高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修二）第21講533古典概型

5.3.3古典概型TOC\o"13"\h\z\u題型1古典概型的判斷 3題型2古典概型的概率 6題型3有放回、無放回的概率模型的求法 10◆類型1無放回 10◆類型2有放回 13◆類型3有無放回 18題型4根據(jù)古典概型的概率求參數(shù)問題 24知識點一.古典概型的概念1.定義：一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數(shù)是有限的（簡稱為有限性），而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件（即基本事件）發(fā)生的可能性大小都相等（簡稱為等可能性）則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型.2.古典概型的判斷標準：一個隨機試驗是否能歸結(jié)為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性與等可能性．因此，并不是所有的試驗都能歸結(jié)為古典概型．下列三類試驗都不是古典概型∶樣本點個數(shù)有限，但非等可能；樣本點個數(shù)無限，但等可能樣本點個數(shù)無限，但非等可能.知識點二.古典概型的概率公式1.公式：古典概型中，事件發(fā)生的概率可以通過下述方式得到∶假設(shè)樣本空間含有n個樣本點，由古典概型的定義可知，每個基本事件發(fā)生的可能性大小都相等，又因為必然事件發(fā)生的概率為1，因此由互斥事件的概率加法公式可知每個基本事件發(fā)生的概率均為1n包含有m個樣本點，則再由互斥事件的概率加法公式可知P（C）=mn注意：(1)若試驗不是古典概型，則不能用古典概型的概率公式計算某事件發(fā)生的概率.(2)計算古典概型概率的關(guān)鍵是求樣本點總個數(shù)n和所求事件包含的樣本點個數(shù)m.這種計算方式避免了大量重復(fù)試驗，通過分析樣本點的個數(shù)就可以計算隨機事件發(fā)生的概率，而且得到的概率是精確值.說明∶注意一個樣本點是某一次試驗出現(xiàn)的結(jié)果，不是幾次試驗的結(jié)果，即保證m，n均為等可能樣本點的個數(shù).2.從集合的角度理解古典概型的概率計算公式用集合的觀點來考察事件C的概率，有利于幫助我們生動、形象地理解事件C與樣本點的關(guān)系，有利于理解公式P（C）=mn把一次試驗中等可能出現(xiàn)的n個樣本點組成一個集合I，其中每一個樣本點就是I中的一個元素，把含m個樣本點的事件C看作含有m個元素的集合，則集合C是集合I的一個子集，故有P（C）=mn知識點三.較復(fù)雜的古典概型問題設(shè)事件A，B是Ω中的兩個事件，如圖所示，設(shè)樣本空間Ω的樣本點總數(shù)為n，事件A，B包含的樣本點的個數(shù)分別為m1，m2，事件A∩B包含的樣本點數(shù)為m，易知A∪B中包含的樣本點數(shù)為m1+m2m,注意：1.P（A）=事件A包含的樣本點的個數(shù)Ω中包含的樣本點的個數(shù)=m2.P（AB）=AB中包含的樣本點的個數(shù)Ω中包含的樣本點的個數(shù)=m3.P（A＋B）==A+B中包含的樣本點的個數(shù)Ω中包含的樣本點的個數(shù)=m1注意：設(shè)A，B是Ω的兩個事件，則P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB），這就是概率的一般加法公式，該公式也適合A，B為互斥事件的情況，因為P（AB）=0。題型1古典概型的判斷【方法總結(jié)】古典概型的判斷1.有限性∶判斷試驗的樣本空間包含的樣本點是否是有限個，若樣本點無限個，即不可數(shù)，則不是古典概型.2.等可能性∶考查基本事件的發(fā)生是不是等可能的，若基本事件發(fā)生的可能性不一樣，則不是古典概型.只有同時具備了上述兩個特征，才是古典概型.【例題1】（2023下·新疆·高一校考期末）下列實驗中，是古典概型的有（

