到當(dāng)公共弦AB最大，即AB為圓C′的直徑時(shí)，∠ACB最大，即【詳解】在△ABC中，AC當(dāng)公共弦AB最大，即AB為圓C′∠ACB最大，又AC>AB可得∠此時(shí)cos∠ACB=AC故選：D【變式32】2.（2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)校考三模）過(guò)直線x+y+1=0上任一點(diǎn)P作直線PA，PB與圓x【答案】2【分析】求出圓x2+y2?2x=0的圓心C1,0，半徑r=1.然后根據(jù)已知可推得，P【詳解】由已知可得，圓心C1,0，半徑r因?yàn)镻A,PB為切線，所以所以，P,B,所以，AB是圓C與圓D的公共弦，所以AB⊥且PA=設(shè)四邊形PBCA面積為S，則S=2×又S=所以，AB=顯然，當(dāng)PC增大時(shí)，AB也增大，所以，當(dāng)PC最小時(shí)，AB有最小值.當(dāng)PC⊥l時(shí)，PC最小，PC=故答案為：2.【變式32】3.（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知圓C1:(x?a)2+y2【答案】?【分析】根據(jù)圓與圓相交弦所在直線方程性質(zhì)求得直線AB的方程，利用直線與圓相交弦長(zhǎng)公式，求得a,b滿足的等式關(guān)系，根據(jù)方程有解，即可得【詳解】圓C1:(x?a)2+y若兩圓相交，則r1?r2<又兩圓相交弦AB所在直線方程為：(x?所以圓心C1a,0到直線AB的距離d1=2a則弦長(zhǎng)AB=2r12?d1若存在a，使得AB=2，則b2≤3，即?3≤故答案為：?3【變式32】4.（2022秋·江蘇常州·高二華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓C1：x2+y2(1)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的方程；(2)求經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程.【答案】(1)x(2)x【分析】（1）首先設(shè)圓系方程x2+y2+2x+2（2）面積最小的圓，就是以線段AB為直徑的圓，求出該圓的圓心和半徑可得圓的方程.【詳解】（1）因?yàn)閳AC2的圓心C2(1,?5)不在直線y故可設(shè)經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的方程為x2+y即x2則圓心坐標(biāo)為λ?11+λ解得λ=?12（2）因?yàn)閳AC1的圓心C1(?1,?1)，半徑r1=10，圓所以直線C1C2的方程為y由題意可知以線段AB為直徑的圓的面積最小，由兩個(gè)圓的方程相減可得直線AB的方程為x?2聯(lián)立2x+y+3=0x圓心C1(?1,?1)到直線AB:所以|AB|=2r故面積最小的圓的方程為x+2題型4公切線問(wèn)題【方法總結(jié)】?jī)蓤A公切線條數(shù)與兩圓位置關(guān)系的相關(guān)結(jié)論如下：位置關(guān)系兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含圖示????公切線條數(shù)43210◆類型1公切線條數(shù)問(wèn)題【例題41】（2022秋·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）圓C1:(A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先判斷圓與圓的位置關(guān)系，從而可確定兩圓的公切線條數(shù).【詳解】圓C1:(圓C2:(所以兩圓的圓心距為d=因?yàn)??3<17所以兩圓的公切線有2條.故選：B.【變式41】1.（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知直線l是圓C:x?22+y?12A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】由已知可推得，直線l是圓C與圓B的公切線.根據(jù)兩圓的圓心、半徑，推得兩圓的位置關(guān)系，即可得出答案.【詳解】由已知可得，圓心C2,1，半徑r由點(diǎn)B3,4到直線l的距離是2，所以直線l是以B3,4為圓心，又直線l是圓C:x所以，直線l是圓C與圓B的公切線.因?yàn)锽C=所以，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線l有4條.故選：D.【變式41】2.(多選)（2023·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓A:x2+yA．圓B的圓心為2,2B．圓A與圓B有四條公切線C．點(diǎn)M在圓A上，點(diǎn)N在圓B上，則線段MN長(zhǎng)的最大值為3+2D．直線l與圓B一定相交，且相交的弦長(zhǎng)最小值為2【答案】ACD【分析】將圓B的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可判斷A選項(xiàng)；判斷圓A與圓B的位置關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)；求出圓心距，利用圓的幾何性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；求出直線l所過(guò)定點(diǎn)C的坐標(biāo)，分析出點(diǎn)C與圓B的位置關(guān)系，并求出直線l截圓所得弦長(zhǎng)的最小值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，圓B的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?22+y?2對(duì)于B選項(xiàng)，圓A的圓心為A0,0，半徑為r1=1，圓B圓心距為AB=2?02所以，圓A與圓B相交，故圓A與圓B有兩條公切線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閮蓤A圓心距為AB=2又因?yàn)镸在圓A上，點(diǎn)N在圓B上，則線段MN長(zhǎng)的最大值為AB+對(duì)于D選項(xiàng)，直線l的方程可化為mx由x?1=0y?1=0得x=1y因?yàn)??22+1?22<4，故點(diǎn)C在圓B當(dāng)l⊥BC時(shí)，圓心B到直線l的距離取得最大值，且最大值為此時(shí)，直線l截圓B所得弦長(zhǎng)最小，且最小值為24?