）A．某人射擊中靶或不中靶B．在平面直角坐標系內(nèi)，從橫坐標和縱坐標都為整數(shù)的所有點中任取一個C．四名同學(xué)用抽簽法選一人參加會議D．從區(qū)間1,10上任取一個實數(shù)，求取到1的概率【答案】C【分析】根據(jù)古典概型的性質(zhì)判斷各項所描述的試驗是否滿足要求即可.【詳解】由古典概型性質(zhì)：基本事件的有限性及它們的發(fā)生是等可能的，A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不滿足；B：基本事件坐標系中整數(shù)點是無限的，不滿足；C：基本事件是四名同學(xué)是有限的，且抽到的概率相等，滿足；D：基本事件是區(qū)間1,10上所有實數(shù)是無限的，不滿足；故選：C【變式11】1．（2022·高一課時練習）下列試驗是古典概型的是（

）A．在平面直角坐標系內(nèi)，從橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的所有點中任取一點B．某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)C．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講D．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽【答案】C【分析】根據(jù)古典概型的特征依次判斷即可.【詳解】對于A，橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點有無限多個，不滿足有限樣本空間特征，故該選項錯誤；對于B，命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)…，10環(huán)的概率不相同，不滿足等可能性特征，故該選項錯誤；對于C，人數(shù)有限，且任選1人與學(xué)生的性別無關(guān)，是等可能的，故該選項正確；對于D，“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”的概率不一定相等，不滿足等可能性特征，故該選項錯誤；故選：C.【變式11】2．（多選）（2023上·高一課時練習）下列試驗不是古典概型的是（

）A．任意拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和作為樣本點時B．求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點時C．從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率D．拋擲一枚均勻硬幣首次擲出正面為止【答案】ABD【分析】根據(jù)古典概型的有限性和等可能性，逐一判斷選項是否滿足即可.【詳解】對于A，由于點數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；對于B，樣本點是無限的，故B不是；對于C，滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；對于D，樣本點既不是有限個也不具有等可能性，故D不是．故選：ABD【變式11】3．（多選）（2022上·高一課時練習）下列是古典概型的有（

）A．從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大小B．同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，點數(shù)和為7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10個人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率【答案】ABD【分析】根據(jù)古典概型的特點，即可判斷出結(jié)果.【詳解】古典概型的特點:①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.顯然A?B?D符合古典概型的特征，所以A?B?D是古典概型；C選項，每天是否降雨受多方面因素影響，不具有等可能性，不是古典概型.故選：ABD.【變式11】4．（2022上·高一課時練習）下列關(guān)于古典概型的說法正確的是（

）①試驗中所有可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點的總數(shù)為n，隨機事件A若包含k個樣本點，則P(A)=kA．②④ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】利用古典概型概念及的概率計算公式直接求解．【詳解】在①中，由古典概型的概念可知：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，故①正確；在②中，由古典概型的概念可知：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等，故②錯誤；在③中，由古典概型的概念可知：每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，故③正確；在④中，基本事件總數(shù)為n，隨機事件A若包含k個基本事件，則由古典概型及其概率計算公式知P(A)=kn，故故選：D．題型2古典概型的概率【方法總結(jié)】應(yīng)用公式計算概率的步驟（1）判斷試驗是否是古典概型；（2）求出試驗的樣本空間包含的樣本點總數(shù)n；（3）求出事件A所包含的樣本點個數(shù)m；（4）代入公式∶P（A）=mn【例題2】（2023上·云南昆明·高一?？计谥校┐又醒b有4個大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個紅球、1個黃球、2個藍球．從中任取2個小球，則這兩個小球的顏色不同的概率為（

）A．13 B．23 C．16【答案】D【分析】根據(jù)古典概型求概率，先求顏色相同概率，再用1減去顏色相同概率即得到顏色不同概率.【詳解】總的基本事件有6個，這兩個小球的顏色相同的情況只有1種，所以這兩個小球的顏色相同的概率為16，故這兩個小球的顏色不同的概率為1?故選：D.【變式21】1．（2020下·北京通州·高一統(tǒng)考期末）甲、乙、丙三人各自擁有一把鑰匙，這三把鑰匙混在了一起，他們每人從中無放回地任取一把，則甲、乙二人中恰有一人取到自己鑰匙的概率是（