故選：ACD.【變式41】3.（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C1:(x+3【答案】?4?73【分析】根據(jù)兩圓有三條公切線可知兩圓外切，然后由兩圓心距等于兩半徑之和列式，分類討論可得.【詳解】圓C1的圓心為(?3k,?4圓C2的圓心為(?3k,0)，半徑為因?yàn)閳AC1與圓C所以1+即1+當(dāng)k≤?12時(shí)，解得k=?4?7當(dāng)?12<k解得k=?12+39當(dāng)k>0時(shí)，1+k解得k=綜上，k=?4?故答案為：?4?73【變式41】4.（多選）（2023秋·高一單元測(cè)試）已知圓C1:xA．C1與CB．C1與C2C．C1與C2D．若P,Q分別是圓C【答案】BD【分析】由根據(jù)兩圓之間的位置關(guān)系確定公切線個(gè)數(shù)；如果兩圓相交，進(jìn)行兩圓方程的做差可以得到相交弦的直線方程；通過(guò)垂徑定理可以求弦長(zhǎng)；兩圓上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為圓心距和兩半徑之和，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】由已知得圓C1的圓心C10,0圓C2的圓心C23,4C1故兩圓相交，所以C1與C做差可得C1與C2C1到相交弦的距離為95，故相交弦的弦長(zhǎng)為若P,Q分別是圓C1故選：BD【變式41】5.（多選）（2023秋·高一單元測(cè)試）如圖所示，該曲線W是由4個(gè)圓：x?12+y2=1，

A．曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2πB．若圓x2+C．BD與DE的公切線方程為xD．曲線W上的點(diǎn)到直線x+【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)可將曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓，即可判斷；B選項(xiàng)可直接由圖討論判斷對(duì)錯(cuò)；C選項(xiàng)可由圓心到直線的距離等于半徑，求出公切線；D選項(xiàng)可先找到HB，HG的公切線方程為x+y+1+【詳解】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓，所以其面積為2×2+2×π當(dāng)r=2時(shí)，交點(diǎn)為B，D，F(xiàn)，H；當(dāng)當(dāng)0<r<2或r設(shè)BD與DE的公切線方程為y=由直線和圓相切的條件可得t?1解得k=?1，t=1+2則其公切線方程為y=?x+1+同理可得HB，HG的公切線方程為x+則兩平行線的距離d=故選：ACD.◆類型2公切線方程問(wèn)題【例題42】（多選）（2022秋·高二單元測(cè)試）已知圓C1:x?22+yA．y=0 B．C．x?2y+【答案】ABC【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩圓圖象，由兩圓相離可知共有4條切線，再利用對(duì)稱性設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式即可求得切線方程.【詳解】根據(jù)題意可知，兩圓心C1在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩圓圖象，如下圖所示：

顯然，圓心距C1又兩圓心到x軸的距離都等于其半徑，所以x軸是其中一條公切線，即A正確；利用對(duì)稱性可知，其中一條切線l1過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為y又C12,1到切線l1的距離為1，即2k?1當(dāng)k=0時(shí)，切線即為x軸，當(dāng)k=43時(shí)，切線方程為由對(duì)稱性可知，切線l2,l易知kC1C2=可設(shè)l2,l3由兩平行線間距離公式可得c1+12即切線l2,l3的方程分別為整理可得兩切線方程為x?2y+故選：ABC【變式42】1.（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知圓C1:x2+y2【答案】y=x?2(或y【分析】根據(jù)圓與直線對(duì)稱求得a，進(jìn)而判斷兩圓外切，從而確定公切線有三條.根據(jù)直線與圓相切的幾何條件建立方程從而可解.【詳解】因?yàn)閳AC1:x故圓心C13,?a在直線x+y故圓C1:x?3而圓C2:x2所以兩圓的圓心距為3?0所以兩圓外切，公切線有三條.顯然公切線的斜率存在，設(shè)方程為y=于是有：3兩式相除得：3k+3+b當(dāng)3k+3+b代入b1+k2=2當(dāng)3k+3+b代入b1+k2所以三條公切線方程分別為：y=x?2,故答案為：y=x?2(或y【變式42】2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓心均在y軸的兩圓外切，半徑分別為r1A．±22 B．±24 C．±【答案】A【分析】由已知結(jié)合直線與圓相切，圓與圓相切性質(zhì)，利用三角函數(shù)知識(shí)和斜率的知識(shí)綜合即可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，圓心均在y軸的兩圓外切，畫出兩圓公切線,有兩條分別為L(zhǎng)BC,LDE,，公切線與圓的切點(diǎn)分別為B，C，D，E，公切線與y則O1∴AF=r2∴cos∠O則kBC同理可得kDE=22故選：A.【變式42】3.（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）寫出與圓x?42+【答案】y=1（答案不唯一，24x+7【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，再分情況依次求解可得.【詳解】圓x2+y2=1的圓心為O0,0，半徑為1；圓如圖，有三條切線l1，l2，因?yàn)閘3⊥OC，且kOC=?34，所以kl3=43，設(shè)l3:y可知l1和l2關(guān)于OC:y=?34在l1上取點(diǎn)0,1，設(shè)其關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)為x0,解得x0=?24所以直線l2:y綜上，切線方程為y=1或24x+7故答案為：y=1（答案不唯一，24x+7【變式42】4.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓C1:x2+【答案】5（答案不唯一）y=2x+5【分析】根據(jù)兩圓相交，求出圓半徑的取值范圍；再根據(jù)圓心到直線切線的距離等于半徑求出切線方程.【詳解】圓C2的圓心為(1,2)因?yàn)閳AC1:x2+y2=m又C1C2所以可取m=5(答案不唯一.滿m此時(shí)C1因?yàn)镃1的圓心為(0,0)，半徑為5，C2的圓心為所以可設(shè)公切線的方程為y=kx+又因?yàn)閥=kx+b是公切線，所以圓心到直線距離等于半徑，即所以當(dāng)m=5時(shí)，公切線的方程為y=2x故答案為:5；y=2x+5◆類型3公切線長(zhǎng)度問(wèn)題【例題43】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若直線l與圓C1:x+12+y2=1A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【分析】設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)M，推導(dǎo)出C1為MC2的中點(diǎn)，A為BM【詳解】如下圖所示，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)M，由于直線l與圓C1:x+12+y則AC1⊥l，∵BC2=2=2AC1，∴C1由勾股定理可得AB=故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)出A為MB的中點(diǎn)，并利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，此外，在直線與圓相切的問(wèn)題時(shí)，要注意利用圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直這一幾何性質(zhì).【變式43】1.（多選）（2023春·山東青島·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓C1:xA．圓C1與圓CB．圓C1與圓C2C．圓C1與圓C2D．圓C1與圓C2【答案】BCD【分析】求出兩圓圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心距，即可判斷A，B，兩圓方程作差即可得到公共弦方程，從而判斷C，求出兩圓圓心到公共弦的距離，從而取出公共部分的面積，從而判斷D.【詳解】解：因?yàn)閳AC1:x所以圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1=1，圓C所以r1?r2<因?yàn)閮蓤A半徑相等，則兩圓公切線的長(zhǎng)度為C1將兩圓方程作差得x+所以兩圓公共弦所在直線l的方程為x+因?yàn)镃1的圓心為C1(0,0)所以C1(0,0)到直線x+所以公共弦長(zhǎng)為2r又圓心C2(1,1)到直線x+所以圓C1與圓C2公共部分的面積為故選：BCD【變式43】2.（多選）（2022秋·廣東惠州·高二惠州市惠陽(yáng)高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校﹫AC1:x2+y2A．AB的直線方程為4x?4y+5=0 C．圓C1與圓C2的公切線長(zhǎng)為7 D．線段AB【答案】ACD【分析】對(duì)于A，兩圓方程相減可求出直線AB的方程，對(duì)于B，利用弦心距、弦和半徑的關(guān)系可求公共弦AB的長(zhǎng)，對(duì)于C，求出C1C2，再由C1C22【詳解】由x2+y2+2x?6由x2+y2?2x?2對(duì)于A，公共弦AB所在的直線方程為x2即4x對(duì)于B，C2(1,1)到直線AB的距離所以公共弦AB的長(zhǎng)為AB=2對(duì)于C，因?yàn)镃1C2=(?1?1)所以圓C1與圓C2的公切線長(zhǎng)為對(duì)于D，根據(jù)題意可知線段AB的中垂線就是直線C1C2所以直線C1C2為y故選：ACD【變式43】3.（多選）（2022秋·山東青島·高二青島二中校考期中）已知⊙C1:A．直線AB的方程為xB．