）A．16 B．13 C．12【答案】B【分析】基本事件總數(shù)n=A33【詳解】甲、乙、丙三人各自擁有一把鑰匙，這三把鑰匙混在了一起，他們每人從中無放回地任取一把，基本事件總數(shù)n=A甲、乙二人中恰有一人取到自己鑰匙包含的基本事件個數(shù)C2則甲、乙二人中恰有一人取到自己鑰匙的概率p=m故選：B．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題【變式21】2．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）從3名男生和3名女生中任意抽取兩人，設(shè)事件A=“抽到的兩人都是男生”，事件B=“抽到1名男生與1名女生”，則（

）A．在有放回簡單隨機抽樣方式下，PB．在不放回簡單隨機抽樣方式下，PC．在按性別等比例分層抽樣方式下，PD．在按性別等比例分層抽樣方式下，P【答案】D【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計算公式求解.【詳解】記3名男生為1,2,3，3名女生為a,b,c.對于選項A，有放回簡單隨機抽樣的樣本空間Ω1123abc1(1,1)(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(1,c)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,a)(2,b)(2,c)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,a)(3,b)(3,c)a(a,1)(a,2)(a,3)(a,a)(a,b)(a,c)b(b,1)(b,2)(b,3)(b,a)(b,b)(b,c)c(c,1)(c,2)(c,3)(c,a)(c,b)(c,c)共36個樣本點，事件A=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)有9個樣本點，所以P對于選項B，不放回簡單隨機抽樣的樣本空間Ω2123abc1×(1,2)(1,3)(1,a)(1,b)(1,c)2(2,1)×(2,3)(2,a)(2,b)(2,c)3(3,1)(3,2)×(3,a)(3,b)(3,c)a(a,1)(a,2)(a,3)×(a,b)(a,c)b(b,1)(b,2)(b,3)(b,a)×(b,c)c(c,1)(c,2)(c,3)(c,a)(c,b)×共30個樣本點，事件B=(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3)有18個樣本點，所以P對于選項C，在按性別等比例分層抽樣方式下，從男生中抽取一人，從女生中抽取一人，所以PA對于選項D，在按性別等比例分層抽樣方式下，先從男生中抽取一人，再從女生中抽取一人，其樣本空間Ω3為Ω3=(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)，共有9個樣本點，事件故選：D.【變式21】3．（2024上·遼寧朝陽·高一統(tǒng)考期末）從2,4,5,7這4個數(shù)中一次隨機抽取兩個數(shù)，則所取兩個數(shù)之和為9的概率是.【答案】1【分析】結(jié)合古典概型，利用列舉法找到所有基本事件，從而計算出概率.【詳解】從2,4,5,7這4個數(shù)中一次隨機抽取兩個數(shù)的所有基本事件有2,4,所取2個數(shù)之和為9的基本事件有2,7,故所求概率P=2故答案為：13【變式21】4．（2023上·浙江·高一階段練習）有一枚均勻的正方體骰子，骰子各個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，若任意拋擲一次骰子，朝上的面的點數(shù)記為x，計算x?4，則其結(jié)果恰為2的概率是．【答案】1【分析】根據(jù)古典概型概率公式計算求解.【詳解】由題意得，任意拋擲一次骰子，朝上的面的點數(shù)記為x，共有6種可能結(jié)果，若x?4=2，則x=6或x=2所以所求概率為26故答案為：1題型3有放回、無放回的概率模型的求法◆類型1無放回【例題31】（2023下·江蘇南京·高一南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）從數(shù)字1，2，3，4中，無放回地抽取2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于5的概率為（

）A．13 B．316 C．516【答案】A【分析】先得出所有的兩位數(shù)的個數(shù)，再列舉出其各位數(shù)字之和為5的兩位數(shù)，根據(jù)古典概率公式可得選項.【詳解】兩位數(shù)共有4×3=12個，其各位數(shù)字之和為5的兩位數(shù)有：14，41，23，32共4個數(shù)，所以各位數(shù)字之和等于5的概率為13故選：A.【變式31】1．（2020下·天津濱海新·高一?？计谀┐杏写笮∠嗤?，質(zhì)地均勻的2個紅球和3個黃球，從中無放回的先后取兩個球，取到紅球的概率為（

）A．110 B．12 C．710【答案】C【分析】由題意給小球編號，列舉出所有基本情況及滿足要求的基本情況，由古典概型概率公式即可得解.【詳解】由題意，給2個紅球編號為1、2，給3個黃球編號為3、4、5，則無放回的先后取出兩個球的所有基本情況有：1,2，1,3，1,4，1,5，2,1，2,3，2,4，2,5，3,1，3,2，3,4，3,5，4,1，4,2，4,3，4,5，5,1，5,2，5,3，5,4，共20種；取到紅球的基本情況有：1,2，1,3，1,4，1,5，2,1，2,3，2,4，2,5，3,1，3,2，4,1，4,2，5,1，5,2，共14種.故所求概率P=14故選：C.【點睛】本題考查了古典概型概率的求解，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式31】2．（2023下·湖南長沙·高一湖南師大附中?？计谀┮粋€袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個小球，其中有3個紅色球、2個綠色球，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，則兩個球顏色相同的概率為.【答案】25【分析】根據(jù)題意寫出從袋中不放回地依次隨機摸出2個球的所以可能結(jié)果結(jié)合兩個球顏色相同的結(jié)果，利用古典概型概率計算公式計算即可.【詳解】用1、2、3表示3個紅色球，4、5表示2個綠色球，用數(shù)組x,y表示可能的結(jié)果，x是第一次摸到球的標號，y是第二次摸到球的標號，則樣本空間所包含的樣本點為：1,2，1,3，1,4，1,5，2,1，2,3，2,4，2,5，3,1，3,2，3,4，3,5，4,1，4,2，4,3，4,5，5,1，5,2，5,3，5,4，共20個.其中兩個球顏色相同的事件有：1,2，1,3，2,1，2,3，3,1，3,2，4,5，5,4，共8種，故所求事件的概率為820【變式31】3．（2020下·遼寧阜新·高一校考階段練習）某人做試驗，從一個裝有標號為1，2，3，4的小球的盒子中，無放回地取兩個小球，每次取一個，先取的小球的標號為x，后取的小球的標號為y，這樣構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對x,y（1）寫出這個試驗的所有結(jié)果；（2）求“第一次取出的小球上的標號為2”的概率.【答案】（1）1,2，1,3，1,4，2,1，2,3，2,4，3,1，3,2，3,4，4,1，4,2，4,3；（2）14【解析】（1）先將第一個小球的可能情況x列出，再針對每種情況x列出第二個小球的可能情況y，注意無放回地取出兩個小球，然后寫出結(jié)果即可；（2）“第一次取出的小球上的標號為2”的試驗結(jié)果為3種，而這個試驗的所有結(jié)果為12種，結(jié)合古典概型的定義計算概率即可.【詳解】（1）當x=1時，y=2，3，4；當x=2時，y=1，3，4；當x=3時，y=1，2，4；當x=4時，y=1，2，3.因此，這個試驗的所有結(jié)果是1,2，1,3，1,4，2,1，2,3，2,4，3,1，3,2，3,4，4,1，4,2，4,3；（2）記“第一次取出的小球上的標號為2”為事件A，則A=2,1，2,3【點睛】本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是熟練掌握列舉法的應(yīng)用，考查分析和計算能力，屬于常考題.【變式31】4．（2021下·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知袋子內(nèi)裝有大小質(zhì)地完全相同的小球，其中2個紅球，m個黃球，1個白球，若從中隨機抽取一個小球，抽到每個小球的概率為15（1）求m的值；（2）若從中不放回地隨機取出兩個小球，求只有一個黃球的概率.【答案】（1）m=2；（2）35【分析】（1）根據(jù)概率的計算公式可得12+m+1（2）列出摸出兩個小球的所有可能，由概率的計算公式即可得解.【詳解】（1）由題意知12+m+1=1（2）記兩個紅球分別為r1，r2，兩個黃球分別為y1，y2，一個白球為w1，從中不放回地隨機抽取兩個小球的所有情況為r1r2，r1y1，r1y2，只有一個黃球的概率為610◆類型2有放回【例題32】（2022·高一課時練習）現(xiàn)將三張分別印有數(shù)字“1”“2”“3”的卡片（卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同）放入一個盒子中．若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“1”，一張為“2”的概率是（