過(guò)A，B兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)1,1的圓的方程為xC．⊙C1與⊙D．以線段AB為直徑的圓的方程為x【答案】AD【分析】由圓與圓的位置關(guān)系，直線方程，圓的方程對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，【詳解】由x2+y2?2即A(1,0)，B對(duì)于A，直線AB的方程為x+對(duì)于B，設(shè)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)1,1的圓的方程x2得1+d+f圓的方程為x2對(duì)于C，⊙C1的圓心為M(1,2)，半徑為2，⊙兩圓半徑相等，則⊙C1與⊙C對(duì)于D，AB中點(diǎn)為(0,1)，|AB|=22故選：AD【變式43】4.（2022秋·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）為測(cè)量一工件的內(nèi)圓弧AB對(duì)應(yīng)的半徑R，工人用三個(gè)半徑均為10mm的圓柱形量棒O1,O2,O3放在與工件圓弧相切的位置上，通過(guò)深度卡尺測(cè)出卡尺下沿水平面到中間量棒O【答案】1303/【分析】設(shè)兩圓O1,O2外切于點(diǎn)M，連接OM，作O1N⊥OO2交OO【詳解】如圖，設(shè)兩圓O1,O2外切于點(diǎn)M，連接OM，作O1點(diǎn)D為線段OO2與圓因?yàn)镈E=?，所以因?yàn)椤螼1N所以△O1N所以?10=20故答案為：R=【變式43】5.（2022秋·廣東云浮·高二校考期中）已知圓A的方程為x2+y2?2(1)判斷圓A與圓B是否相交，若相交，求過(guò)兩交點(diǎn)的直線方程及兩交點(diǎn)間的距離；若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)求兩圓的公切線長(zhǎng).【答案】(1)兩圓相交，4x+4y(2)7.【分析】（1）根據(jù)圓心距判斷圓的位置關(guān)系，再由兩圓方程相減得出公共弦所在直線方程，由幾何法求出弦長(zhǎng)；（2）根據(jù)公切線的性質(zhì)，利用圓心距、半徑差、公切線構(gòu)成的直角三角形求解.【詳解】（1）圓A：x?12+y?1兩圓心距AB=∵3?2<AB∴兩圓相交，將兩圓方程左、右兩邊分別對(duì)應(yīng)相減得：4x此即為過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程.設(shè)兩交點(diǎn)分別為C、D，則AB垂直平分線段CD，∵A到CD的距離d=∴CD=2（2）設(shè)公切線l切圓A、圓B的切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，則四邊形AEFB是直角梯形.∴EF2∴EF=◆類型4最值取值范圍問(wèn)題【例題44】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩圓C1：x2+y2=1，【答案】5【分析】根據(jù)兩圓相交即可利用圓心距與半徑的關(guān)系求解.【詳解】若圓C1與圓C2有且僅有兩條公切線時(shí)，則兩圓相交，圓心C10,0，半徑R＝2，圓C21,2，半徑r，則C1C2若兩圓相交，則滿足r?R<得5?2<故答案為：5【變式44】1.（2022秋·四川資陽(yáng)·高二四川省資陽(yáng)中學(xué)?？计谥校┮阎獔AC1:x2+【答案】(【分析】根據(jù)兩圓相交，列出不等關(guān)系，即可求得結(jié)果.【詳解】由x2+y可知圓C2的圓心為(1,2)，半徑為2因?yàn)閳AC1與圓C2恰有兩條公切線，所以圓C1則|25?m解得：5<m<35，即故答案為：(5【變式44】2.（2022秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓O1:x2+y2=r12(1)求r1(2)若直線l與圓O1?圓O2分別切于P,【答案】(1)r(2)最大值為3【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理求解；（2）平移公切線構(gòu)造直角三角形，由勾股定理結(jié)合基本不等式求解|PQ（1）如圖，由題意可知O1M與圓O2相切，O且MO故MO即r1（2）作O2在△O1O其中O2故PQ2又2r1r故|PQ即|PQ題型5圓系問(wèn)題【方法總結(jié)】求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓的方程的方法一般地，過(guò)圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E1圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E2x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R，λ≠1)，或者x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2]=0，再由其他條件求出λ即得圓的方程.【例題5】圓心在直線x?y?4=0上，且過(guò)兩圓x【答案】x【分析】設(shè)出圓系方程x2【詳解】由題意設(shè)圓方程為x2整理得x2+y所以21+λ?所以圓方程為x2+y故答案為：(x【變式51】1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,?2)以及圓x2+【答案】x【分析】先確定過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程，再將M的坐標(biāo)代入，即可求得所求圓