）A．23 B．13 C．29【答案】C【分析】由條件列出所有基本事件，再確定事件一張為“1”，一張為“2”中所包含的基本事件數(shù)，再利用古典概型概率公式求其概率.【詳解】從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，取出的所有可能情況為（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共9種．滿足一張為“1”，一張為“2”的的取法為（1，2），（2，1），共2種情況，所以所求的概率P=2故選：C.【變式32】1．（2023下·天津河西·高一統(tǒng)考期末）一個袋中裝有6個形狀大小完全相同的小球，球的編號分別為1，2，3，4，5，6.(1)若從袋中隨機抽取1個球，求取出的球編號為質(zhì)數(shù)的概率；(2)若從袋中每次隨機抽取1個球，有放回地抽取2次，求取出的兩個球編號之和為6的概率；(3)若一次從袋中隨機抽取3個球，求取出的球最大編號為4的概率.【答案】(1)12(2)536(3)320【分析】（1）利用古典概率直接求解作答.（2）（3）利用列舉法，列出試驗的所有結(jié)果及要求概率的事件所含的結(jié)果，再利用古典概率求解作答.【詳解】（1）從袋中隨機抽取1個球，有6個不同結(jié)果，其中球的編號為質(zhì)數(shù)有2，3，5，共3個結(jié)果，所以取出的球編號為質(zhì)數(shù)的概率為36（2）設(shè)先后兩次從袋中取出球的編號為m,n，兩次取球的結(jié)果為m,即(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)，(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36個結(jié)果，其中兩球編號和為6的結(jié)果有1,5，5,1，2,4，4,2，3,3，共5個，所以取出的兩個球編號之和為6的概率為P=5（3）從6個球中任取3個球的不同結(jié)果有123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456，共20個，其中3個球中最大編號為4的結(jié)果有124,134,234，共3個，所以取出的球最大編號為4的概率320【變式32】2．（2021上·四川·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）學(xué)校為慶祝建黨100周年，舉行了班級合唱比賽，歌曲有：《中國夢，我們的夢》，《國家》，《我和我的祖國》（分別用字母A，B，C依次表示這三首歌曲）．比賽時，將A，B，C這三個字母分別寫在3張無差別不透明的卡片正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，（1）班班長先從中隨機抽取一張卡片，放回后洗勻，再由（2）班班長從中隨機抽取一張卡片，進行歌詠比賽．(1)《中國夢，我們的夢》被（1）班班長抽中的概率是______．(2)試用樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結(jié)果，并求出（1）班和（2）班抽中不同歌曲的概率．【答案】(1)13(2)答案見解析，23【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率計算公式直接計算即可；（2）依題意畫出樹狀圖或表格，根據(jù)圖表計算概率即可.【詳解】（1）共有三首歌曲《中國夢，我們的夢》，《國家》，《我和我的祖國》.（1）班班長先從中隨機抽取一張卡片，抽到《中國夢，我們的夢》的概率P=（2）根據(jù)題意畫樹狀圖如圖所示：列表法如圖所示：ABCA(A,A)(A,B)(A,C)B(B,A)(B,B)(B,C)C(C,A)(C,B)(C,C)由圖可知共有9種結(jié)果，其中（1）班和（2）班抽中不同歌曲的情況有6種.所以P（（1）班和（2）班抽中不同歌曲）=6【變式32】3．（2022下·河南濮陽·高一統(tǒng)考期末）一個袋子中裝有標號分別是1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)A=“第一次摸到球的標號小于3”，B=“第二次摸到球的標號小于3”，分別計算PA，PB，【答案】P(A)=12，P(B)=1【分析】根據(jù)題意運用列舉法寫出樣本點和樣本空間，再寫出符合事件的樣本點，利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】依題意，第一次摸球有4種等可能的結(jié)果，每一次的結(jié)果都可與第二次摸球的任意一個結(jié)果配對，組成摸出兩球的結(jié)果.用m表示第一次摸的球的標號，用n表示第二次摸的球的標號，則數(shù)組m,n表示這個試驗的一個樣本點，因此該試驗的樣本空間Ω=m,nm,n∈由于每個樣本點的可能性相等，所以這個試驗是古典概型.而A=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)B=(1,1),(1,2),(2,1)(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)AB=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)所以P(A)=n(A)P(B)=n(B)P(AB)=n(AB)【變式32】4．（2021下·河南·高一校聯(lián)考階段練習）個袋子中裝有5個形狀?大小完全相同的球，其中紅球1個?白球3個?黑球1個，現(xiàn)在從袋子中抽取球，每次隨機取出一個，抽取這些球的時候，無法看到球的顏色．（1）現(xiàn)從袋子中無放回地取球兩次，求取出的球一個紅色一個白色的概率；（2）現(xiàn)在有放回地取球兩次，規(guī)定取出一個紅球記2分，取出一個白球記1分，取出一個黑球記?1分，求取出兩球后得分之和為3分的概率．【答案】（1）310；（2）6【分析】結(jié)合古典概型中的列舉法即可.【詳解】依次記三個白色的球為白1，白2，白3．（1）設(shè)無放回地取兩次球的事件總數(shù)為nΩ(紅，白1)，(紅，白2)，(紅，白3)，(紅，黑)，(白1，紅)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白1，黑)，(白2，紅)，(白2，白1)，(白2，白3)，(白2，黑)，(白3，紅)，(白3，白1)，(白3，白2)，(白3，黑)，(黑，紅)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，白3)，故n設(shè)事件A：“現(xiàn)從袋子中無放回地取球兩次，取出的球是一個紅色一個白色"，包括(紅，白1)，(紅，白2)，(紅，白3)，(白1，紅)，(白2，紅)，(白3，紅)，共6個，所以P(A)=（2）設(shè)有放回地取兩次球的事件總數(shù)為nΩ(紅，紅)，(紅，白1)，(紅，白2)，(紅，白3)，(紅，黑)，(白1，紅)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白1，黑)，(白2，紅)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，白3)，(白2，黑)，(白3，紅)，(白3，白1)，(白3，白2)，(白3，白3)，(白3，黑)，(黑，紅)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，白3)，(黑，黑)，故nΩ設(shè)事件B：“現(xiàn)從袋子中有放回地取球兩次，得分之和為3分”包括(紅，白1)，(紅，白2)，(紅，白3)，(白1，紅)，(白2，紅)，(白3，紅)，共6個．所以P(B)=◆類型3有無放回【例題33】（2023下·天津西青·高一統(tǒng)考期末）從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，分別采取有放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣，在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人都是女生的概率分別為（

）A．14，12 B．12，16 C．14，1【答案】C【分析】分別寫出樣本空間，利用古典概型的概率計算公式求解.【詳解】將兩名男生編號為a,b，兩名女生編號1,2，記A=“抽到的兩人都是女生”，從兩名男生和兩名女生中任意抽取兩人，在有放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為Ω1=(a,a),(a,b),(a,1),(a,2),(b,a),(b,b),(b,1),(b,2),(1,a),(1,b),(1,1),(1,2),(2,a),(2,b),(2,1),(2,2)共16個樣本點，其中A=在無放回簡單隨機抽樣方式下的樣本空間為Ω2=(a,b),(a,1),(a,2),(b,a),(b,1),(b,2),(1,a),(1,b),(1,2),(2,a),(2,b),(2,1)共12個樣本點，其中A=故選：C.【變式33】1．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）在一個盒子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中藍球、紅球各2個，黃球1個，從中隨機摸出2個球.(1)若采用有放回簡單隨機抽樣，求恰好摸到一個紅球的概率；(2)若采用無放回簡單隨機抽樣，求取出的球顏色相同的概率.【答案】(1)12(2)1【分析】（1）根據(jù)古典概型結(jié)合列表法運算求解；（2）根據(jù)古典概型結(jié)合列舉法運算求解.【詳解】（1）記2個藍球分別為a,b，2個紅球分別為c,d，黃球為e，若采用有放回簡單隨機抽樣，共有25個基本事件，恰好摸到一個紅球的有12個基本事件，所以恰好摸到一個紅球的概率P12

1abcdea╳╳√√╳b╳╳√√╳c√√╳╳√d√√╳╳√e╳╳√√╳（2）若采用無放回簡單隨機抽樣，則有a,b,取出的球顏色相同的有a,b,所以取出的球顏色相同的概率P2【變式33】2．（2023·高一課時練習）從一個裝有2黃2綠的袋子里，(1)有放回的摸球兩次,兩次摸到的都是綠球的概率是多少？(2)不放回的摸球兩次,兩次摸到的都是綠球的概率是多少？【答案】(1)1(2)1【分析】對有放回的摸球，兩次摸球相互獨立，根據(jù)概率乘法公式求解;對不放回的摸球，采用古典概型求解.【詳解】（1）對有放回的摸球，第一次摸出綠球的概率24=12，第二次摸出綠球的概率（2）對不放回的摸球，所有可能的結(jié)果共有4×3=12種，兩次都摸到綠球的結(jié)果有2×1=2種，根據(jù)古典概型概率的求法，不放回的摸球兩次摸到的都是綠球的概率為212【變式33】3．（2022·高一課時練習）班級新年晚會設(shè)置抽獎環(huán)節(jié)．不透明紙箱中有大小、質(zhì)地相同的紅球3個(編號為1，2，3)，黃球2個(編號為4，5)，有如下兩種方案可供選擇：方案一：一次性抽取2個球，若顏色相同，則獲得獎品；方案二：依次無放回地抽取2個球，若顏色相同，則獲得獎品；方案三：依次有放回地抽取2個球，若編號的數(shù)字之和大于5，則獲得獎品．(1)分別寫出按方案一和方案二抽獎的所有樣本點；(2)哪種方案獲得獎品的可能性更大？并說明理由．【答案】(1)答案見解析；(2)方案三獲得獎品的可能性更大，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)三個紅球分別為：A1,A（2）根據(jù)古典概型，分別求出三種方案的概率，即可得出結(jié)論【詳解】（1）記摸到1，2，3號紅球分別為A1，A2，A3，摸到4，5號黃球分別為B則按方案一一次性抽取2個球的所有樣本點為A1,A2，A1,A3，A1,B1，A1按方案二依次無放回地抽取2個球的所有樣本點為A1,A2，A1,A3，A1,B1，A1,B2，A2,A1，A2,A3，A2,B（2）方案一中，設(shè)事件A表示“一次性抽取的2個球顏色相同”，則由（1）知事件A包含A1,A2，A1故PA方案二中，設(shè)事件B表示“依次無放回抽取的2個球顏色相同”，則由（1）知事件B包含A1,A2，A1,A3，A2,A故PB方案三中，設(shè)兩次抽查取的球所標的數(shù)字分別為x、y，則所有可能的基本事件對應(yīng)的二元有序數(shù)組x,y表示如下表，共25個基本事件，（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）在方案三中，設(shè)事件C表示“抽取的2個球編號的數(shù)字之和大于5”，則事件C包含(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共15個樣本點，故PC因為PA【變式33】4.（2023下·北京通州·高一統(tǒng)考期中）袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中紅球3個，白球2個．(1)從中有放回地依次隨機摸出2個球，求第一次摸到白球的概率；(2)從中無放回地依次隨機摸出2個球，求第二次摸到白球的概率；(3)若同時隨機摸出2個球，求至少摸到一個白球的概率．【答案】(1)2(2)2(3)7【分析】（1）利用有放回的抽取求出基本事件總數(shù)，事件A包含的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式求解即可．（2）利用無放回的抽取求出基本事件總數(shù)，事件B包含的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式求解即可．（3）求出一次抽取2個球的基本事件總數(shù)，事件C包含的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式求解即可．【詳解】（1）記三個紅球編號為1，2，3，兩個白球分別為4，5，則在有放回情況下，第一次摸球時有5種等可能的結(jié)果，對應(yīng)第一次摸球的每個可能結(jié)果，第二次摸球時都有5種等可能的結(jié)果．將兩次摸球的結(jié)果配對，組成25種等可能的結(jié)果.如表1所示．表1第二次第一次123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)第一次摸到白球的可能結(jié)果有10種，見表中后兩行．

記A=“第一次摸到白球”，則PA（2）在無放回情況下，第一次摸球時有5種等可能的結(jié)果，對應(yīng)第一次摸球的每個可能結(jié)果，第二次摸球時都有4種等可能的結(jié)果．將兩次摸球的結(jié)果配對，組成20種等可能的結(jié)果，如表2所示．表2第二次第一次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×第二次摸到白球的可能結(jié)果有8種，見表中后兩列.

記B=“第二次摸到白球”，則PB（3）“同時摸出兩個球”的基本事件有(1,2),(1,3),